楊 宇 潘海洋 程軍圣

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

0 引言

對滾動軸承進行故障診斷，首先必須準確提取振動信號的特征，但滾動軸承振動信號往往表現(xiàn)出非線性、非平穩(wěn)特征。熵不僅能表征信號的復雜性(不規(guī)則性)，而且能夠度量一個系統(tǒng)或一段信息的不確定性，因而有利于處理非線性問題。模糊熵是由樣本熵發(fā)展而來的，它克服了樣本熵定義的局限性［1］，其值隨參數(shù)的變換過渡平穩(wěn)，且具備樣本熵的相對一致性和短數(shù)據(jù)集處理特性，因而可以作為特征值應用于滾動軸承的故障診斷中。但是，傳感器拾取的振動信號中往往混有背景信號和噪聲，其頻帶往往相互重疊，而熵對噪聲比較敏感，如果直接對原始振動信號求模糊熵，不同工作狀態(tài)和故障類別下的振動信號熵值往往比較接近，區(qū)分效果通常不明顯。因此，有必要先對所拾取的信號進行降噪處理，再計算降噪后信號的模糊熵，這樣就減少了信號間特征信息的干涉或耦合，從而實現(xiàn)故障特征的有效分離。

傳統(tǒng)的降噪方法是采用濾波器濾掉噪聲頻率成分，但是對于含寬帶噪聲的信號、非平穩(wěn)信號和短時瞬態(tài)信號，傳統(tǒng)降噪方法有著明顯的局限性。小波閾值降噪［2］相對于傳統(tǒng)降噪方法具有更顯著的降噪效果，但是小波分解時的頻域重疊以及難以準確選取閾值，使得小波降噪法達不到理想的效果。EMD(empirical mode decomposition)方法［3］和 LMD(local mean decomposition)方法［4］都可以對振動信號進行降噪，但這兩種方法在理論上都還存在一些問題，如EMD的欠包絡、過包絡和頻率混淆等問題［5］，LMD的信號突變和端點效應問題［6］。ITD(intrinsic time—scale decomposition)是一種新的自適應時頻分析方法［7］，該方法能將非平穩(wěn)信號分解成為若干固有旋轉(zhuǎn)分量之和。與EMD相比，ITD在端點效應和計算速度上都有明顯優(yōu)勢，且可以避免EMD方法中的包絡誤差，但是該方法并沒有對算法本身及固有旋轉(zhuǎn)分量的物理意義進行闡述。程軍圣等［8］在闡述ITD方法及其固有旋轉(zhuǎn)分量物理意義的基礎上，提出了局部特征尺度分解(local characteristic scale decomposition，LCD)算法。關(guān)于LCD算法的有效性及其在端點效應和分解時間方面均優(yōu)于EMD的結(jié)論已在文獻［8］中詳細討論。本文在此基礎上提出了一種基于LCD的降噪方法，并進一步提取降噪后信號在不同維數(shù)下的模糊熵作為故障特征。

模式識別是滾動軸承故障診斷中的另一關(guān)鍵，目前常用于故障診斷的模式識別方法有神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量機等，神經(jīng)網(wǎng)絡模式識別方法具有局部極小點、過學習、網(wǎng)絡訓練速度慢等缺陷，且過分依賴于先驗知識和經(jīng)驗［9］;而支持向量機需要嚴格的核函數(shù)及其參數(shù)調(diào)整，核函數(shù)及其參數(shù)的選擇對分類結(jié)果有很大的影響［10］。尤其需要指出的是，上述模式識別方法都忽略了所提取特征值之間的內(nèi)在關(guān)系，然而，在機械故障診斷中，特征值之間大都存在一定的內(nèi)在關(guān)系，而且這種內(nèi)在關(guān)系在不同的系統(tǒng)或類別(相同的系統(tǒng)在不同的工作狀態(tài)下)間有很大的不同。

