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        一個(gè)新的求解線性互補(bǔ)問題的罰函數(shù)方法

        2013-12-07 05:28:10韓海山楊丹丹
        關(guān)鍵詞:李園對角線性

        李 園,韓海山,楊丹丹

        (內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)

        一個(gè)新的求解線性互補(bǔ)問題的罰函數(shù)方法

        李 園,韓海山,楊丹丹

        (內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)

        線性互補(bǔ)問題LCP(A;b)中矩陣A的結(jié)構(gòu)無論對線性互補(bǔ)問題解的存在性、唯一性,還是對算法的收斂性,都有著非常密切的關(guān)系.進(jìn)一步將P-矩陣線性互補(bǔ)問題的非線性罰方程進(jìn)行推廣,證明了線性互補(bǔ)問題的矩陣A在一定假設(shè)的基礎(chǔ)上,下對角元素均大于等于零時(shí)非線性罰方程的解指數(shù)次收斂到線性互補(bǔ)問題的解.

        運(yùn)籌學(xué);線性互補(bǔ)問題;P-矩陣;非線性罰方程;收斂

        線性互補(bǔ)問題是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支,廣泛應(yīng)用在自然科學(xué)、交通控制、管理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)均衡和工程計(jì)算等諸多領(lǐng)域,正因?yàn)槿绱耍€性互補(bǔ)問題成為數(shù)學(xué)規(guī)劃和計(jì)算數(shù)學(xué)中的一個(gè)十分熱門的研究領(lǐng)域.許多學(xué)者對求解線性互補(bǔ)問題的算法進(jìn)行了深入的研究,提出了許多算法,可歸納為:投影算法、內(nèi)點(diǎn)法、光滑牛頓法、不動(dòng)點(diǎn)算法、近似點(diǎn)算法、非光滑牛頓法、矩陣分裂法等[1-4].進(jìn)一步研究和提出線性互補(bǔ)問題的新型算法不僅具有理論意義,而且也具有重要的實(shí)際價(jià)值.

        本文考慮如下線性互補(bǔ)問題(簡記作LCP(A;b)):求向量x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn,使得:

        Ax-b≤0;x≤0;(Ax-b)Tx=0,

        (1)

        其中A∈Rn×n;b∈Rn.

        令K={y∈Rn|y≤0},則線性互補(bǔ)問題(1)等價(jià)于如下的變分不等式問題:求向量x∈K,使得對任意的y∈K,滿足:

        (y-x)TAx≥(y-x)Tb.

        (2)

        文獻(xiàn)[6]構(gòu)造了如下關(guān)于線性互補(bǔ)問題(1)的非線性罰方程:求xλ∈Rn,使得:

        (3)

        關(guān)于線性互補(bǔ)問題(1)的相對應(yīng)的非線性罰方程(3)的研究,已經(jīng)取得了如下成果:1984年,Glowinski[4]研究了Rn中變分不等式(2)的形如(3)式的非線性罰方程,證明了在矩陣A對稱正定的情況下罰方程的收斂性.2006年,Wang等人[5]將美國期權(quán)問題轉(zhuǎn)化成一線性互補(bǔ)問題,利用非線性罰方程(3)對其進(jìn)行了求解,證明了線性互補(bǔ)問題的矩陣為正定時(shí)罰方程的解收斂到互補(bǔ)問題的解.2008年,Yang等人[6]在線性互補(bǔ)問題(1)的矩陣為正定,主對角元素大于零,其余元素均小于等于零的條件下證明了當(dāng)懲罰因子趨向于無窮大時(shí)非線性罰方程(3)的解指數(shù)次收斂到線性互補(bǔ)問題的解.同年,Wang等人[7]提出了一個(gè)帶有擾動(dòng)項(xiàng)的求解非線性拋物型互補(bǔ)問題的非線性罰方程,但是罰方程的解收斂到互補(bǔ)問題的解仍需正定性假設(shè).鑒于上述罰函數(shù)方法的收斂性均依賴于線性互補(bǔ)問題的矩陣的正定性假設(shè).李園等人[8-9]將上述罰函數(shù)方法進(jìn)行了推廣,在線性互補(bǔ)問題的矩陣為嚴(yán)格行對角占優(yōu)的上三角形P-矩陣的條件下證明了非線性罰方程(3)的解指數(shù)次收斂到線性互補(bǔ)問題(1)的解.本文進(jìn)一步將李園等人[9]的P-矩陣線性互補(bǔ)問題的非線性罰方程進(jìn)行推廣,證明了線性互補(bǔ)問題(1)的矩陣A在文獻(xiàn)[9]的假設(shè)基礎(chǔ)上,下對角元素均大于等于零時(shí)非線性罰方程(3)的解收斂到線性互補(bǔ)問題(1)的解,并且收斂速率是指數(shù)次.

