淡丹輝，陳艷陽

（同濟大學(xué)橋梁工程系 上海，200092）

引 言

關(guān)鍵拉索索力對斜拉橋整體結(jié)構(gòu)的受力和變形都有較大的影響，是橋梁健康監(jiān)測和工作狀態(tài)評估的重要依據(jù)，需要對其進行精確測量。基于環(huán)境振動的頻率法是目前橋梁上常用的索力測量方法。采用頻率法拉索索力測量的精度取決于高靈敏度拾振技術(shù)、精確的索結(jié)構(gòu)頻率測量與定階以及頻率與索力關(guān)系的準確度。多數(shù)橋梁的拉索減振是通過阻尼器來實現(xiàn)的。然而，阻尼器的安裝改變了結(jié)構(gòu)的動力特性，影響了頻率法索力測量的精度。

目前，拉索索力的精確測量已有很多研究。蘇成等［1］采用有限元方法及樣條擬合技術(shù)擬合頻率和索力之間的關(guān)系。任偉新等［2］采用能量法和曲線擬合方法，提出了分別考慮索垂度和抗彎剛度影響的、根據(jù)基頻計算索力的使用公式。G.Ricciardi等［3］提出了考慮垂度和抗彎剛度的拉索連續(xù)振動分析模型。徐霞飛等［4］進行了拉索阻尼器的理論模型的求解。王修勇等［5］研究了斜拉橋拉索減振阻尼器對拉索索力測量的影響，其研究難以準確確定阻尼器安裝高度及阻尼系數(shù)等對結(jié)構(gòu)動力特性的影響程度，并未考慮阻尼器剛度因素。喬燕等［6］重點研究了垂度、阻尼器以及環(huán)境溫度對振動頻率法索力測試的影響程度。文獻［7］提出了采用基于頻率的系統(tǒng)識別方法進行索力評估。陳志慶［8］提出了考慮減振器影響的斜拉索索力測試研究，得到了索－阻尼器索力求解的公式，但公式的推導(dǎo)是假設(shè)索兩端邊界條件都為鉸支，求解依賴于拉索形函數(shù)的假設(shè)，針對不同的拉索需要專門的分析，而且對于短索、垂度大的拉索以及多點支撐的拉索，該方法的適用性有待研究。

筆者依據(jù)自建的索－阻尼器有限元模型，從分析不同阻尼器參數(shù)對結(jié)構(gòu)動力特性的影響出發(fā)，研究了阻尼器對采用頻率法索－阻尼器體系索力測量的影響，提出了提高索－阻尼器體系索力測量精度的一些措施和建議。

1 頻率法的索力測量

水平張緊索的自由振動方程為

其中：x為沿索長方向的坐標；u（x，t）為t時刻索上各點的豎向位移；EI為索的抗彎剛度；T為拉索索力；ρ為拉索的線密度。

考慮拉索兩端鉸支時，由式（1）得到拉索平面內(nèi)振動頻率和索張力公式為

其中：n為索自振頻率的階數(shù)；fn為拉索的第n階頻率；L為拉索的計算索長。

拉索的頻率受垂度、支撐方式及減震器等因素的影響，直接采用式（2）計算的索力會產(chǎn)生較大誤差。為了確定阻尼器對式（2）索力計算精度的影響程度，根據(jù)式（2）分析了阻尼器引起的結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率變化和索力測量誤差的關(guān)系。假設(shè)阻尼器安裝前、后拉索索力T保持不變，結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的測量和定階是準確的，阻尼器引起的結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)頻率的相對變化記為Δfn／fn，則由頻率變化引起、仍采用頻率法計算索力的誤差Terror為

式（3）中高階項（Δfn／fn）2很小，可以忽略。在忽略抗彎剛度的影響下，阻尼器對結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響在采用頻率法索力計算時體現(xiàn)為索力測量誤差為結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)頻率的相對變化的2倍。在本研究中，索模態(tài)頻率誤差Err（fn）定義為阻尼器阻尼系數(shù)造成的頻率相對誤差，其基準頻率fnst為無外加阻尼裝置且邊界為鉸支條件下（公式法理想適用條件）索的各階模態(tài)頻率。公式為

（2）活性材料投加量的確定。取3號廢泥漿樣品加入 AP2.0%、水泥20.0%、促凝增強劑CA 5.0%及相應(yīng)添加劑，HHJ投加量不同，考察固化改良后浸出液主要指標，試驗結(jié)果見表9。通過數(shù)據(jù)分析可以看出，當HHJ投加量達到10.0%時，固化改良物浸出液的各項指標都能夠到要求。再增加投加量，處理效果變化不大，因此選擇HHJ活性材料的加量為10.0%。

