劉先平

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

帶模糊參數(shù)的理想化模糊軟環(huán)

劉先平

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

根據(jù)環(huán)的模糊理想和帶模糊參數(shù)的模糊軟集的概念提出帶模糊參數(shù)的理想化模糊軟環(huán)和帶模糊參數(shù)的模糊軟環(huán)同態(tài)的概念，討論它們的基本性質(zhì).并進一步提出隨模糊參數(shù)遞增(遞減)的理想化模糊軟環(huán)的概念和相關(guān)理論.

模糊理想;理想化模糊軟環(huán)；模糊軟同態(tài)

美國控制論專家L.A.Zadeh于1965年提出模糊集概念[1]，奠定了模糊理論的基礎(chǔ).模糊理論是處理不確定信息的一種數(shù)學(xué)方法.許多學(xué)者把模糊集應(yīng)用到代數(shù)理論中，模糊代數(shù)理論得到了迅速發(fā)展.Rosenfeld 引入了模糊子群和模糊子半群的概念[2]，Mukherjee引入了模糊子環(huán)和模糊理想的概念并進行了相關(guān)研究[3]，其他學(xué)者也對其展開進一步研究，得到了許多重要結(jié)論.1999年Molodtov又提出軟集的概念[4]，它是一種新的處理不確定性、不精確性的數(shù)學(xué)工具.近年來，軟代數(shù)理論也得到了快速的發(fā)展[5-10].Maji結(jié)合模糊集理論和軟集理論提出了模糊軟集的概念[11]，Cagman進一步提出了帶模糊參數(shù)的軟集和帶模糊參數(shù)的模糊軟集的概念[12-13].本文根據(jù)環(huán)的模糊理想和帶模糊參數(shù)的模糊軟集的相關(guān)理論提出帶模糊參數(shù)的理想化模糊軟環(huán)的概念，討論它們的基本性質(zhì).并進一步提出隨模糊參數(shù)遞增(遞減)的理想化模糊軟環(huán)的概念和相應(yīng)理論.

1 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)μ是集合U到[0,1]的映射，即μ:U→[0,1]，稱映射稱μ是U的一個模糊集，μ(x)稱為模糊集μ的隸屬函數(shù)，U的全體模糊集所構(gòu)成的集合記為F(U).若μ,ν∈F(U)，μ∪ν稱為μ與ν的并，其中(μ∪ν)(x)=max{μ(x),ν(x)}；μ∩ν稱為μ與ν的交，其中(μ∩ν)(x)=min{μ(x),ν(x)}.

定義2[3]設(shè)R是一個環(huán)，μ是R的一個模糊集，若對?x,y∈R，滿足下列條件：

(1)μ(x-y)≥min{μ(x),μ(y)}，

(2)μ(xy)≥max{μ(x),μ(y)}，

則稱μ是R的一個模糊理想.

定義3[11]設(shè)U是一個集合，E是一個參數(shù)集，如果γ為E到F(U)的一個映射，即γ:E→F(U)，則稱序?qū)?γ,E)為集合U上的模糊軟集.

定義4[13]設(shè)U是一個集合，E是一個參數(shù)集，X是參數(shù)集E的模糊集，其隸屬函數(shù)記為μX(x)，即μX:E→[0,1]，γX為E到F(U)的一個帶有模糊參數(shù)的映射，即γX:E→F(U)，當μX(x)=0時，γX(x)=φ.稱序?qū)(μX(x)/x,γX(x)):x∈E,γX(x)∈F(U),μX(x)∈[0,1]}為集合U上帶模糊參數(shù)X的模糊軟集，記為ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈E,γX(x)∈F(R),μX(x)∈[0,1]}.

