廖 軍

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

關(guān)于不定方程x3+53=Dy2的整數(shù)解

廖 軍

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

設(shè)D為奇素?cái)?shù)，運(yùn)用平方剩余、同余式、樂(lè)讓德符號(hào)的性質(zhì)等初等方法得出了不定方程x3+53=Dy2無(wú)x≡0(mod 5)的正整數(shù)解的兩個(gè)充分條件.

不定方程；奇素?cái)?shù)；同余；平方剩余；正整數(shù)解；樂(lè)讓德符號(hào)

方程x3+a3=Dy2(D是無(wú)平方因子的正整數(shù))是一類重要的不定方程，其整數(shù)解越來(lái)越受到人們的關(guān)注.杜先存等[1-4]、張淑靜等[5]對(duì)a=1的情況進(jìn)行了系列研究，得到了一系列結(jié)果；但a=5時(shí)研究的結(jié)果還不多見(jiàn)，目前只有很少人進(jìn)行過(guò)研究，其結(jié)論主要為：1996年，李復(fù)中[6]用簡(jiǎn)單同余法給出了不定方程x3+125=Dy2的全部非平凡正整數(shù)解，其中D>0，且不能被3或6k+1形的素?cái)?shù)整數(shù)；1998年，李復(fù)中[7]用簡(jiǎn)單同余法給出了一類不定方程x3+(5k)3=Dy2的全部非平凡整數(shù)解，其中D>0，無(wú)平方因子且不能被3或6k+1型的素?cái)?shù)整數(shù)；2006年，劉曉敏[8]用二次剩余法給出了不定方程x3+125=Dy2，其中D>0，D含6k+1形素因子，方程x3+125=Dy2無(wú)正整數(shù)解的充分性條件.本文主要給出了不定方程x3+53=Dy2無(wú)正整數(shù)解的兩個(gè)充分性條件.

定理1 若D≡1,49(mod120)為奇素?cái)?shù)時(shí)，不定方程:

x3+53=Dy2

(1)

無(wú)x≡0(mod 5)的Z+解.

證明設(shè)(x,y)是方程的一組解，則有方程(1)可化為:(x+5)(x2-5x+25)=Dy2，又gcd(x+5,x2-5x+25)=gcd(x+5,(x+5)2-15(x+5)+75)=gcd(x+5,75)，由于75的正約數(shù)有1,3,5,15,25,75，而x≡?0(mod 5)，故 gcd(x+5,x2-5x+25)=1或3，故方程(1)可分為以下4種可能的情形：

情形Ⅰ：x+5=Du2，x2-5x+25=v2，y=uv，gcd(u,v)=1;

情形Ⅱ：x+5=u2，x2-5x+25=Dv2，y=uv，gcd(u,v)=1;

情形Ⅲ：x+5=3Du2，x2-5x+25=3v2，y=3uv，gcd(u,v)=1;

情形Ⅳ：x+5=3u2，x2-5x+25=3Dv2，y=3uv，gcd(u,v)=1.

以下分別對(duì)這四種情形進(jìn)行討論：

情形Ⅰ 由第二式得：x=-16,-3,0,5,8,21，則Du2=-11,2,5,10,13,26，無(wú)解，故情形Ⅰ不成立.

情形Ⅱ 由u∈Z,得u2≡0,1,4(mod8)，即x=u2-5≡3,4,7(mod 8)，則x2-5x+25≡3,5,7(mod 8)，又x2-5x+25 ≡0(mod 2)，則v2≡1(mod 8)，又D≡1,49(mod 120)，故Dv2≡1(mod 8)，所以3,5,7≡x2-5x+25=Dv2≡1(mod 8)，矛盾，故情形Ⅱ不成立.

情形Ⅲ 由x2-5x+25=3v2配方得：

(2x-5)2+75=12v2

(2)

把x=3Du2-5代入式(2)可得：

3(2Du2-5)2+25=(2v)2

(3)

由情形Ⅳ的第二式配方得：

(2x-5)2+75=3D(2v)2

(4)

把x=3u2-5代入式(4)可得：

3(2u2-5)2+25=D(2v)2

(5)

綜上：不定方程(1)在題設(shè)條件下無(wú)x≡0(mod 5)的Z+解.