近年來，Raghuraj等［11］提出了一種新的模式識別方法——基于多變量預測模型的模式識別(variable predictive mode based class discriminate，VPMCD)方法。該方法的本質(zhì)特點是認為所提取的全部或部分特征值之間具有某種內(nèi)在的變量關(guān)系，而且這種內(nèi)在變量關(guān)系在不同的類別之間具有明顯的不同，因此可以充分利用所提取的特征值之間的這種內(nèi)在變量關(guān)系來建立數(shù)學模型，并使用各種樣本數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進行估計，從而得到不同類型的預測模型，最終采用預測模型對測試樣本進行分類。在不同維數(shù)下從滾動軸承振動信號中提取的模糊熵之間都具有一定的內(nèi)在變量關(guān)系，因此可以采用模糊熵作為特征值，以VPMCD為分類器來實現(xiàn)對滾動軸承工作狀態(tài)和故障類型的分類。

基于上述分析，本文提出了基于LCD降噪和VPMCD的滾動軸承故障診斷方法。為了檢驗VPMCD方法的有效性，分別采用Jackknife檢驗法［12］和 K 折交叉檢驗法［13］對 VPMCD 方法進行了有效性驗證。

1 LCD降噪理論

LCD降噪方法的主要思想是按照一定準則找出分解后信號中的“無用”單分量成分，并將其認定為噪聲予以剔除。即首先采用互相關(guān)法分別找出相關(guān)性極小、較小和較大的單分量，依次初判為噪聲、偽分量和有用分量。對于判定為噪聲的單分量信號直接予以剔除，對判定為偽分量的信號進一步進行自相關(guān)分析以判斷是否為噪聲，最后將有用的單分量信號進行重構(gòu)，從而達到降噪的目的。

本文中對原信號進行LCD分解后，可得到H個單分量信號。對每一個分量求其與原信號的互相關(guān)性，得到H個相關(guān)系數(shù)值。由于白噪聲信號與任何信號都不相關(guān)，因此它與原信號的互相關(guān)值為零。但由于噪聲信號在分解過程中進行了強迫對稱分解，已不再是白噪聲，所以與原信號的互相關(guān)系數(shù)值往往不為零，但較小。本文根據(jù)經(jīng)驗設定閾值，若單分量信號與原信號相關(guān)系數(shù)值大于設定的閾值，則被判定為有用信號，予以保留;若相關(guān)系數(shù)值小于設定的閾值，則被判定為偽分量;相關(guān)系數(shù)值極小的被判定為噪聲，直接剔除。進一步對偽分量進行自相關(guān)分析，如果自相關(guān)系數(shù)除了在零點取得最大值之外，其余皆很小，則可判定為噪聲，否則判定為有用分量。最后將有用分量進行重構(gòu)，以實現(xiàn)降噪。

2 VPMCD原理

VPMCD方法是一種基于多變量預測模型的模式識別方法［11］，其主要前提是被用來將系統(tǒng)劃分為不同類別的所有或者部分特征值(或變量)之間都具有一定的相互內(nèi)在關(guān)系，而這種關(guān)系在不同的系統(tǒng)或類別(相同的系統(tǒng)在不同的工作狀態(tài)下)之間明顯不同，對所提取的各特征值之間的內(nèi)在變量關(guān)系建立數(shù)學模型，對于不同的類別可以得到不同的數(shù)學模型，從而可以采用這些數(shù)學模型對測試樣本的特征值進行預測，把預測結(jié)果作為分類依據(jù)，進一步進行模式識別。

在機械故障中，采用p個不同的特征值X=(X1，X2，…，Xp)來描述一個故障類別，在不同的故障類別中，其他特征值的變化會導致X1產(chǎn)生不同的變化，那么在該問題中，特征值之間有可能存在一對一的線性或非線性關(guān)系:X1=f(X2);或者一對多的關(guān)系:X1=f(X2，X3，…)。為了識別系統(tǒng)的故障模式，需建立數(shù)學模型。在VPMCD方法中，為特征值Xi定義的變量預測模型VPMi為一個線性或者非線性的回歸模型，有以下四種數(shù)學模型:

(1)線性模型(L):)

(2)線性交互模型(LI):

(3)二次交互模型(QI):

(4)二次模型(Q):

式中，s為模型階數(shù)，s≤p－1。

以p個特征值為例，對以上四種模型中任意一個模型采用特征值Xj(j≠i)對Xi進行預測，都可以得到:

式(5)稱為特征值 Xi的變量預測模型VPMi。 其中，特征值 Xi稱為被預測變量;Xj(j≠i)稱為預測變量;e為預測誤差;b0、bj、bjj、bjk為模型參數(shù)，它們可以通過學習樣本對預測模型進行訓練得到，這實際上是采用所有訓練樣本的特征值 X=(X1，X2，…，Xp)對 b0、bj、bjj、bjk等模型參數(shù)進行估計的問題。

2.1 VPMCD模型的訓練

(1)對于g類故障分類問題，共收集N個訓練樣本，每一類故障樣本數(shù)分別為n1，n2，…，ng。

(2)對所有訓練樣本提取特征值X=(X1，X2，…，Xp)。

(3)對任意Xi選擇模型類別、預測變量和模型階數(shù)。

(5)令 k← k+1，循環(huán)步驟(4)，至 k=g時結(jié)束。

2.2 VPMCD模型的分類

(1)選擇測試樣本，并提取特征值X=(X1，X2，…，Xp)。

3 基于LCD降噪和VPMCD的診斷方法

基于LCD降噪和VPMCD的滾動軸承故障診斷方法步驟如下:

(1)在一定轉(zhuǎn)速下以采樣頻率fs對滾動軸承正常、內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動體故障四種狀態(tài)進行采樣，每種狀態(tài)采集M組樣本。

(2)首先利用LCD方法對原始振動信號進行分解，得到若干個單分量;然后求出各單分量信號與原信號的互相關(guān)值，判斷出各單分量是主分量、偽分量還是噪聲信號;最后對偽分量進行自相關(guān)分析，判斷是否屬于噪聲信號。剔除噪聲信號后，將剩下的單分量信號重構(gòu)。

(3)對重構(gòu)信號提取不同維數(shù)(i)下的模糊熵作為特征值，組成特征值向量，每種狀態(tài)下得到N×i階特征值矩陣，模糊熵的計算公式如下:

當L為有限值時，得到的是序列長度為L時模糊熵的估計值:

4 應用

4.1 仿真信號分析

考察仿真信號

x(t)由一個正弦分量、一個余弦分量和白噪聲組成。其中，噪聲信號n(t)為在區(qū)間［－0.5，0.5］內(nèi)隨機分布的白噪聲，如圖1所示。

圖1 原始含噪聲信號

經(jīng)LCD分解后，信號分解成5個單分量和趨勢項，趨勢項頻率很低，主要是噪聲成分，因此可以直接剔除，見圖2(趨勢項省略)。各單分量與原信號的相關(guān)函數(shù)值分別為 0.2392、0.1198、0.1949、0.6826 和0.6679。

圖2 信號x(t)及其LCD分解結(jié)果

從各單分量與原信號的相關(guān)值可以看出，單分量4、5與原信號的相關(guān)程度都很大，可認為是原信號中的主要成分;單分量1、2、3與原信號的相關(guān)程度都比較小，可初步認為是偽分量。然后對各單分量進行自相關(guān)分析，如圖3所示，單分量1、2、3的自相關(guān)系數(shù)除了在零點取得最大值之外，其余皆很小，因此可以判斷為噪聲;單分量4和單分量5的自相關(guān)系數(shù)除了在零點較大外，其余也較大，因此可判斷單分量4和5是信號中的有用成分。

