張建忠，沈艷河，李自鵬

（1.黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開(kāi)封 475004；2.黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院 中小型自動(dòng)化機(jī)械裝備工程研究中心，河南 開(kāi)封 475004）

0 引言

利用滾子凸度修形設(shè)計(jì)，顯著改善滾子受力結(jié)構(gòu)，提高承載力與精度穩(wěn)定性，延長(zhǎng)壽命，是滾子研究與技術(shù)發(fā)展的主線。 對(duì)數(shù)輪廓是圓柱滾子和圓錐滾子提高軸承壽命的關(guān)鍵［1］。 圓錐滾子軸承的接觸曲率不恒定特性直接決定軸承性能，羅繼偉等［2～4］使用切片方法研究了圓錐滾子軸承中的接觸應(yīng)力分布；Diaconescu［5］使用多項(xiàng)式曲線對(duì)圓錐滾子母線進(jìn)行修正，以期改善接觸壓力分布狀態(tài)；楊萍等［6～7］分析了圓錐滾子的彈性流體動(dòng)力潤(rùn)滑（EHL）特性。

圓錐滾子軸承的滾子與內(nèi)／外滾道之間的接觸在局部上與圓柱滾子相似。但其存在接觸曲率沿接觸線方向改變、 接觸彈性變形量沿接觸線產(chǎn)生不一致情況，即接觸面沿接觸線呈現(xiàn)不對(duì)稱分布，和接觸區(qū)超高壓力一起，造成應(yīng)力分布不均勻，即偏載效應(yīng)。圓錐滾子從非接觸區(qū)到接觸區(qū)的過(guò)程中，起始受力狀態(tài)關(guān)系到滾子的接觸承載力和動(dòng)態(tài)特性。如果圓錐滾子的受力分布與它的凸度中心不能重合，則需要保持架對(duì)其局部施加力，才能維持力學(xué)平衡，但這種狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 本文試從接觸應(yīng)力分布和偏載效應(yīng)分析出發(fā)，分析圓錐滾子軸承的接觸特性。

1 凸度滾子接觸應(yīng)力的計(jì)算條件與方法

1.1 計(jì)算條件

1）彈性半空間假設(shè)。 將滾子與內(nèi)／外滾道接觸看作一個(gè)彈性和曲率相當(dāng)?shù)奈矬w與一剛性平面的接觸。

2）Herz 接觸假設(shè)。 包括不考慮摩擦力、接觸點(diǎn)預(yù)先確定、小變形等。 Herz 接觸是很強(qiáng)的假設(shè)，但由于軸承中彈性動(dòng)力潤(rùn)滑油膜的存在，在工程計(jì)算中的誤差可忽略不計(jì)。

1.2 計(jì)算方法

根據(jù)以上假設(shè)， 可沿接觸線方向建立坐標(biāo)系： x為接觸線方向；y 為接觸面上通過(guò)接觸線中點(diǎn)且垂直于接觸線方向，也即接觸寬度方向；z 為通過(guò)原點(diǎn)并垂直于接觸面的軸線。圓錐滾子的接觸一般采用點(diǎn)接觸問(wèn)題的解（即Herz 接觸的Boussinesq 解）通過(guò)積分解得。 即

式中：Q 為總接觸力；p(x,y)為接觸力分布；s 為接觸區(qū)；E′為當(dāng)量彈性模量，，v1、v2為接觸物體的泊松比，E1、E2為接觸物體的彈性模量；x′y′為坐標(biāo)系中接觸區(qū)內(nèi)的點(diǎn)；δ 為彈性趨近量；z 為原始距離。

離散化方程（1）和（2），得到：

式中：aj、bj分別為接觸線方向上和接觸寬度方向矩形單元長(zhǎng)度的1／2，j 為單元序號(hào)（下同）；Pj為單元上的接觸壓力；D 為柔度矩陣。

此外，還應(yīng)滿足接觸區(qū)壓力非負(fù)條件。將式（4）無(wú)量綱化：

其中：a 為沿接觸線方向的單元長(zhǎng)度，接觸寬度方向單元的長(zhǎng)度可設(shè)為a 的分?jǐn)?shù)，如1／10 a。 同樣，接觸彈性趨近量和原始距離也可使用a 的倍數(shù)表示。 使用無(wú)量綱化參數(shù)可反映接觸系統(tǒng)中各參數(shù)的數(shù)量關(guān)系，且方便程序編寫。

研究區(qū)域分為單元格子， 沿接觸線方向按200份分割，寬度方向50 份，單元寬度按0.1 計(jì)算。 采用假設(shè)條件和式（3）～（6）建立方程，得到200×50 個(gè)方程組。根據(jù)彈性趨近量假設(shè)計(jì)算各單元的接觸壓力，并根據(jù)接觸區(qū)壓力和彈性趨近與原始距離之差非負(fù)假設(shè)調(diào)整方程組結(jié)構(gòu)。 化彈性接觸問(wèn)題為正定系數(shù)矩陣的線性方程組問(wèn)題， 使用共軛梯度法反復(fù)迭代計(jì)算， 直到計(jì)算無(wú)量綱接觸壓力值與上次計(jì)算誤差不超過(guò)10-7，得到壓力分布結(jié)果，作為進(jìn)一步計(jì)算和分析的基礎(chǔ)。