定理2 設(shè)D≡7,43(mod 60)為奇素?cái)?shù)時(shí)，不定方程：

x3+53=Dy2

(6)

無(wú)x≡0(mod 5)的Z+解.

證明設(shè)(x,y)是方程(1)的一組解，則方程(1)可化為(x+5)(x2-5x+25)=Dy2，又x≡0(mod 5)，則(x+5,x2-5x+25)=1或3，所以方程(1)可分為以下4種可能的情形：

情形Ⅰ：x+5=Du2，x2-5x+25=v2，y=uv，gcd(u,v)=1;

情形Ⅱ：x+5=u2，x2-5x+25=Dv2，y=uv，gcd(u,v)=1;

情形Ⅲ：x+5=3Du2，x2-5x+25=3v2，y=3uv，gcd(u,v)=1;

情形Ⅳ：x+5=3u2，x2-5x+25=3Dv2，y=3uv，gcd(u,v)=1;

情形Ⅰ 由第二式得x=-16,-3,0,5,8,21，則Du2=-11,2,5,10,13,26，無(wú)解，故情形Ⅰ不成立.

情形Ⅱ 由配方得:

(2x-5)2+75=D(2v)2

(7)

把x=u2-5代入式(7)可得:

(2u2-15)2+75=D(2v)2

(8)

情形Ⅲ 由x2-5x+25=3v2配方得:

(2x-5)2+75=12v2

(9)

把x=3Du2-5代入式(9)可得:

3(2Du2-5)2+25=(2v)2

(10)

情形Ⅳ 由u∈Z,得u2≡0,1(mod 4)，則有3u2≡0,3(mod 4)，即x=3u2-5≡2,3(mod 4)，則x2-5x+25≡3(mod 4)，又x2-5x+25≡0(mod 2)，則v2≡1(mod 8)，又D≡7,43(mod 60)，則3Dv2≡1(mod 4)，所以3≡x2-5x+25=3Dv2≡1(mod 4)，矛盾，故情形Ⅳ不成立.

綜上：方程(1)在題設(shè)條件下無(wú)x≡0(mod 5)的Z+解.

[1] 杜先存,管訓(xùn)貴,楊慧章.關(guān)于不定方程x3+1=91y2[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)漢文版,2013，42(4)：397-399.

[2] 杜先存,萬(wàn)飛,楊慧章.關(guān)于丟番圖方程x3±1=1267y2的整數(shù)解[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43(15)：288-292.

[3] 杜先存,吳叢博,趙金娥.關(guān)于Diophantine方程x3±1=3Dy2[J].沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，25(1)：84-86.

[4] 杜先存,趙東晉,趙金娥.關(guān)于不定方程x3±1=2py2[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，39(1)：42-43.

[5] 張淑靜,楊雅琳,賈曉明.關(guān)于Diophantine方程x3+1=3pD1y2[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，23(4)：31-33.

[6] 李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±125=Dy2[J].東北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1996,(3):15-16.

[7] 李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±(5k)3=Dy2[J].東北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1998,(2):16-19.

[8] 劉曉敏.關(guān)于丟番圖方程x3±p3=Dy2解的討論[D]. 哈爾濱：哈爾濱理工大學(xué),2006.

OnSolutionoftheDiophantineEquationx3+53=Dy2

LIAO Jun

(College of Mathematics, Wenshan University,Wenshan 663000, China)

LetDbe an odd prime. By using quadratic residue,congruent formula, legendre symbol, two sufficient conditionss are obtained that the Diophantine equationx3+53=Dy2has no integer solutions withx≡0( mod 5).

Diophantine equation;odd prime; congruence;quadratic residue;positive integer solution;legendre symbol

2013-08-21.

云南省教育廳科研基金項(xiàng)目(2012Y270)；文山學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科“數(shù)學(xué)”建設(shè)項(xiàng)目(12WSXK01).

廖軍(1977- )，男，碩士，講師，主要從事初等數(shù)學(xué)及數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究.

O156.1

A

1008-8423(2013)03-0275-03