楊 勇，張為民，2，趙紅樸

（1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 上海，201804） （2.同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院 上海，200092）

引 言

機(jī)床滾珠絲杠進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，伺服電機(jī)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)通過(guò)電機(jī)軸、滾珠絲桿和絲桿螺母副，轉(zhuǎn)化為立柱（工作臺(tái)）的平移運(yùn)動(dòng)。一直以來(lái)，滾珠絲杠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性研究都是國(guó)內(nèi)外機(jī)床動(dòng)態(tài)特性研究的重點(diǎn)。研究大致可分為：a.通過(guò)不同的建模方法（集中參數(shù)模型、有限元模型和混合模型等）構(gòu)建滾珠絲杠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)不同簡(jiǎn)化假設(shè)與邊界條件下系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)與振動(dòng)特征的影響性研究與優(yōu)化；b.通過(guò)不同的縮聚簡(jiǎn)化描述方法，實(shí)現(xiàn)與伺服控制模型的集成，得到機(jī)床驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的綜合動(dòng)態(tài)特性［1－6］。從實(shí)驗(yàn)角度出發(fā)，基于動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)與振動(dòng)數(shù)據(jù)提取，運(yùn)用不同的數(shù)據(jù)處理與分析手段，揭示系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能與內(nèi)在動(dòng)態(tài)特征屬性［7－9］，為滾珠絲杠系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性研究與優(yōu)化提供基礎(chǔ)，不足之處在于未理論驗(yàn)證和說(shuō)明該動(dòng)態(tài)特征。文獻(xiàn)［7］通過(guò)建立絲杠－工作臺(tái)系統(tǒng)的軸向動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了系統(tǒng)軸向振動(dòng)混沌特征。文獻(xiàn)［10］在考慮非線性彈性力情況下對(duì)滾珠絲杠動(dòng)態(tài)特征進(jìn)行研究，但文中基于滾珠絲杠為鐵木辛克梁的前提條件下，認(rèn)為絲杠變形前、后橫截面與軸線始終保持垂直，且截面彎曲轉(zhuǎn)角和橫向振動(dòng)存在正切關(guān)系，直接構(gòu)建物理方程進(jìn)行分析，這與鐵木辛柯梁的基本假設(shè)不符。研究中通常將滾珠絲杠做歐拉－伯努利梁或鐵木辛柯梁假設(shè)。前者認(rèn)為梁截面內(nèi)的橫向剪切應(yīng)變?yōu)?，變形前、后截平面均保持平面且垂直于中性軸，模型簡(jiǎn)單適用于一般的工程計(jì)算；后者仍然采用平截面假設(shè)，但由于同時(shí)考慮了梁的剪切效應(yīng)，使得其橫截面與中心軸不再垂直，針對(duì)不同梁引入剪切修正系數(shù)得到橫向剪切量。

針對(duì)滾珠絲杠的特點(diǎn)，其長(zhǎng)寬比相對(duì)較小，筆者將其簡(jiǎn)化成鐵木辛柯梁。考慮其截面效應(yīng)和剪切效應(yīng)，從能量變分原理出發(fā)，構(gòu)建絲杠－工作臺(tái)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行研究，避免了橫截面剪切與彎曲綜合影響下直接構(gòu)建物理方程的困難。

1 絲杠－工作臺(tái)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

滾珠絲杠示意圖如圖1所示。為計(jì)算簡(jiǎn)單，將絲杠置于二維x－z平面內(nèi)，只研究絲杠在x－z平面內(nèi)的振動(dòng)，沿x－y平面內(nèi)的橫向振動(dòng)與彎曲可通過(guò)類推得到，取絲杠左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別定義絲杠在沿x向軸向振動(dòng)為u，z向橫向振動(dòng)為w，繞x的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)為θ，x－z的彎曲振動(dòng)為φ，假設(shè)滾珠絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，定義工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)為um，則絲杠軸的空間運(yùn)動(dòng)可用向量a＝［u，w，θ，φ］表示。