為方便計(jì)算，用假設(shè)彈性趨近量方法，分析在理想彈性趨近情況下， 接觸力和滾子從非載荷區(qū)至載荷區(qū)域的運(yùn)行姿態(tài)變化情況， 得到圓錐凸度滾子的接觸特性。

2 接觸應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果和分析

2.1 無(wú)凸度接觸應(yīng)力計(jì)算

考慮圓錐滾子在內(nèi)外圈滾道的接觸， 圓錐滾子接觸當(dāng)量錐角設(shè)為15°，無(wú)量綱計(jì)算接觸線長(zhǎng)度200格。其中含兩端圓角10 格，寬度方向5 格，小端當(dāng)量接觸曲率半徑150 格。 沿接觸面垂直方向施加彈性趨近量0.05 格，使用Matlab 數(shù)學(xué)分析軟件計(jì)算無(wú)量綱接觸壓力分布。 無(wú)凸度接觸下的壓力分布計(jì)算結(jié)果如圖1 所示。

圖1 無(wú)凸度滾子接觸壓力分布Fig.1 Non-convexity roller contact stress distribution

由圖1 可以看出， 沿接觸線方向呈現(xiàn)兩端高中間平穩(wěn)的狀態(tài)。 這是由于滾子端部圓角遠(yuǎn)小于接觸曲率半徑，在邊緣處接觸應(yīng)力出現(xiàn)陡坡上升。在滾子邊緣處的接觸應(yīng)力奇大， 其數(shù)值與端部的圓角過(guò)渡光滑性密切相關(guān)，如圓弧過(guò)渡存在尖角，則會(huì)出現(xiàn)較高的邊緣應(yīng)力。由圖中的斜向跌落紋路分布可知，圓錐滾子大端接觸應(yīng)力大于小端接觸應(yīng)力。 在這種情況下，確定接觸性能的主導(dǎo)問(wèn)題為邊緣效應(yīng)。

2.2 對(duì)數(shù)凸度接觸應(yīng)力計(jì)算

為減少上述邊緣效應(yīng)， 通常采用修正滾子邊緣處母線輪廓形狀的方法， 使接觸應(yīng)力符合無(wú)限長(zhǎng)假設(shè)的狀態(tài)，從而達(dá)到減少邊緣應(yīng)力集中，增加壽命優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的。關(guān)于這方面的研究，先后出現(xiàn)了修正線、 圓弧和Lundberg 對(duì)數(shù)等曲線輪廓修正滾子形狀。其中，對(duì)數(shù)曲線輪廓能夠使應(yīng)力狀態(tài)符合無(wú)限長(zhǎng)假設(shè)，為最優(yōu)設(shè)計(jì)。工程上已經(jīng)成功地將其應(yīng)用于軸承制造領(lǐng)域， 如瑞典SKF 公司的Explore 系列對(duì)數(shù)母線滾子軸承、德國(guó)Schaeffler（FAG 和INA）對(duì)數(shù)滾子軸承、美國(guó)RBC 軸承公司的Tyson 型圓錐對(duì)數(shù)滾子軸承、 日本NTN 和Koyo 軸承公司的優(yōu)化對(duì)數(shù)曲線凸度滾子軸承等。在均勻接觸曲率條件下，對(duì)數(shù)方程為：

式中：z 為接觸中心線初始距離；Q 為接觸承載力， 即設(shè)計(jì)載荷， 可采用無(wú)凸度計(jì)算結(jié)果作為計(jì)算值；L 為接觸線長(zhǎng)度；x 為滾子邊緣至接觸線中點(diǎn)的距離。

由公式（7）得到的輪廓曲線為沿接觸線中心對(duì)稱的廓形，在圓柱滾子軸承中已經(jīng)廣泛應(yīng)用，可普遍延長(zhǎng)軸承壽命3 倍以上（SKF）。

不改變其他計(jì)算條件，輪廓形狀采用公式（7）對(duì)

圖2 圓錐對(duì)數(shù)凸度滾子壓力分布Fig.2 Stress distribution of circular cone to convexity roller

數(shù)曲線，按前述方法計(jì)算接觸應(yīng)力分布，結(jié)果如圖2所示。

從圖2 可以看出， 對(duì)數(shù)圓錐凸度滾子有效減少了邊緣處的應(yīng)力奇異現(xiàn)象， 即邊緣處壓力逐步減少為0，接觸壓力在接觸線方向分配基本均勻，最大值較無(wú)凸度圓錐滾子減少近一倍。