其中：n為頻率階數(shù)；fn為不同阻尼器阻尼系數(shù)下的第n階頻率。

2 拉索－阻尼器體系有限元模型

為了研究外加阻尼情況下頻率公式法測量索力的準確性，必須要建立阻尼參數(shù)與拉索張力的解析關(guān)系，或者通過有限元模型計算二者關(guān)系。由于實際拉索的復(fù)雜性，垂度、邊界條件和外置阻尼等因素，導(dǎo)致了利用解析法探討二者關(guān)系變得很困難；因此，筆者通過有限元方法來討論這一問題。

2.1 拉索－阻尼器體系有限元模型的建立

采用圖1所示的拉索－阻尼器體系，應(yīng)用MATLAB進行斜拉索的非線性有限元分析。假設(shè)拉索平衡時的線形為拋物線（在垂跨比小于1／8且忽略索的彎曲剛度時，可認為索的初始構(gòu)形是拋物線形，程序中懸鏈線和拋物線計算出的體系前15階頻率的相對誤差小于3‰），通過在重力作用下拉索的幾何構(gòu)型上劃分有限單元來考慮垂度影響。采用平面梁單元模擬拉索結(jié)構(gòu)，拉索邊界條件取為剛接。拉索的單元質(zhì)量矩陣采用一致質(zhì)量矩陣模式。單元剛度矩陣包括彈性剛度矩陣、軸力剛度矩陣和彎矩剛度矩陣。不考慮拉索內(nèi)阻尼，將阻尼器的阻尼定義為阻尼器單體實驗時的標定阻尼系數(shù)，即阻尼力與速度的比值，考慮粘性阻尼器和摩擦型阻尼器兩種類型，此外還考慮阻尼器剛度（軸向剛度）。

圖1 拉索－阻尼器體系

2.2 模型正確性的驗證

模型的正確性通過某斜拉橋B01號索的有限元分析來實現(xiàn)的。拉索參數(shù)如表1所示，其中：L為索長；T為初始索張力；E為拉索彈性模量；D為拉索直徑；θ為拉索傾角；ρ為索線密度；Ld為阻尼器安裝高度（從橋面算起，沿索長方向阻尼器安裝位置）。

令Ld／L＝0，C＝0（Ns·m－1），即無阻尼情況，通過頻率法計算拉索的基頻為0.901 9Hz。有阻尼器情況下，程序計算的基頻為0.947 7，相差5.1%，反映了本研究有限元程序的準確性。

3 阻尼器對索－阻尼器體系動力特性及索力測量的影響

阻尼器的有無會直接影響拉索的動力特性，也必然會對振動法測索力的精度產(chǎn)生影響。為了說明這一問題，以某斜拉橋B17號拉索為例，拉索參數(shù)如表2所示，阻尼系數(shù)取4×104Ns／m，利用有限元模型分析比較了阻尼器的有無對拉索索力測量誤差的影響。

表1 某斜拉橋B01號索拉索參數(shù)

表2 某斜拉橋B17號拉索參數(shù)值

圖2 有無阻尼器及不同邊界條件下的索力誤差

振動頻率法只適用于邊界條件為兩端鉸支且無阻尼器的情況。對于實際拉索，條件均在不同程度地偏離這個理想條件，結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率比鉸支情況下略大。阻尼器通常引起拉索頻率的增加，這些因素使得采用式（2）計算索力會產(chǎn)生較大誤差。為了進一步研究這種影響程度和規(guī)律，下面分別考察阻尼器阻尼系數(shù)、阻尼器安裝高度、阻尼器剛度等參數(shù)對拉索－阻尼器體系的模態(tài)頻率及索力測量精度的影響。

3.1 阻尼系數(shù)

保持表3中拉索參數(shù)不變，改變阻尼系數(shù)，來考察阻尼大小對索－阻尼器體系動力特性和頻率法索力測量的影響。

由圖3（a）可知，在表3規(guī)定的條件下，在很大范圍內(nèi)，阻尼系數(shù)對索－阻尼器體系的前兩階頻率幾乎沒有影響。當阻尼系數(shù)達到約6.45×104～6.46×104Ns／m之間時，如圖3（b）所示，計算得到的一階頻率劇烈下降，在約64 585Ns／m時降低為零，此時對應(yīng)的第2階與遠離臨界阻尼（小于）時的第1階頻率近似相等。這種現(xiàn)象說明，模態(tài)頻率存在臨界阻尼系數(shù)，但達到一臨界值時，該階模態(tài)被完全抑制為零。