依據(jù)鐵木辛柯梁相關(guān)理論可知，由于剪切效應(yīng)的影響，與梁中心線相切的的線段同時(shí)發(fā)生角度偏轉(zhuǎn)β，因此彎曲變形與剪切變形作用下z向總變形量w為

其中：wφ為彎曲變形引起的z向變形量；wβ為剪切變形引起的z向變形量。

圖1 滾珠絲杠示意圖

對(duì)式（1）求導(dǎo)可得絲杠軸截面的總轉(zhuǎn)角γ為

由于絲杠沿z向的橫向振動(dòng)使絲杠軸線變?yōu)閤－z平面內(nèi)的一條弧線，如圖1所示，因此絲杠軸的橫向振動(dòng)引起的在x向的位移xz表示為該弧長(zhǎng)投影與變形前長(zhǎng)度之差

剪切效應(yīng)與彎曲效應(yīng)同時(shí)作用下的絲杠軸x向位移u為

絲杠軸x向應(yīng)變?chǔ)螢?/p>

根據(jù)式（5）得到絲杠橫截面受到的彎矩為

其中：E為材料的彈性模量；Iφ為絲杠軸橫截面繞y軸的慣性矩。

根據(jù)式（5），（7），（8）得到絲杠 －工作臺(tái)系統(tǒng)的軸向勢(shì)能為

其中：A為絲杠軸的橫截面積。

同理可得絲杠軸的剪切勢(shì)能Uw、扭轉(zhuǎn)勢(shì)能Uθ和彎曲勢(shì)能Uφ分別為

其中：κ為剪切修正系數(shù)；G為材料的切邊模量；Iθ為絲杠橫截面繞x軸的慣性矩。

滾珠絲杠應(yīng)變總勢(shì)能Ua

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，將滾珠絲杠軸向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的慣性力轉(zhuǎn)化成體力，可得軸向載荷勢(shì)能Vu為

忽略橫向振動(dòng)引起的軸向位移變化，式（12）可以簡(jiǎn)化為

同理，得到橫向振動(dòng)載荷勢(shì)能Vw、扭轉(zhuǎn)載荷勢(shì)能Vθ和彎曲載荷勢(shì)能Vφ分別為

假設(shè)工作臺(tái)位于x＝xm處，由工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)引起的載荷勢(shì)能Vm為

其中：工作臺(tái)質(zhì)量為m。

滾珠絲杠系統(tǒng)載荷總勢(shì)能Va為

絲杠－工作臺(tái)系統(tǒng)的瞬時(shí)總勢(shì)能U為

根據(jù)最小勢(shì)能原理進(jìn)行瞬時(shí)變分，得到

通過(guò)式（18）可以得到關(guān)于絲杠－工作臺(tái)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)偏微分方程組。由于絲杠－工作臺(tái)系統(tǒng)邊界條件的復(fù)雜性，該偏微分方程組求解困難甚至不可能得到其解析解。假設(shè)絲杠變形為小變形，則絲杠內(nèi)部的非線性影響具有非相關(guān)性，其彈性變形可以通過(guò)結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法得到［11－12］。考慮到時(shí)空離散求解的復(fù)雜性及使用局限性，采用空間離散模態(tài)綜合法，在時(shí)刻t時(shí)絲杠的變形向量a可以表示為

分析式（20）～（24）可以看出：絲杠的橫向振動(dòng)方程中具有高次非線性項(xiàng)，使得其振動(dòng)呈現(xiàn)為非線性運(yùn)動(dòng)特征；絲杠各向振動(dòng)之間存在著相互耦合因素，如絲杠的軸向振動(dòng)受到橫向振動(dòng)的影響，絲杠的橫向振動(dòng)與彎曲振動(dòng)的相互耦合影響。令

