（1.海軍工程大學動力工程學院 武漢 430033）（2.船舶振動噪聲重點實驗室 武漢 430033）

1 引言

在現代高科技條件下的海戰(zhàn)中，聲隱身性能是潛艇和魚雷等水下航行器的重要技戰(zhàn)術性能指標，而其機械振動引起的水下輻射噪聲嚴重影響了隱身性能［1］。

潛艇輻射噪聲一般分為兩類：一類是純頻噪聲，其頻譜為線譜；另一類是寬帶噪聲，其頻譜為連續(xù)譜。潛艇輻射噪聲譜通常是連續(xù)譜和線譜的組合。潛艇輻射噪聲的頻譜特征隨著潛艇航速的變化而變化。在高速航行時，寬帶噪聲在輻射噪聲信號中占主要成分，而低速時，特別是在潛艇隱蔽航行狀態(tài)下，機械噪聲是主要噪聲源，線譜占主要成分。線譜是潛艇噪聲譜級中最顯著的特征，即使在潛艇低速航行時，產生最低的噪聲輻射情況下也可探測到。因此線譜成了現代被動聲吶在水聲對抗中檢測、跟蹤和識別目標的主要特征信號，是潛艇聲隱身性能的主要危害［2］。

控制潛艇動力機械振動最常用的方法是隔振，即在被隔振設備與基礎之間插入彈性隔振元件，以減小兩者之間的動態(tài)耦合和不良振動的傳遞。一般的文獻都假定隔振器的力學特性是線性的。但線性隔振系統對線譜的隔離能力有限，線性隔振器隔離低頻振動的效果，線性系統具有頻率保持性，所以線性隔振系統不能改變傳遞至艇體的振動的頻譜結構，即不能改變潛艇輻射噪聲的頻譜結構［3］。

針對線譜是潛艇聲隱身性能的主要危害且難以消除這一情況，人們開始考慮非線性隔振系統，期望利用非線性隔振系統出現混沌時其響應的功率譜呈連續(xù)譜這一特征，將混沌理論應用到機械設備隔振裝置，以減弱或消除特征線譜，提高潛艇的聲隱身性［4］。

非線性系統響應的功率譜與線性系統的功率譜有很大不同，對于離散系統已有結論，Feigenbaum［5～6］認為周期運動的頻譜是離散的線譜，發(fā)生倍周期分岔時，功率譜中將出現分頻及其倍頻，每經歷倍周期分岔1次，每2條相鄰譜線之間都要出現1條新的譜線。經過無限次分岔到達混沌狀態(tài)時，離散的線譜演變?yōu)檫B續(xù)譜。M.Nauenberg和J.Rudnick［7］就一維映射證明連續(xù)兩次新出現的線譜的平均強度之比為20.96，即新出現的線譜平均強度比上一次下降13.21dB。對于連續(xù)系統的功率譜特性分析較少，對于功率譜的特性形成原因很少分析和討論。非線性隔振系統是時間連續(xù)系統，離散非線性系統的功率譜的變化規(guī)律在非線性連續(xù)系統中是否仍然成立？線譜平均強度會如何變化？

若線譜平均強度隨分岔次數的增加而降低，則進一步驗證了非線性隔振系統應用是可能的，從而促進非線性隔振器的研究與應用，對于提高潛艇和魚雷等水下航行器的聲隱身性能具有一定的理論研究意義和軍事應用價值。Duffing振子模型是非線性連續(xù)系統模型的典型代表，能很好地描述非線性隔振裝置的動力學模型，帶激勵的Duffing振子因受激勵的影響，會有超諧波和次諧波成分，在分岔過程中，也會有次諧波和超諧波分岔等現象，其動力學行為復雜而豐富。因此本題選取單自由度的非線性彈簧振子作為研究對象，建立數學模型，研究其豐富的動力學行為以及譜的變化規(guī)律。

2 非線性隔振系統模型

非線性隔振系統如圖1所示，該系統的運動微分方程為

圖1 非線性隔振系統

式中：K1X＋K3X3為非線性彈性回復力。

令

引入如下無量綱參數

則有

將式（2）～式（6）代入式（1），得

式（7）稱為硬彈簧Duffing方程，式中：

3 研究方法的選擇

為了研究非線性系統的動力學行為，通常的方法有實驗的方法和理論的方法。理論方法又分為定性方法和定量方法，定性方法主要研究系統的定性性質，如系統的分岔、周期解的穩(wěn)定性和倍周期分岔等［8］；定量方法又分為解析方法和數值方法，大多數非線性系統很難求取精確解析解，所以常用的解析方法是近似解析方法，近似解析方法僅用于討論系統的周期運動而無法表征混沌運動，對于混沌運動主要依靠數值方法［9～11］。帶激勵項的Duffing方程很難求取精確解析解，故本文將采用數值方法研究其功率譜特性。算法選用變步長的四階龍格庫塔法，用Mathematica計算軟件模擬仿真。