定義5[13]設(shè)ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈E,γX(x)∈F(U),μX(x)∈[0,1]}，ΓY={(μY(x)/x,γY(x)):x∈E,γY(x)∈F(U),μY(x)∈[0,1]}， 稱ΓXΓY為ΓX與ΓY的交，其中ΓXΓY={((μX∩μY)(x)/x,(γX∩γY)(x)):x∈E}；稱ΓXΓY為ΓX與ΓY的并，其中ΓXΓY={((μX∪μY)(x)/x,(γX∪γY)(x)):x∈E}.

定義6[14]設(shè)X,Y是兩個集合，f:X→Y是一個映射，μ,ν分別是X,Y的模糊集，則μ在f下的象和ν在f下的原象分別定義如下：

f-1(ν)(x)=ν(f(x))，x∈X.

引理1 設(shè)f是環(huán)R到環(huán)K的一個滿同態(tài)，若μ是R的模糊理想，則f(μ)是K的模糊理想.

2 帶模糊參數(shù)的理想化模糊軟環(huán)

定義7 設(shè)R是一個環(huán)，E是一個參數(shù)集，X是E的模糊集，ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈E,γX(x)∈F(R),μX(x)∈[0,1]}，如果對任意x∈E，γX(x)都是R的模糊理想，則稱ΓX是R上帶模糊參數(shù)X的理想化模糊軟環(huán).

E的模糊集X={0.2/a,0.6/b,0/c}，

則ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈E}是R上帶模糊參數(shù)X的理想化模糊軟環(huán).

定理1 設(shè)R是一個環(huán)，E是一個參數(shù)集，如果ΓX和ΓY分別是環(huán)R上帶模糊參數(shù)X和Y的理想化模糊軟環(huán)，則ΓXΓY是R上帶模糊參數(shù)X∩Y的理想化模糊軟環(huán).

證明因為ΓXΓY={((μX∩μY)(x)/x,(γX∩γY)(x)):x∈E}，ΓX和ΓY分別是環(huán)R上的帶模糊參數(shù)X和Y的理想化模糊軟環(huán)，即X,Y都是E的模糊集，且對?x∈E，γX(x),γY(x)都是R的模糊理想.于是X∩Y也是E的模糊集，(γX∩γY)(x)也是R的模糊理想，即ΓXΓY是R上帶模糊參數(shù)X∩Y的理想化模糊軟環(huán).

定理2 設(shè)R是一個環(huán)，E是一個參數(shù)集，如果ΓX和ΓY分別是環(huán)R上帶模糊參數(shù)X和Y的理想化模糊軟環(huán)，且X∩Y=φ，則ΓXΓY也是R上帶模糊參數(shù)X∪Y的理想化模糊軟環(huán).

由引理1，容易得出下列結(jié)論：

定理3 設(shè)ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈E,γX(x)∈F(R),μX(x)∈[0,1]}是環(huán)R上的具有模糊參數(shù)X的理想化模糊軟環(huán)，則ΓX={(μX(x)/x,f(γX(x))):x∈E}是環(huán)K上的具有模糊參數(shù)X的理想化模糊軟環(huán).

定義8 設(shè)R是一個環(huán)，A,B是兩個參數(shù)集，X,Y分別是A,B的模糊集，ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈A,γX(x)∈F(R),μX(x)∈[0,1]}，ΓY={(μY(x)/x,γY(x)):x∈B,γY(x)∈F(K),μY(x)∈[0,1]}

分別是環(huán)R,K上的具有模糊參數(shù)X,Y的理想化模糊軟環(huán)，f是R到K的映射，即f:R→K，g是A到B的映射，g:A→B，如果滿足下列條件：

1)f是R到K的滿同態(tài)；

2)g是A到B的滿射；

3)μX(x)=μY(g(x))，f(γX(x))=γY(g(x))，?x∈A.

如果f是R到K的一個同構(gòu)，g是一個雙射，則我們稱(f,g)是一個帶模糊參數(shù)的模糊軟環(huán)同構(gòu)，稱ΓX同構(gòu)于ΓY，記為ΓX?ΓY.