式（24）最終可以化簡(jiǎn)為無(wú)阻尼受迫振動(dòng)達(dá)芬方程的標(biāo)準(zhǔn)形式［7，13］

可以看出，絲杠的橫向振動(dòng)表現(xiàn)為受迫達(dá)芬方程的混沌運(yùn)動(dòng)形式，其一次項(xiàng)系數(shù)中包含時(shí)變系數(shù)a（定常載荷作用下，忽略橫向運(yùn)動(dòng)對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)的影響，可近似認(rèn)為是常數(shù)）。受迫激勵(lì)來(lái)自彎曲振動(dòng)的耦合影響，產(chǎn)生的原因是由于鐵木辛柯梁假設(shè)下梁的剪切變形所引起的。根據(jù)混沌的相關(guān)理論［13］可知，由截面效應(yīng)與剪切效應(yīng)共同作用而引起的受迫激勵(lì)及達(dá)芬方程系數(shù)參量值的變化將會(huì)使絲杠混沌運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不同于以往滾珠絲杠系統(tǒng)非線性振動(dòng)方程［10］描述的運(yùn)動(dòng)特性。假設(shè)函數(shù)d（t）為時(shí)間的簡(jiǎn)諧函數(shù)，則F（t）可記作F0cos（ωt），F(xiàn)0為振動(dòng)幅值，取ω＝ω0＝1，ε＝0.05，F(xiàn)0＝7，得到d′－d相平面軌跡圖，如圖2所示?？梢钥闯?，其混沌運(yùn)動(dòng)的相軌跡曲線沒(méi)有發(fā)散，而是被局限在一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)且曲線不封閉，即為非周期運(yùn)動(dòng)。

圖2 d′－d相平面上的軌跡

2 滾珠絲杠動(dòng)態(tài)特性實(shí)驗(yàn)的主分量分析

吳沁等［10］通過(guò)工作臺(tái)振動(dòng)的加速度信號(hào)頻譜分析進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性混沌特征驗(yàn)證，但譜分析只能確定振動(dòng)是否隨機(jī)，無(wú)法確定該隨機(jī)振動(dòng)來(lái)自于隨機(jī)擾動(dòng)還是確定性系統(tǒng)的內(nèi)稟隨機(jī)性，因而無(wú)法區(qū)分混沌振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng)［7］。王林鴻等［7－9］通過(guò)功率譜、相平面軌跡、關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大李雅普諾夫指數(shù)等特征量揭示了滾珠絲杠的混沌特征。筆者采用主分量分 析 方 法 （principal component analysis，簡(jiǎn) 稱PCA）［14，15］對(duì)滾珠絲杠振動(dòng)混沌特征進(jìn)行辨識(shí)，該方法是近年來(lái)提出的可以有效區(qū)分混沌與噪聲的方法，能夠達(dá)到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征性識(shí)別的目的。PCA分析的基礎(chǔ)為相空間重構(gòu)，該思想由 Packard［16，17］提出，主要包括導(dǎo)數(shù)重構(gòu)法與延遲重構(gòu)法，前者雖然物理意義明確，但易受噪聲干擾且坐標(biāo)尺度差異大，從而使用受到限制。目前常用延遲重構(gòu)法［13，14，18］。針對(duì)某一時(shí)間序列u（tj），j＝1，2，…，N，通過(guò)選擇合適的時(shí)間延遲τ與相空間維數(shù)m，構(gòu)造如式（27）所示的相空間

該相空間為M×m矩陣，且M＝N－（m－1）τ，將該相空間矩陣的協(xié)方差矩陣的特征值λi與特征向量φi稱之為主分量。將特征值按降序排列后，以序號(hào)i為橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)得到的圖為主分量譜圖。噪聲信號(hào)和混沌的主要區(qū)別在于，噪聲信號(hào)的主分量譜圖為橫坐標(biāo)近似平行的直線，混沌的主分量譜圖為斜率為負(fù)的過(guò)定點(diǎn)直線［14］。