4 譜特性研究

4.1 對稱破缺分岔前譜特性

式（7）是對稱系統，當系統的解為對稱解時偶次諧波分量全為零，奇次諧波分量不全為零。主諧波響應是指與激勵同頻率的Fourier分量很大、而其它分量可忽略時的響應；n階超諧波響應是指n倍激勵頻率的Fourier分量很大、而其它分量可忽略時的響應，主諧波響應和超諧波響應具有與外部激勵相同的周期，故稱為周期1解；如果響應周期是激勵周期的m倍，則1／m和n／m倍激勵頻率的Fourier分量很大、而其它分量可忽略時的響應分別稱為1／m次諧波和n／m超次諧波響應，這里m和n都是整數，稱之為周期m解。圖2為ξ＝0.1，ω＝2，f＝100時的功率譜圖。初始位移、速度都為零。主諧波頻率與激勵頻率相同，為1／π。除主諧波外，3，5，7階超諧波同時存在，分別在頻率為3／π，5／π，7／π處，峰值十分明顯，并且由規(guī)律的排列，此時只有奇數階超諧波，為周期1解，其相圖是對稱的，如圖3所示。對稱的周期1解都有相似的規(guī)律，各階諧波在區(qū)間0.01≤ω≤1.2，的變化規(guī)律如圖4所示，在0.01≤ω≤0.15和0.45≤ω≤1.1兩個區(qū)間內3，5，7階諧波增加和減小很平滑，功率譜都類似于圖1，主諧波在區(qū)間上成增加趨勢。

圖3 參數ξ＝0.1，ω＝2，f＝100時的相圖

4.2 對稱破缺分岔后譜特性

圖4 參數ξ＝0.1，ω＝2，f＝100時的幅頻曲線

圖5 參數ξ＝0.1，ω＝2，f＝92.55時的功率譜

圖4表明在區(qū)間0.15≤ω≤0.45和1.1≤ω≤1.2出現不對稱的解，與圖2的功率譜特性有很大不同。如圖5所示，偶數諧波出現，與圖2相比較，偶數階諧波出現在奇數階諧波之間，相圖失去對稱性。圖6是參數ξ＝0.1，ω＝2，f＝92.55時的相圖，其中虛線表示軌線經過180°旋轉后的位置。圖5、圖6表明偶數階超諧波的出現是不對稱軌道的標志。

圖6 參數ξ＝0.1，ω＝2，f＝92.55時的相圖

4.3 次諧波分岔后譜特性

倍周期分岔的產物，如周期2解、周期4解等，都包含有偶數次次諧波，因而都是不對稱的。由此不難推斷，倍周期分岔都發(fā)生在軌線失去對稱性的參數空間里，數值計算表明該推斷是合理的，也就是說，對稱性破缺分岔是倍周期分岔的前兆。

而周期3解存在對稱解，如圖7、圖8所示軌線經過180°旋轉后能重合，奇數階次諧波不為零，偶數階超諧波全為零。1／3次諧波峰值明顯是周期3解的特點，1／3次諧波也發(fā)生了超諧波分岔，如圖6所示5／3，7／3等諧波分量也不能忽略，偶數倍超諧波分量同樣全為零，相軌線保持對稱，如圖8所示。

圖7 參數ξ＝0.1，ω＝2，f＝78.77時的功率譜

圖8 參數ξ＝0.1，ω＝2，f＝78.77時的相圖

圖9 參數ξ＝0.1，ω＝2，f＝57.79時的功率譜

圖9表明1／3次諧波發(fā)生了倍周期分岔，由周期3的解變?yōu)橹芷?的解，同時有超諧波分岔，奇數階和偶數階超諧波分量不全為零，這表明次諧波分量也會和主諧波一樣發(fā)生超諧波分岔和次諧波分岔，不斷分岔將產生密集的譜線，最終成混沌的譜線，如圖10所示，1，3，5，7階超諧波分量十分明顯，這說明混沌振動狀態(tài)下蘊含著不穩(wěn)定的周期軌道，譜線也是存在的。

圖10 參數ξ＝0.1，ω＝2，f＝92.54時的功率譜

5 結語

本文建立了一種艦船隔振裝置的物理和數學模型，并對其進行了仿真計算，運用數值方法得到不同參數下的解，分析了這些解的功率譜特性，針對此模型得到以下結論：

1）對稱破缺分岔前，功率譜為周期1 解，功率譜中只存在奇數階超諧波，奇數階諧波幅值成規(guī)則排列；

2）對稱破缺分岔后，出現偶數階超諧波分量，系統失去對稱性，奇偶數階超諧波都成不規(guī)則排列；

3）次諧波分岔后，次諧波也會出現超諧波分岔和次諧波分岔。

4）次諧波分岔不斷產生新譜線，最終出現混沌，但奇數階超諧波分量仍然是明顯獨立的譜線。

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