圖3 各單分量的自相關(guān)圖

根據(jù)以上分析，剔除噪聲成分(單分量1、2、3)，將單分量4和單分量5進行重構(gòu)，重構(gòu)信號如圖4所示。從圖4中可以看出，降噪后的信號與無噪聲信號相差非常小，幾乎重合，而且沒有相位偏移，效果令人滿意。

圖4 降噪后信號與無噪聲信號比較

4.2 實驗信號分析

機械設備在運行時，其關(guān)鍵零部件滾動軸承可能會出現(xiàn)內(nèi)圈故障、外圈故障或滾動體故障。為了對上述LCD降噪和VPMCD診斷方法進行實驗驗證，采用美國凱斯西儲大學(Case Western Reserve University)電氣工程實驗室的滾動軸承數(shù)據(jù)［14］，選用的滾動軸承為6205－2RS型深溝球軸承，轉(zhuǎn)速為1797r/min，采樣頻率為12kHz，故障直徑為18μm，故障深度為28μm。選取正常、軸承內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動體故障四類狀態(tài)下的振動信號各100組數(shù)據(jù)。隨機抽取其中的60組數(shù)據(jù)為訓練樣本，其余的40組數(shù)據(jù)為測試樣本。內(nèi)圈故障下的滾動軸承振動信號如圖5所示。

圖5 內(nèi)圈故障狀態(tài)下滾動軸承振動信號時域波形

首先采用LCD方法對各振動信號進行分解降噪，然后提取降噪后信號在不同維數(shù)下的模糊熵作為特征值。在模糊熵的計算過程中，相似容限r(nóng)、指數(shù)函數(shù)邊界梯度n和維數(shù)m的取值尤為重要。r值選取過小會使熵值顯著受噪聲影響，r值選取過大又會造成信息損失，因此可考慮取模糊熵值變化趨勢平緩時的值作為r值。取20組數(shù)據(jù)，計算其模糊熵的平均值，考察模糊熵平均值隨r取值的變化情況，來確定r的最佳取值。通過比較，當r＞0.6時，r值的增大對模糊熵均值影響較小，如圖6a所示，因此選擇r=0.6;圖6b所示為模糊熵平均值隨指數(shù)函數(shù)邊界梯度參數(shù)n變化的曲線，隨著n的增大，模糊熵值遞增，當n＞4時，模糊熵值變化不明顯，因此綜合考慮后取n=4;在維數(shù)m的選擇中，繪制了滾動軸承四種狀態(tài)下(各20組數(shù)據(jù))模糊熵均值隨m變化的曲線，如圖6c所示。從圖6可知，當m分別取2、3、4和5時，每種狀態(tài)下模糊熵平均值可以明顯地區(qū)分開來，當m≥6時，模糊熵均值出現(xiàn)了交叉現(xiàn)象，因此本文中選取2、3、4和5維數(shù)下的模糊熵作為故障特征值。

在四類狀態(tài)中分別提取60組樣本的故障特征值進行變量預測模型的訓練，然后把剩下的40組測試樣本的故障特征值代入VPMCD預測模型進行分類，取得了很好的分類效果，識別準確率為96.875%。表1和表2分別列出了部分具體識別結(jié)果以及每種狀態(tài)下的識別率。

表1 基于LCD降噪和VPMCD的滾動軸承識別結(jié)果

表2 基于LCD降噪和VPMCD的滾動軸承識別率

為了評估本文方法的有效性，分別采用Jackknife檢驗法和K折交叉檢驗法來檢驗該方法的分類效果，同時還與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量機的識別率進行了對比。Jackknife檢驗方法是目前公認的最好的交叉檢驗方法，它反映了算法的推廣能力;K折交叉檢驗法常用來測試算法的準確性。經(jīng)過優(yōu)化選擇，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡最大神經(jīng)元數(shù)取100，訓練誤差的平方和取0.01;多類分類支持向量機的折衷系數(shù)取1，核函數(shù)采用RBF核函數(shù);K折交叉檢驗法取K=5，進行5折交叉檢驗。三種分類器的分類結(jié)果如表3所示。