        1 預(yù)備知識(shí)

        定義1[1]矩陣A=(aij)∈Rn×n是P-矩陣的充要條件是A的所有主子式均大于零.

        關(guān)于P-矩陣的性質(zhì),有如下結(jié)論:

        引理1[3]A∈Rn×n是P-矩陣的充要條件是:存在一常數(shù)c>0,使得對于任意的向量x∈Rn,存在一下標(biāo)k=k(x),1≤k≤n,滿足:

        xk(Ax)k≥c‖x‖2.

        其中xk表示x的第k個(gè)分量,(Ax)k表示Ax的第k個(gè)分量.

        關(guān)于矩陣的F-范數(shù)‖·‖F(xiàn)與向量的歐式范數(shù)‖·‖的相容性,有如下結(jié)論:

        引理2[10]設(shè)A∈∈Rn×n,x∈∈Rn,則:‖Ax‖≤‖A‖F(xiàn)·‖x‖.

        2 非線性罰方程(3)解的性質(zhì)

        本節(jié)將討論非線性罰方程(3)的解的性質(zhì),給出非線性罰方程(3)的解收斂于線性互補(bǔ)問題(1)的解的充分條件.首先對線性互補(bǔ)問題(1)中的矩陣A作如下假設(shè):

        (A1)A是P-矩陣;

        (A3)矩陣A的奇異值均大于1.

        在假設(shè)(A1)的條件下,線性互補(bǔ)問題(1)有唯一解.根據(jù)上面的假設(shè),首先建立下面的定理.

        定理1 設(shè)x=(u1,u2,…,un)T∈Rn是非線性罰方程(3)的解,若x滿足下面條件之一:

        (i)xλ的分量均小于等于零;

        (ii)xλ僅有一個(gè)正分量,其余分量均小于等于零;

        (iii)xλ有m(2≤m

        (4)

        (5)

        證明(i):若xλ的分量均小于等于零,此時(shí)[xλ]+=(0,0,…,0)T于是‖[xλ]+‖p=0;‖[xλ]+‖=0,所以式(4)和(5)顯然成立;下面僅證明情況(iii),對于情況(ii)可類似證明.

        (6)

        A11=I1+L1+U1=L1+(I1+U1)=L1+K1,

        其中I1,L1和U1分別是A11的對角、下三角和上三角矩陣,K1=L1+U1,則:

        (7)

        對式(7)應(yīng)用H?lder不等式,得到:

        ‖[xλ]+‖2,

        于是:

        c1‖[xλ]+‖2≤[xλ

        即:

        不等式兩端同時(shí)開方后,得:

        證畢.

        由定理1,可以得到下面的收斂性定理.

        定理2 設(shè)x∈Rn和x∈Rn分別是線性互補(bǔ)問題(1)和非線性罰方程(3)的解,其中x滿足定理1的條件.如果rλ=x+[xλ]-=(r1,r2,…,rn)T≤0且對其任意兩個(gè)不為零的分量ri和rj均有|ri|≥|rj|,則存在一個(gè)與n,x,xλ和λ均無關(guān)的正數(shù)C,使得:

        (8)

        其中[xλ]-=-min{xλ,0},λ和k是式(3)中定義的參數(shù).

        證明由前面[xλ]+和[xλ]-的定義,有xλ=[xλ]+-[xλ]+,于是:

        隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)達(dá),電子商務(wù)漸漸火熱起來,這一節(jié)日就被商家所利用,以光棍為嚎頭制造單身人士要在這一天購物的氣氛。2009年淘寶商城的管理層首次將11月11日選用為淘寶購物狂歡節(jié),造就了高達(dá)0.5億元的銷售額,從此,“雙十一”被越來越多的消費(fèi)者銘記,“雙十一”所產(chǎn)生的銷售額逐年攀升。這種從節(jié)日到節(jié)日的文化轉(zhuǎn)型為“雙十一”的成功塑造解決了尤為關(guān)鍵的一步,讓眾多消費(fèi)者尤其是作為新世紀(jì)知識(shí)分子的大學(xué)生一代以最快的速度接受并記住。

        x-xλ=x+[xλ]--[xλ]+=rλ-[xλ]+,

        (9)