圖3 阻尼系數(shù)對結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響

圖4為阻尼系數(shù)對索模態(tài)頻率誤差和索力誤差的影響情況。從圖4（a）可以看出，采用前10階模態(tài)頻率進行頻率公式法索力測量時，阻尼系數(shù)對頻率相對誤差有顯著影響，阻尼系數(shù)越大，頻率相對誤差就越大。在阻尼系數(shù)小于1.2×105Ns／m時，模態(tài)頻率階數(shù)對這種影響起到加速作用。由圖4（b）可見，阻尼系數(shù)對索力誤差有著與阻尼系數(shù)對頻率相對誤差相同的趨勢，這一趨勢是式（3）的反映?？梢?，采用二階頻率的索力誤差最小。

當阻尼系數(shù)達到系統(tǒng)的臨界阻尼時，系統(tǒng)一階頻率為0，此時的二階頻率為系統(tǒng)的一階頻率（如圖3所示），其他各階均下移一階。阻尼系數(shù)繼續(xù)增大，新的結(jié)構(gòu)一階頻率也會繼續(xù)緩慢增加。當阻尼系數(shù)繼續(xù)增大（約1×1010Ns／m時），新的各階頻率的增長速度隨阻尼系數(shù)增大逐步降低為零。此時，索－阻尼器體系退化為在阻尼器安裝位置處鉸接的無阻尼體系。為此，表4給出了退化后索模型的前10階頻率。通過比較發(fā)現(xiàn)，當阻尼器達到1×1010Ns／m時，將阻尼器－拉索體系處理成鉸支其誤差較小，對低階模態(tài)誤差大，但不會超過0.4%。這說明在阻尼器大阻尼比的情況下，阻尼器的作用演變?yōu)橐粋€普通的邊界約束，體系朝長度變短的無阻尼索方向演變。在阻尼系數(shù)不接近無窮大、達到臨界阻尼時，阻尼器位置處鉸支的基頻和二階頻率的誤差仍有1.7%?？梢?，在阻尼系數(shù)達到臨界阻尼而不接近無窮大時，將拉索－阻尼器體系當作在阻尼器安裝位置處鉸接的無阻尼體系會引起采用低階頻率索力測量的較大誤差（約3.5%）。

圖4 阻尼系數(shù)對模態(tài)頻率誤差和索力誤差的影響

表3 阻尼系數(shù)對索－阻尼器體系的影響

3.2 阻尼器安裝高度

拉索參數(shù)同表2，阻尼系數(shù)取4×104Ns／m，阻尼器安裝高度［11］Ld／L從0.01變化到0.10。從圖5（a）可見，對于前3階模態(tài)，系統(tǒng)模態(tài)頻率隨阻尼器安裝高度與其隨阻尼器系數(shù)的變化趨勢完全相同。阻尼器安裝高度從3m增加到30m，前3階頻率誤差的增幅分別達到1.8%，4.2%，7.6%。對于3階以上模態(tài)，其頻率誤差和索力誤差隨阻尼器安裝高度的變化無明顯規(guī)律。阻尼器安裝高度對體系的低階模態(tài)頻率影響較小，對高階模態(tài)頻率影響較大。從圖5（b）可以看出索力誤差隨阻尼器安裝高度的變化規(guī)律與頻率誤差相同?？梢姡枘崞靼惭b高度對結(jié)構(gòu)的動力特性和索力測量影響顯著。從索力誤差結(jié)果來看，采用二階頻率計算索力具有相對較好的精度。

3.3 阻尼器剛度

拉索的減震阻尼器具有一定的剛度［9］；因此，本研究討論阻尼器剛度對索－阻尼器體系動力特性和頻率法索力測量的影響。拉索參數(shù)同表3，通過改變阻尼器彈性模量來實現(xiàn)阻尼器剛度的改變，如圖6所示?？梢钥闯?，頻率誤差和索力誤差隨著阻尼器剛度的增加有相同的變化趨勢。阻尼器剛度越大，頻率相對誤差就越大，這種增大的趨勢隨著阻尼器剛度的增加而逐漸放緩。在阻尼器剛度達到8×106N／m時，這種增加幾乎可以忽略。在阻尼器剛度小于2×106N／m時，各階頻率誤差變化都很劇烈。當阻尼器剛度從0增加到4×106N／m時，阻尼器剛度對各階頻率影響都很大。例如，一階頻率誤差變化達到1.4%時，對采用基頻的索力影響可以達到3.6%。當阻尼剛度達到6×106N／m時，頻率誤差和索力誤差都趨于一定值，說明此時增大阻尼器剛度對結(jié)構(gòu)動力特性的影響已趨于穩(wěn)定，結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)頻率只略微增大。阻尼器剛度對結(jié)構(gòu)的低階頻率影響較大，對結(jié)構(gòu)的高階頻率影響較小。文獻［9］中阻尼器剛度的范圍為1.2×106～1.4×106N／m。在這一范圍內(nèi)，阻尼器剛度對結(jié)構(gòu)體系動力特性和頻率法索力測量的影響比阻尼器安裝高度小，但比阻尼系數(shù)影響大。索力誤差表明，采用二階頻率計算索力具有相對較好的精度。

