劉蘭

在平時(shí)的教學(xué)中，以現(xiàn)行課本習(xí)題為原型引導(dǎo)學(xué)生從題設(shè)、

結(jié)論及圖形結(jié)構(gòu)等方面進(jìn)行多方位、多角度的探究、演變、拓展，挖掘其蘊(yùn)藏的深層內(nèi)涵，既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情與興趣，又可以促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，以下是本人在教學(xué)中遇到的一個(gè)問題，處理不當(dāng)之處，還請(qǐng)各位同仁批評(píng)指正.

北師大版八年級(jí)下冊(cè)教材第218頁(yè)A組第7題：

已知：如圖，直線AB∥ED，求證：∠ABC+∠CDE=∠BCD

■

一、捕捉信息，觸發(fā)聯(lián)想，一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

利用平行線的“三線八角”性質(zhì)，結(jié)合圖形結(jié)構(gòu)，作輔助線，有以下幾種思路：

思路一：如圖1，過點(diǎn)C作MN∥AB，利用平行傳遞性MN∥ED，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，

得∠ABC=∠BCN，∠CDE=∠NCD，

則∠BCD=∠BCN+∠NCD=∠ABC+∠CDE，

即∠ABC+∠CDE=∠BCD.

思路二：如圖2，延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)F，利根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，∠CDE=∠BFC，

再由三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和，得∠BCD=∠BFC+∠ABC=∠CDE+∠ABC，即∠ABC+∠CDE=∠BCD.

思路三：如圖3，連接BD，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，∠ABD+∠BDE=180°，即∠ABC+∠CBD+∠CDB+∠CDE=180°，再結(jié)合三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°，得∠BCD+∠CBD+∠CDB=180°，不難得出∠ABC+∠CDE=∠BCD.

二、變換題設(shè)及圖形結(jié)構(gòu)，探究問題的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

1.改變點(diǎn)C的位置，其余不變，探究問題的結(jié)論：

變式一：如圖4所示，∠ABC、∠CDE、∠BCD之間有怎樣的關(guān)系？

分析：運(yùn)用與上面類似的方法，容易得到：

∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°.

變式二：如圖5所示，三個(gè)角有怎樣的等量

關(guān)系？

分析：因?yàn)锳B∥ED，所以∠ABC=∠BFD，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的內(nèi)角和，得∠BFD=∠CDE+∠BCD，即∠ABC=∠CDE+∠BCD.

變式三：如圖6所示，此時(shí)三個(gè)角又有怎樣的關(guān)系？

分析：因?yàn)锳B∥ED，所以∠CDE=∠AFC，

由三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和，知∠AFC=

∠ABC+∠BCD，所以∠CDE=∠ABC+∠BCD.

2.點(diǎn)C的位置不變，將原題中的平行線改相交線，即AB與ED相交于一點(diǎn)A，探究結(jié)論：

變式一：如圖7所示，若已知∠A、∠B、∠D求∠C.

■

分析：此題解法類似于原題，也有三種基本思路，此處僅列舉一種，連接AD并延長(zhǎng)，由三角形外角性質(zhì)得：∠BCF=∠B+∠BAC，∠FCD=∠D+∠DAC，又知，∠BAC+∠DAC=∠BAD，所以∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠B+∠D+（∠BAC+∠DAC）=∠B+∠D+∠BAD，即∠C=∠A+∠B+∠D.

變式二：如圖8，若AB、CD相交于點(diǎn)F，已知∠A、∠B、∠D求∠C.

分析：利用三角形外角性質(zhì)得：∠BFC=∠B+

∠C=∠A+∠D，所以∠C=∠A+∠D-∠B.

變式三：如圖9，若點(diǎn)A在BD的另一側(cè)，已知∠A、∠B、∠D，求∠C.

分析：連接AC，利用三角形三個(gè)內(nèi)角和為180°，可以很快得到∠C=360°-（∠A+∠B+∠D）.

三、利用簡(jiǎn)單的基本圖形，解復(fù)雜幾何問題，滲透化歸思想，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

1.如圖10所示，AB∥GF，你能得到什么結(jié)論？

分析：過點(diǎn)D作HD∥AB，直接利用書中題目的結(jié)論，∠C=∠B+∠CDH，∠E=∠HDE+∠F，所以，∠C+∠E=∠B+（∠CDH+∠HDE）+∠F=∠B+∠D+∠F，即∠C+∠E=∠B+∠D+∠F.

2.如圖11所示，又能得到什么結(jié)論？

■

分析：連接AD，把圖7作為基本圖形，得∠C=∠BAD+∠B+∠CDA，∠E=∠ADE+∠DAF+∠F，所以∠C+∠E=∠BAD+∠B+∠CDA+∠ADE+∠DAF+∠F=（∠BAD+∠DAF）+（∠CDA+∠ADE）+∠B+∠F=∠A+∠D+∠B+∠F，即∠C+∠E=∠A+∠B+∠D+∠F.

綜上所述，我們不難發(fā)現(xiàn)許多試卷上考查的題目只是課本中的典型例題、習(xí)題、想一想中的命題的拓展、滲透、綜合與提高。因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，我們應(yīng)加強(qiáng)典型題目的探索與研究，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行開放式的研究，提高學(xué)生知識(shí)遷移、運(yùn)用能力，不斷促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，只有這樣才能以不變應(yīng)萬(wàn)變。

（作者單位 江蘇省常州市第八中學(xué)）