劉解放 劉思峰 方志耕

1.南京航空航天大學，南京，210016 2.河南科技學院，新鄉(xiāng)，453003

0 引言

產(chǎn)品可靠性評價通常以產(chǎn)品的可靠性試驗為依據(jù)。一般來說，試驗的次數(shù)越多，得到的可靠性評價的置信度越高，因此，為了在較大的置信度下評價產(chǎn)品的可靠性，往往需要做大量的試驗。許多試驗通常對產(chǎn)品具有破壞性，尤其對于一些造價昂貴、危險性高的產(chǎn)品，往往會造成試驗費用的大量增加，導致試驗費用在研發(fā)中的比例過高。Bayes方法能夠利用歷史信息，從而有效減少現(xiàn)場試驗的次數(shù)，近年來得到了廣泛的應用［1-3］。

運用Bayes方法進行可靠性評價，首先要根據(jù)先驗信息確定先驗分布，對于成敗型試驗總體，先驗分布往往是取其共軛Beta分布，其密度函數(shù)為［4-5］

式中，R 為可靠度;a、b為驗前超參數(shù);Γ()為 Gamma函數(shù)。

驗前超參數(shù)的確定主要依靠驗前試驗信息，目前已經(jīng)有很多方法來求解驗前超參數(shù)，文獻［6］對這些方法進行了總結(jié)。

1 傳統(tǒng)的Bayes可靠性評估方法

確定了先驗分布的超參數(shù)(a，b)后，若錄得現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)(n，f)，其中n為成功數(shù)，f為失敗數(shù)，則可以得到后驗分布為B(R|a+n－f，b+f)，其密度函數(shù)為

給定置信度γ，則系統(tǒng)的可靠性下限RL可由下式求出:

上述傳統(tǒng)Bayes方法假設歷史試驗樣本和現(xiàn)場試驗樣本來自同一個總體，對歷史數(shù)據(jù)和現(xiàn)場數(shù)據(jù)不加區(qū)別。事實上，對于具有多研制階段的產(chǎn)品，根據(jù)上一階段的試驗結(jié)果，產(chǎn)品的性能在不斷調(diào)試，把各階段的試驗數(shù)據(jù)和現(xiàn)場的試驗數(shù)據(jù)視為來自同一總體是不妥的。特別是當歷史數(shù)據(jù)較多、現(xiàn)場數(shù)據(jù)較少時，有可能使評估結(jié)論產(chǎn)生較大偏差。以可靠性的點估計為例，可靠性的驗后點估計為

則

即驗后可靠性的點估計趨于可靠性的驗前點估計，就會出現(xiàn)歷史信息淹沒現(xiàn)場試驗信息的現(xiàn)象，使得現(xiàn)場試驗信息的作用變得極為有限。為了合理地使用歷史試驗樣本，需要對驗前試驗信息與現(xiàn)場試驗信息是否來自同一樣本進行檢驗。

2 相似系數(shù)的確定

設歷史信息綜合后的試驗樣本(S，F(xiàn))來自總體Y，現(xiàn)場試驗樣本(n－f，f)來自總體X，可以排成如表1所示的列聯(lián)表［7］。

表1 現(xiàn)場總體X和混合總體Y的列聯(lián)表

令

其中，K為Person統(tǒng)計量，依分布收斂到自由度為1的χ2分布。但是在使用式(3)時，要求n－f、f、S、F均大于5。對于小樣本的情況，試驗數(shù)量往往較少，不能滿足這個條件，文獻［8］對其進行如下修正:

因為K近似服從自由度為1的χ2分布，因此在給定檢驗水平α的情況下，可以將K作為檢驗統(tǒng)計量，對X和Y兩個總體是否為同一總體這個假設進行檢驗，若通過了相容性檢驗，即可確定歷史信息與現(xiàn)場信息的相似程度的大小ρ。

設

為上述檢驗的擬合優(yōu)度，Q依概率的形式表征出X和Y兩個總體的相似程度，與ρ有直接的關(guān)系［9］，可取

設階段i的試驗樣本(ai，bi)來自總體Yi，現(xiàn)場試驗樣本(n－f，f)來自總體X，可以排成與表1類似的聯(lián)表。

此時，取

然后計算

3 多階段試驗信息的融合

(1)當試驗的批次較多，即m較大時，有

進而求得

(2)當試驗的批次較少，即m較小時，抽樣誤差可能使得式(10)為負值，此時可作以下修正:

根據(jù)式(4)求出(S，F(xiàn))與現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)(nf，f)的相似度ρ，同理，求出每一階段的成功數(shù)和失敗數(shù)(ai，bi)和現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)(n－f，f)的相似度 ρi，然后利用下式

確定各階段的系數(shù)可靠性ti。

建立如下形式的成敗型產(chǎn)品可靠性評價的加權(quán)Bayes方法:

4 仿真數(shù)據(jù)分析

某產(chǎn)品研制信息分為5個階段，以往的試驗信息見表2。

表2 歷史試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計

根據(jù)現(xiàn)場試驗錄得以下數(shù)據(jù):n=22，f=1。

(1)若采用經(jīng)典統(tǒng)計的方法，只考慮現(xiàn)場試驗的信息，則根據(jù)文獻［6］，有

其中，γ為置信水平，RL為在置信水平γ下的置信下限，取γ=0.1，求得置信下限RL=0.8344，由于經(jīng)典統(tǒng)計方法只利用了少量現(xiàn)場試驗信息，評價結(jié)果顯得過于保守，不符合產(chǎn)品定型的要求。

(2)傳統(tǒng)Bayes方法。先根據(jù)經(jīng)驗Bayes方法對歷史信息進行融合，根據(jù)式(12)求得S=199.6384，F(xiàn)=1.9474，即驗前信息分布折合為B(199.6384，1.9474)。若把歷史信息與現(xiàn)場信息視為來自同一樣本，直接進行融合，即取驗后分布為 B(199.6384+s，1.9474+f)，其中 s=21，f=1。 取置信水平 γ=0.1，求得置信下限RL=0.9766。由于歷史試驗樣本的數(shù)量遠大于現(xiàn)場試驗樣本的數(shù)量，評價結(jié)果嚴重依賴歷史信息，出現(xiàn)了歷史信息淹沒現(xiàn)場試驗信息的現(xiàn)象，評價結(jié)果比較冒進，風險較大。

(3)采用本文提出的方法進行計算。首先根據(jù)經(jīng)驗 Bayes方法，求得 S=199.6384，F(xiàn)=1.9474。然后根據(jù)式(4)～式(6)求得K=0.1709，Q=0.6793，進而求得 ρ=0.8242。按照同樣步驟，對研制階段的信息與現(xiàn)場信息進行擬合優(yōu)度檢驗，分別求得的結(jié)果如表3所示。

表3 不同試驗階段與現(xiàn)場試驗的相似系數(shù)

根據(jù)式(7)求得權(quán)重為 t1=0.1737，t2=0.1907，t3=0.1691，t4=0.1201，t5=0.1706。利用Bayes公式計算第i階段試驗信息的可靠性置信下限RL－i，如表4所示，此處取置信度γ =0.9。

表4 第i階段試驗信息的可靠性置信下限(γ=0.9)

表5 不同方法下的可靠性置信下限(γ=0.9)

由表5可看出，經(jīng)典統(tǒng)計方法只利用現(xiàn)場試驗信息，結(jié)果偏保守;傳統(tǒng)Bayes方法把現(xiàn)場試驗信息和歷史信息視為來自同一總體的樣本，計算結(jié)果偏冒進，加大了評價的風險;采用本文提出的方法，由于考慮了現(xiàn)場試驗信息和歷史信息異總體性，評價結(jié)果更為合理。根據(jù)工程領(lǐng)域?qū)＜业囊庖姡酆虾髿v史試驗信息B(199.6384，1.9474)的權(quán)重ρ'1=0.8，現(xiàn)場試驗信息的權(quán)重ρ'2=0.2，計算得到產(chǎn)品可靠性的置信下限為R2L=0.9518，與本文的計算結(jié)果最接近。相對于傳統(tǒng)的Bayes方法，利用本文方法得到的評價結(jié)果風險明顯減小。

5 結(jié)語

對具有多階段信息的產(chǎn)品，其各個階段的試驗樣本與現(xiàn)場的試驗樣本具有異總體性，為了測度它們之間的關(guān)系，引入了相似系數(shù)的概念，通過卡方擬合優(yōu)度檢驗，確定各個階段的試驗樣本與現(xiàn)場的試驗樣本的相似系數(shù)，并把整體驗前折合信息與現(xiàn)場實驗信息的相似系數(shù)向各個階段分配，從而計算得到融合各階段試驗信息的產(chǎn)品可靠性置信下限，與經(jīng)典統(tǒng)計方法和傳統(tǒng)Bayes方法相比，得到的結(jié)果更加合理。

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