例2 設(shè)R=Z(+,×)，K=3Z(+,×)，A={1,2},B={2,4}，f:R→K定義為f(r)=3r，g:A→B定義為g(x)=2x，A的模糊集定義為X={0.2/1,0.6/2,}，B的模糊集定義為Y={0.2/2,0.6/4,}，γX,γY分別定義如下：

；

顯然，ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈A}和ΓY={(μY(x)/x,γY(x)):x∈B}分別是環(huán)R和K上的具有模糊參數(shù)X和Y的理想化模糊軟環(huán).我們可以驗證，f是R到K的同構(gòu)，g是A到B的雙射，對?x∈A，μX(x)=μY(g(x))，f(γX(x))=γY(g(x))，因此，ΓX同構(gòu)于ΓY.

定理4 設(shè)ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈A,γX(x)∈F(R),μX(x)∈[0,1]}是環(huán)R上的具有模糊參數(shù)X的理想化模糊軟環(huán)，ΓY={(μY(x)/x,γY(x)):x∈B,γY(x)∈F(K),μY(x)∈[0,1]}是環(huán)K上的具有模糊參數(shù)Y的模糊軟集，如果ΓX～ΓY，則ΓY環(huán)K上的具有模糊參數(shù)Y的理想化模糊軟環(huán).

證明設(shè)(f,g)是從ΓX到ΓY的帶模糊參數(shù)的模糊軟環(huán)同態(tài)，由于ΓX是環(huán)R上的帶模糊參數(shù)X的理想化模糊軟環(huán)，即對x∈A,μX(x)∈[0,1]，γX(x)是環(huán)R的一模糊理想；則對?y∈B，?x∈A,，使得g(x)=y，μY(y)=μY(g(x))=μX(x)∈[0,1]，是環(huán)K的模糊理想，所以ΓY環(huán)K上的帶模糊參數(shù)Y的理想化模糊軟環(huán).

3 隨模糊參數(shù)遞增(遞減)的理想化模糊軟環(huán)

定義9 設(shè)ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈E,γX(x)∈F(R),μX(x)∈[0,1]}是環(huán)R上的帶模糊參數(shù)X的理想化模糊軟環(huán)，對于?x,y∈E,如果μX(x)≤μX(y)，有γX(x)?γX(y)(γX(x)?γX(y))，則稱ΓX是環(huán)R上隨模糊參數(shù)X遞增(遞減)的理想化模糊軟環(huán).

E的模糊集X={0.8/a,0.6/b,0.1/c,0.4/d}，

則ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈E}是R上隨模糊參數(shù)X遞增的理想化模糊軟環(huán).

注意，如果ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈E,γX(x)∈F(R),μX(x)∈[0,1]}和ΓY={(μY(x)/x,γY(x)):x∈E,γY(x)∈F(R),μY(x)∈[0,1]}分別是R上隨模糊參數(shù)X和Y遞增(遞減)的理想化模糊軟環(huán)，但ΓXΓY不一定是R上隨模糊參數(shù)X∩Y遞增(遞減)的理想化模糊軟環(huán).

X={0.5/x1,0.4/x2}，

Y={0.1/x1,0.9/x2}，

ΓX,ΓY分別是R上隨模糊參數(shù)X和Y遞增的理想化模糊軟環(huán)，但是，X∩Y={0.1/x1,0.4/x2}，

X={0/x1,0.4/x2}，

Y={0.1/x1,0/x2}，

定理4 設(shè)ΓX={(μX(x)/x,γX(x)):x∈A,γX(x)∈F(R),μX(x)∈[0,1]}是環(huán)R上隨模糊參數(shù)X遞增(遞減)的理想化模糊軟環(huán)，ΓY={(μY(x)/x,γY(x)):x∈B,γY(x)∈F(K),μY(x)∈[0,1]}是環(huán)K上的帶模糊參數(shù)Y的模糊軟集，如果ΓX～ΓY，則ΓY環(huán)K上隨模糊參數(shù)Y遞增(遞減)的理想化模糊軟環(huán).