表3 兩種檢驗法下三種分類器的識別率 %

由表3可知，無論是Jackknife檢驗方法還是5折交叉檢驗方法，三種分類器對正常狀態(tài)軸承的識別率都是100%;對于外圈故障的診斷，三種分類器也都有很高的識別率;對內(nèi)圈故障的診斷，VPMCD有很高的識別率，5折交叉檢驗下比RBF神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量機的識別率分別提高了3%和4%;對于滾動體故障的診斷，三種分類器的識別率相對來說都比較低，但是VPMCD的準確識別率要明顯高出其他兩類分類器?？傮w而言，在兩種檢驗法下，采用VPMCD分類器，總的識別率均高于 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量機，約提高了2%～4%，從而驗證了VPMCD分類方法的有效性。

為了驗證LCD降噪是否有效，本文也對振動信號降噪前后的識別率進行了對比，采用相同的原始數(shù)據(jù)，提取各維數(shù)下的模糊熵，參數(shù)均進行優(yōu)化處理，在Jackknife檢驗方法和5折交叉檢驗法下，求出各種分類器的識別率。對比結(jié)果如表4所示，降噪后，三種分類器的識別率總體上均有所提高，從而驗證了LCD降噪方法的有效性。

綜上所述，由表1和表2可知，VPMCD方法可以有效地對故障類型進行分類;在表3中比較了VPMCD方法、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量機在兩種檢驗法下的識別率，可以發(fā)現(xiàn)VPMCD方法能更有效地識別故障類型;表4中呈現(xiàn)了LCD降噪前后三類識別方法在兩種檢驗法下的識別率，通過比較可知，LCD降噪后三種分類器的識別率總體上均有所提高，但總體來講，基于LCD降噪和VPMCD的診斷方法識別率最高。因此，由實驗分析可知，把LCD降噪和VPMCD相結(jié)合能更有效地對滾動軸承的故障進行分類。

表4 LCD降噪前后識別率對比結(jié)果 %

5 結(jié)論

(1)對原信號進行LCD降噪處理，可以自動剔除原振動信號當中的噪聲信號，達到降噪的目的。(2)LCD降噪后，信號的模糊熵真實反映了原始數(shù)據(jù)的本質(zhì)特征，且特征值之間具有一定的相互內(nèi)在關(guān)系，因此可采用VPMCD方法依據(jù)特征值之間的相互內(nèi)在關(guān)系建立預測模型，以便有效地實現(xiàn)分類。(3)VPMCD中預測模型的建立本質(zhì)上是參數(shù)估計的過程，從而避免了神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)和類型的選擇以及支持向量機中核函數(shù)和參數(shù)的選擇。而這些參數(shù)、核函數(shù)、結(jié)構(gòu)和類型的選擇往往都過分依靠經(jīng)驗或先驗知識。因此，VPMCD模式識別方法受主觀因素的影響較少，所得分類結(jié)果更客觀、準確。(4)對滾動軸承正常狀態(tài)、內(nèi)圈故障、外圈故障和滾子故障振動信號的分析結(jié)果表明，LCD降噪和VPMCD相結(jié)合的滾動軸承故障診斷方法可以準確、有效地對滾動軸承的工作狀態(tài)和故障類型進行分類，從而為滾動軸承的故障診斷提供了一種新的方法。

值得注意的是，在本文中對振動信號進行LCD降噪后，提取的不同維數(shù)下的模糊熵之間具有一定的相互關(guān)系，但其具體表達形式卻難以確定，而且特征值之間相互內(nèi)在關(guān)系的真實預測模型也無法得到。然而，本文的重點在于利用特征值之間的相互內(nèi)在關(guān)系建立預測模型，達到模式分類的目的，這種內(nèi)在關(guān)系的具體情況并不需要知道，相應的真實模型也可以利用具體的模型來近似代替，只要達到所需要的分類精度即可。

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