針對(duì)沈陽(yáng)機(jī)床廠生產(chǎn)的某型號(hào)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性實(shí)驗(yàn)，工作臺(tái)的往復(fù)運(yùn)行速度為300cm／min，三向加速度傳感器的采樣頻率為2.56kHz。工作臺(tái)振動(dòng)的加速度信號(hào)頻譜分析如圖3～5所示（傳感器安裝在工作臺(tái)底部靠近絲杠－螺母接觸副部分）。

圖3 x方向的加速度譜分析

圖4 y方向的加速度譜分析

圖5 z方向的加速度譜分析

周期運(yùn)動(dòng)或準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的譜分析圖一般具有一個(gè)或者多個(gè)突出的諧波成分［13］。圖3～5中，加速度譜成分較為復(fù)雜，在較寬的頻帶內(nèi)具有明顯的連續(xù)譜，這符合混沌運(yùn)動(dòng)的譜分析特征。取相空間維數(shù)為8，對(duì)工作臺(tái)位移振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行相空間重構(gòu)。取相空間矩陣的前3列作相空間軌跡圖，如圖6，8，10所示。可以看出，其相空間軌跡為非封閉曲線，且在有限區(qū)域內(nèi)作往復(fù)非周期運(yùn)動(dòng)，符合混沌運(yùn)動(dòng)的相空間軌跡特點(diǎn)。圖7，9，11為各向主分量譜圖?？梢钥闯?，其均為斜率為負(fù)的過(guò)定點(diǎn)直線，均符合混沌運(yùn)動(dòng)的主分量譜圖特點(diǎn)。通過(guò)動(dòng)態(tài)特性實(shí)驗(yàn)，對(duì)滾珠絲杠的動(dòng)態(tài)特性的混沌特征進(jìn)行了驗(yàn)證，說(shuō)明了滾珠絲杠動(dòng)力學(xué)模型及其特征描述的正確性。

圖6 x方向相空間軌跡

圖7 x方向主分量譜圖

圖8 y方向相空間軌跡

圖9 y方向主分量譜圖

圖10 z方向相空間軌跡

圖11 z方向主分量譜圖

3 結(jié) 論

1）基于鐵木辛柯梁假設(shè)，綜合考慮絲杠剪切與彎曲效應(yīng)，建立其絲杠－工作臺(tái)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。分析得出：各向振動(dòng)之間存在著非線性耦合因素；且橫向振動(dòng)表現(xiàn)為受迫達(dá)芬方程的混沌運(yùn)動(dòng)形式，受迫激勵(lì)來(lái)自于彎曲振動(dòng)的耦合影響，其產(chǎn)生的原因是由于鐵木辛柯梁假設(shè)下梁的剪切變形所引起。根據(jù)混沌理論可知，由截面效應(yīng)與剪切效應(yīng)共同作用而引起的受迫激勵(lì)及達(dá)芬方程系數(shù)參量值的變化將會(huì)使絲杠混沌運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不同于以往滾珠絲杠系統(tǒng)非線性振動(dòng)描述的運(yùn)動(dòng)特性。

2）通過(guò)動(dòng)態(tài)特性實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用主分量分析法，驗(yàn)證了滾珠絲杠動(dòng)力學(xué)模型及其特征描述的正確性。

3）通過(guò)建立的絲杠受迫振動(dòng)達(dá)芬方程，借助于相關(guān)非線性理論實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，為機(jī)床振動(dòng)控制與動(dòng)態(tài)特性研究提供了重要基礎(chǔ)。

［1］ Whalley R，Ebrahimi M，Abdul－Ameer A A.Hybrid modeling of machine tool axis drives［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，2005，45（14）：1560－1576.

［2］ Pop L C.Particularities of modeling ball screw based NC axes as finite degrees of freedom dynamic systems［J］.Buletinul Institutului Polotehnic Din Iasi，2005，5：1－6.

［3］ Zaeh M F，Oertli T.Finite element modelling of ball screw feed drive systems［J］.Annals of the CIRP，2004，53（1）：289－293.