證明設(shè)(f,g)是從ΓX到ΓY的帶模糊參數(shù)的模糊軟環(huán)同態(tài)，由于ΓX是環(huán)R隨模糊參數(shù)X遞增的理想化模糊軟環(huán)，即對x1,x2∈A,μX(x1)≤μX(x2)，γX(x1),γX(x2)是環(huán)R的模糊理想，且γX(x1)?γX(x2)；對?y1,y2∈B，若μY(y1)≤μY(y2)，?x1,x2∈A,，使得g(x1)=y1，g(x2)=y2.由于μY(y1)=μY(g(x1))=μX(x1)，μY(y2)=μY(g(x2))=μX(x2)，因此，μX(x1)≤μX(x2)，γX(x1)?γX(x2)，

γY(y1)=γY(g(x1))=f(γX(x1))?f(γX)(x2)=γY(g(x2))=γY(y2).

所以ΓY是環(huán)K上隨模糊參數(shù)Y遞增的理想化模糊軟環(huán).

對于ΓX是環(huán)R隨模糊參數(shù)遞減的理想化模糊軟環(huán)的情形，同樣可以證明ΓY是環(huán)K上隨模糊參數(shù)遞減的理想化模糊軟環(huán).

[1] Zadeh L A.Fuzzy sets[J]. Inform Control,1965,8:338-353.

[2] Rosenfeld A. Fuzzy groups [J].J Math Anal Appl,1971,35:512-517.

[3] Mukherjee T K, Sen M K. On Fuzzy ideals of a ring I [J].Fuzzy Sets and Systems,1987,21:99-104.

[4] Molodstov D. Soft set theory-first results [J].Comput Math Appl,1999,37:19-31.

[5] Aktas H, Cagman N. Soft sets and soft groups [J].Inform Sci,2007,177:2726-2735.

[6] Feng F.Soft semirings[J].Computers and Mathematics with Applications,2008,56:2621-2628.

[7] Jun Y B.Soft BCK/BCI-algebras[J].Comput Math Appl,2008,56:1408-1413.

[8] Jun Y B,Park C H.Applications of soft sets in ideal theory of BCK/BCI-algebras[J].Inform Sci,2008,178:2466-2475.

[9] Liu X P,Xiang D J,Zhan J M,et al.Isomorphism theorems for soft rings[J].Algebra Colloquium,2012,19:391-397.

[10] Liu X P,Xiang D J,Zhan J M.Fuzzy isomorphism theorems of soft rings[J].Neural Comput Appl,2012,21:391-397.

[11] Maji P K,Biswas R,Roy A R.Fuzzy soft sets[J].Fuzzy Math,2001,9:589-602.

[12] Cagman N,Citak F,Enginogglu S.FP-soft sets and its applications [J].Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics,2011,2:219-226.

[13] Cagman N,Citak F,Enginogglu S.Fuzzy parameterized fuzzy soft set theory and its applications[J].Turkish Journal of Fuzzy Systems,2010,1:21-35.

[14] Liu Y,Liu S.Fuzzy isomorphism theorems of groups[J].Far East J Appl Math,2004,16:77-89.

IdealisticFuzzySoftRingswithFuzzyParameters

LIU Xian-ping

(School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

The concepts of fuzzy parameterized idealistic fuzzy soft rings and fuzzy soft homomorphism are introduced based on fuzzy ideals and fuzzy parameterized fuzzy soft sets. Then some properties of them are given. Furthermore,idealistic fuzzy soft rings with increasing (decreasing) fuzzy parameters are proposed and corresponding properties are studied.

fuzzy ideals;idealistic fuzzy soft rings；fuzzy soft homomorphism

2013-03-29.

國家自然科學(xué)基金項目(61175055);湖北省教育廳自然科學(xué)研究項目(B20122904).

劉先平(1979- ),女,講師，碩士,主要從事代數(shù)學(xué)研究.

0153.3

A

1008-8423(2013)02-0167-04