2.3 偏載效應(yīng)計(jì)算

上圖中，x 正值方向?yàn)閳A錐滾子大端，y 方向?yàn)榻佑|寬度方向?？疾靾D2 中接觸壓力的精細(xì)分布，分析接觸應(yīng)力紋路可得：在接觸壓力圖中，盡管最大應(yīng)力的差異表現(xiàn)不明顯，但壓力分布的脊紋偏向說(shuō)明，大端接觸壓力較凸度中心對(duì)稱的小端有所增高。 據(jù)此可推測(cè)，壓力引起的對(duì)數(shù)滾子凸度中心（接觸線中心和接觸坐標(biāo)原點(diǎn)）的無(wú)量綱力矩并不對(duì)稱，引起滾子向y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 這種沿凸度中心的傾翻力矩可稱為偏載力矩。

其他條件不變， 以垂直于接觸區(qū)的彈性趨近量0.001～0.09 為自變量，通過(guò)前述計(jì)算方法，計(jì)算各彈性趨近條件下的無(wú)量綱總承載力Q 和通過(guò)接觸線中心沿y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的總無(wú)量綱力矩， 可得到如圖3 的計(jì)算結(jié)果。

圖3（a）所示為彈性趨近量與無(wú)量綱載荷之間的關(guān)系。在中心對(duì)稱凸度滾子條件下，載荷隨彈性趨近量增加而逐步升高，除彈性趨近量較低時(shí)外，基本上呈線性增加趨勢(shì)。 此過(guò)程可看作在理想彈性變形情況下， 圓錐滾子從非接觸區(qū)到接觸區(qū)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的承載力變化情況。

圖3 彈性趨近量與載荷和偏載力矩關(guān)系Fig.3 Relations of elastic approach with loading and unbalance loading moment

以凸度頂點(diǎn)（接觸線中點(diǎn)）為力矩中心，接觸壓力產(chǎn)生的偏載力矩與彈性趨近量的關(guān)系如圖3（b）所示。 圖3（b）顯示，隨彈性趨近量的增大，偏載力矩扭轉(zhuǎn)方向的趨勢(shì)不變，且單調(diào)上升，數(shù)值上呈現(xiàn)近似二次曲線變化。 這說(shuō)明滾子在從非接觸區(qū)至接觸區(qū)逐漸承擔(dān)載荷的過(guò)程中， 受到使?jié)L子傾翻于大端并逐漸增大的力矩。

另一方面， 考慮滾子受到的偏載力矩發(fā)生于滾子／內(nèi)圈滾道和滾子／外圈滾道， 二者之間的不同之處在于合成的當(dāng)量接觸曲率發(fā)生改變，不失一般性，可使用不同的合成當(dāng)量錐角作為自變量， 模擬不同接觸曲率變化情況下的偏載力矩。 假設(shè)彈性趨近量為0.05，其他條件不發(fā)生改變，當(dāng)量錐角與無(wú)量綱力矩關(guān)系如圖4 所示。

由圖4 可以看出，隨著錐角在4°～20°范圍內(nèi)變化， 無(wú)量綱力矩與當(dāng)量錐角呈類似線性關(guān)系。 這說(shuō)明，只要當(dāng)量錐角不同，它們的力矩就不能互相抵消而獲得平衡狀態(tài)。

2.4 計(jì)算結(jié)果分析

圖4 當(dāng)量錐角與無(wú)量綱偏載力矩關(guān)系圖Fig.4 Relations of equivalent taper angle and dimensionless unbalance loading moment

在滾子理想運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下， 考慮滾子與內(nèi)外滾道接觸線形成的平面受力情況， 平面力矩不能完全消除。顯然，這種情況不可能發(fā)生。 在滾子進(jìn)入接觸區(qū)且接觸壓力上升的過(guò)程中，為平衡偏載力矩，滾子會(huì)產(chǎn)生一個(gè)沿y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微小角度， 使得接觸受力平衡。 值得注意，這是一個(gè)正反饋過(guò)程，即在進(jìn)入軸承壓力區(qū)時(shí)一定會(huì)發(fā)生，且偏斜會(huì)越來(lái)越大，或在端部局部應(yīng)力越來(lái)越高， 由此產(chǎn)生了滾子在徑向平面內(nèi)的歪斜現(xiàn)象，造成圓錐滾子軸承的早期失效。

在上述受力條件下，可能產(chǎn)生下述情況：傾翻力矩影響摩擦力分布，在受到接觸力矩較大時(shí)，使得保持架在確定區(qū)域受力、 在保持架限定的自由度范圍內(nèi)產(chǎn)生偏擺現(xiàn)象。

3 結(jié)論

（1） 圓錐滾子軸承的滾子在進(jìn)入壓力區(qū)的過(guò)程中，無(wú)論是凸度滾子還是直母線滾子，均會(huì)產(chǎn)生偏載荷效應(yīng)， 對(duì)稱型的凸度滾子可以有效地減少這種偏載荷。

（2）偏載荷效應(yīng)是正反饋過(guò)程，在壓力區(qū)逐步放大。

（3）由偏載荷和摩擦引起的軸承滾子在接觸區(qū)切面的偏擺將會(huì)影響軸承運(yùn)行。

由于軸承接觸時(shí)間短暫， 采用擬靜態(tài)分析有一定的誤差，考慮時(shí)間因素的偏載荷動(dòng)力學(xué)分析，則是滾子可靠性設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要影響因素。

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