［4］ Vicente D A，Hecker R L，Villegas F J，et al.Modeling and vibration mode analysis of a ball screw drive［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2012，58（1－4）：257－265.

［5］ Okwudire C E.Improved screw－nut interface model for high－performance ball screw drives［J］.Journal of Mechanical Design，2009，133（4）：1－10.

［6］ Altintas Y，Verl A，Brecher C，et al.Machine tool feed drives［J］.CIRP Annals－Manufacturing Technology，2011，60（2）：779－796.

［7］ 王林鴻.數(shù)控工作臺(tái)非線性動(dòng)態(tài)特性的辨識(shí)研究［D］.武漢：華中科技大學(xué)，2009.

［8］ 王林鴻，吳波，杜潤(rùn)生，等.用奇異譜和奇異熵研究數(shù)控工作臺(tái)動(dòng)態(tài)特征［J］.振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2012，32（1）：116－119.Wang Linhong，Wu Bo，Du Runsheng，et al.Dynamic characteristics of numerical control table with singular spectrum and singular entropy［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆Engineering，2012，32（1）：116－119.（in Chinese）

［9］ 王林鴻，吳波，杜潤(rùn)生，等.數(shù)控工作臺(tái)動(dòng)態(tài)特性的混沌特征［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2009，20（14）：1656－1659.Wang Linhong，Wu Bo，Du Runsheng，et al.Chaotic characteristic analysis on dynamic properties of NC table［J］.China Mechanical Engineering，2009，20（14）：1656－1659.（in Chinese）

［10］吳沁，芮執(zhí)元，楊建軍.考慮非線性彈性力的滾珠絲杠系統(tǒng)分岔與混沌特性分析［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，46（1）：70－75.Wu Qin，Rui Zhiyuan，Yang Jianjun.Bifurcation and cha－os characteristics for ball－screw system considering nonlinear elastic force［J］.Journal of Xi′an Jiaotong University，2012，46（1）：70－75.（in Chinese）

［11］Albert A，Jens O.Integrated structural and controller optimization in dynamic mechatronic systems［J］.Journal of Mechanical Design，2010，132：（041008）：1－8.

［12］Craig R R，Bampton M C C.Coupling of substructures for dynamic analyses［J］.American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal，1968，6（7）：1313－1319.

［13］劉秉正，彭建華.非線性動(dòng)力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2005：132－135，389－390.

［14］呂金虎，陸俊安，陳士華.混沌時(shí)間序列分析及其應(yīng)用［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2001：49－51.

［15］劉永斌，何清波，孔凡讓，等.基于PCA和SVM的內(nèi)燃

機(jī)故障診斷［J］.振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2012，32（2）：250－255.

Liu Yongbin，He Qingbo，Kong Fanrang，et al.Fault diagnosis of internal combustion engine using PCA and SVM［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2012，32（2）：250－255.（in Chinese）

［16］Packard N H，Crutchfield J P，F(xiàn)armer J D，et al.Geometry from a time series［J］.Phys Rev Letters，1980，45：712－716.

［17］段文鋒，張冀寧，黃衛(wèi)星，等.相空間導(dǎo)數(shù)重構(gòu)法的探討［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)：工程科學(xué)版，2001，33（5）：102－106.Duan Wenfeng，Zhang Jining，Huang Weixing，et al.Study on the derivative reconstruction method［J］.Journal of Sichuan University：Engineering Science Edition，2001，33（5）：102－106.（in Chinese）

［17］肖云魁，李世義，曹亞娟，等.汽車傳動(dòng)軸振動(dòng)信號(hào)分形維數(shù)計(jì)算［J］.振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2005，25（1）：43－47.Xiao Yunkui，Li Shiyi，Cao Yajuan，et al.Study on chaotic behavior of vibration signal of automotive transmission shaft［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2005，25（1）：43－47.（in Chinese）