圖5 安裝高度對頻率誤差和索力誤差的影響

圖6 阻尼器剛度對結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率和索力測量的影響

以上研究是基于粘性阻尼器，對摩擦型阻尼器存在相同的結(jié)論。在阻尼器剛度小于2×106N／m時，帶摩擦型阻尼器的拉索－阻尼器體系動力特性受外部激勵影響較大。外部激勵較小時，阻尼器剛度變化范圍也很小，結(jié)構(gòu)動力特性變化也較?。灰虼?，在阻尼器剛度小于2×106N／m時，宜在外部激勵較小時進行索力測量，在阻尼器剛度大于2×106N／m時，可采用與安裝粘性阻尼器拉索相同的索力測量方法。

圖7 修改索長方法的索力測量

4 提高索力測量精度的措施

拉索的高階頻率受阻尼器剛度的影響較低階頻率小，但其受阻尼系數(shù)及阻尼器安裝高度影響較低階頻率大很多，而且變化無規(guī)律。由圖4～6可知，采用拉索高階頻率計算索力是不合理的。由于阻尼器的嵌固作用，當阻尼器的阻尼系數(shù)超過系統(tǒng)的臨界阻尼、剛度達到一定值時，拉索在阻尼器位置處近似鉸支，相當于減小了拉索的有效振動長度。利用公式法計算的索力較真實索力有偏小的趨勢，然而阻尼器的安裝導(dǎo)致結(jié)構(gòu)頻率的增加，使得采用頻率法測得的索力較真實索力有偏大的趨勢。這兩者影響程度相當，可以通過修改索長來抵消一部分，從而提高索力測量精度。拉索的有效索長取拉索索長L與阻尼器安裝高度Ld的差。采用修改索長方法只能在一定程度提高索力測量的精度，計算索力與真實索力仍有一定的差距。由于阻尼系數(shù)對結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)頻率影響很小，對于阻尼系數(shù)未達到臨界阻尼的情況，索力計算時應(yīng)采用低階頻率。拉索參數(shù)同表3，采用修改索長公式較修改前提高了4.5%，但仍有7%的索力誤差。

本研究發(fā)現(xiàn)，對于不同的阻尼器阻尼系數(shù)、安裝高度和剛度采用拉索的2階頻率計算索力具有較好的精度。除了阻尼器剛度對結(jié)構(gòu)的低階頻率影響較大外，阻尼系數(shù)及阻尼器安裝高度對結(jié)構(gòu)的前兩階頻率影響都較小，尤其是對基頻的影響最??；因此如果能夠精確考慮拉索的垂度，采用基頻計算拉索索力的公式來提高索力測量的精度（文獻［2］、［4］等提到的公式只是分別考慮拉索垂度和抗彎剛度的）。直接采用索－阻尼器體系公式法求解也需要進一步研究。

5 結(jié) 論

1）阻尼器的阻尼系數(shù)、安裝高度和剛度對結(jié)構(gòu)的動力特性和索力測量影響都很顯著。其中，阻尼系數(shù)和阻尼器安裝高度對索－阻尼器的低階頻率影響較小，對高階頻率影響較大，阻尼器剛度對索－阻尼器的模態(tài)頻率的影響與阻尼系數(shù)相反。在阻尼器剛度小于2×106N／m時，阻尼器剛度對結(jié)構(gòu)體系動力特性和頻率法索力測量影響比阻尼器安裝高度小，但比阻尼系數(shù)影響大。

2）摩擦型阻尼器的索力測量在阻尼器剛度變化范圍較小或阻尼器剛度較大的情況下，可以采用與粘性阻尼器相同的索力測量方法。

3）采用拉索的高階頻率來提高索力測量精度的措施是不合理的。修改索長方法適用于索－阻尼器體系的索力測量，能在一定程度提高索力測量精度。施加阻尼器會抑制拉索的低級振動，尤其是基頻，而且拉索基頻受垂度影響較大，按照式（2）進行索力計算時不宜采用基頻，采用拉索的2階頻率可以獲得較好的索力精度，式（3）在低階頻率范圍內(nèi)具有參考意義。

4）由于阻尼系數(shù)和阻尼器安裝高度對索－阻尼器體系基頻影響最小，在阻尼器剛度一定時，提出基于基頻考慮垂度影響的索力測量方法可以提高索力測量精度。

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