        其中rλ=x+[xλ]-.令υ=x-rλ,由rλ的定義知υ=x-rλ=-[xλ]-≤0,于是υ∈K,在式(2)中令y=υ后,得:

        (10)

        (11)

        將式(11)和式(12)相加后,有:

        (12)

        而:

        (13)

        將式(9)代入式(13)中,得:

        (14)

        設(shè)A=I+L+U=L+(I+U)=L+K,其中I;L和U分別是矩陣A的對角、下三角和上三角矩陣,K=I+U.于是:

        (15)

        根據(jù)引理2,不等式(15)的右端:

        ‖rλ‖·‖A[xλ]+‖≤‖rλ‖·‖A‖F(xiàn)·‖[xλ]+‖

        (16)

        又由引理1,有:

        ‖rλ‖2,

        (17)

        其中c2是常數(shù).

        由式(15)~(17),得到:

        c2‖rλ‖2≤‖rλ‖·‖A‖F(xiàn)·‖[xλ]+‖,

        所以:

        (18)

        綜合式(5),(9),(18)和三角不等式,得:

        證畢.

        3 結(jié)語

        本文進(jìn)一步將李園等人[9]的P-矩陣線性互補(bǔ)問題的非線性罰方程進(jìn)行推廣,證明了線性互補(bǔ)問題(1)的矩陣A在文獻(xiàn)[9]的假設(shè)基礎(chǔ)上,下對角元素均大于等于零時(shí)非線性罰方程(3)的解收斂到線性互補(bǔ)問題(1)的解,并且任然具有指數(shù)次的收斂速率,進(jìn)一步改進(jìn)了罰函數(shù)方法.

        [1] Cottle R W, Pang J S, Stone R E. The Linear Complementarity Problems[M].Aca-demic Press,San Diego,CA,1992.

        [2] Facchinei F, Pang J S. Finite-dimensional variational inequalities and complementar-ity problems[M].New York: Springer,2003.

        [3] 韓繼業(yè),修乃華,戚厚鐸.非線性互補(bǔ)理論與算法[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,2006.

        [4] Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems[M].New York:Springer-Verlag,1984.

        [5] Wang S,Yang X Q,Teo K L.Power penalty method for a linear complementarity problems arising from American option valuation[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2006,129(2):227-254.

        [6] Wang S,Yang X Q.Power penalty method for linear complementarity problems[J].Operations Research Letters,2008,36(2):211-214.

        [7] Wang S,Huang C S.A power penalty method for solving a nonlinear parabolic complementarity problem[J].Nonlinear Analysis,2008,69(4):1125-1137.

        [8] Li Y,Han H S,Li Y M,et al.Convergence analysis of power penalty method for three dimensional linear complementarity problems[J].Intelligent Information Management Systems and Technologies,2009,5(3):191-198.

        [9] 李園,楊丹丹,韓海山.線性互補(bǔ)問題罰函數(shù)方法的收斂性分析[J].運(yùn)籌與管理,2012,21(5):129-134.

        [10] 張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

        聲明

        本刊已許可中國學(xué)術(shù)期刊(光盤版)電子雜志社在中國知網(wǎng)及其系列數(shù)據(jù)庫產(chǎn)品中,以數(shù)字化方式復(fù)制、匯編、發(fā)行、信息網(wǎng)絡(luò)傳播本刊全文。該著作使用費(fèi)及相關(guān)稿酬,本刊均用作為作者文章發(fā)表、出版、推廣交流(含信息網(wǎng)絡(luò))以及贈(zèng)送樣刊之用途,即不再另行向作者支付。凡作者向本刊提交文章發(fā)表之行為即視為同意我刊上述聲明。

        湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)編輯部

        ANewPenalizedMethodforSolvingLinearComplementarityProblems

        LI Yuan,HAN Hai-shan,YANG Dan-dan

        (College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

        The structure of matrix A in the linear complementarity problem LCP(A;b) plays an important role in both the existence, uniqueness of the solution and the convergence of algorithms. In this paper,we further generalize the nonlinear penalized equation for solvingP-matrix LCP(A;b) and prove that the nonlinear penalized equation converges to that of the LCP(A;b) at an exponential rate under the condition that the lower diagonal elements of matrixAare greater than or equal to zero based on Li′s hypothesis.

        operations research;linear complementarity problem;P-matrix;nonlinear penalized equation;convergence

        2013-07-29.

        內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2011MS0114).

        李園(1985- ),男,講師,主要從事變分不等式與互補(bǔ)問題的研究.

        O221.2

        A

        1008-8423(2013)03-0262-05

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