王 敬,陳志武,何 云

(空軍空降兵學院，廣西 桂林 541003)

內彈道設計的任務是根據武器的戰(zhàn)術技術要求和外彈道設計方案提供的口徑、彈丸質量及炮口速度等初始數據，選定適當的炮膛結構參數，確定出符合武器性能要求的一組可行方案，即可行方案集，并對可行方案集進行評價?；诮浀鋬葟椀缹W的評價指標一般包括炮膛最大壓力pm、炮口速度vg、炮口壓力pg、有效功效率ηω及炮膛工作容積利用率ηg[1]。文獻[2]將可行方案的評價過程作為一類(單人)多指標決策問題，提出了一種基于多指標的火炮內彈道設計方法，建立了某火炮的內彈道設計方案多指標優(yōu)化模型，并采用TOPSIS法對可行方案集進行了評價排序；文獻[3]、[4]分別應用熵權法和方案滿意度法對某型火炮的可行方案集進行了評價排序。但是，當有多名決策者參與評價時，可行方案集的評價排序過程將成為一類多人多指標決策問題，即多指標群決策問題。與(單人)多指標決策不同的是，多指標群決策問題不僅要計算指標權重，還要確定各專家(決策者)的權重。一般的處理方法是，不考慮專家之間的差異，假定各專家對問題的影響力是均等的，或針對不同領域的決策者給定不同的權重。筆者以層次分析法(AHP)分析為基礎，采用AHP對數最小二乘法計算指標權重，獲得各專家的指標權重矩陣；專家權重由AHP判斷矩陣的一致性和判斷矩陣之間的相似程度來確定；指標的綜合權重則由專家權重對指標權重進行聚合而得到，最后由指標的綜合權重對可行方案集進行線性加權綜合，獲得可行方案集的優(yōu)劣排序結果。該方法能充分客觀地綜合專家的群體智慧和經驗，弱化單個專家主觀上的不確定性，使彈道方案的評價結果更具客觀性和權威性。

1 指標權重與專家權重

假定有m個專家(E(k),k=1,2,…,m)對具有n個指標的可行方案集進行評價，設專家Ek的判斷矩陣為：

專家E(k)(k=1,2,…,m)的指標權重是該專家對各評價指標在評價過程中的重要性的數值表示，基于AHP的指標權重可由AHP的各種計算方法(如特征向量法、對數最小二乘法、最小二乘法、最小偏差法等)計算得到，記為ω(k)。指標權重ω(k)僅由判斷矩陣A(k)決定，并沒有考慮其一致性和與相似性的影響，而專家在群決策過程中的作用，即影響力，則由判斷矩陣A(k)的一致性程度和A(k)與A(l)(k≠l)相似程度決定，記由A(k)一致性程度確定的專家的影響力為客觀權重αk，由A(k)與A(l)(k≠l)相似程度決定的專家影響力為客觀權重βk。

1.1 ω(k)的確定

ω(k)由對數最小二乘法[5]獲得，計算公式如下:

(1)

1.2 αk的確定

(2)

1.3 βk的確定

若導出向量vec(A(l))與vec(A(k))之間的夾角為θlk，則其夾角余弦為:

(3)

l=1,2,…,m;k=1,2,…,m;l≠k

夾角余弦rlk描述了兩個導出向量vec(A(l))與vec(A(k))的相似性程度，即判斷矩陣A(l)與A(k)的相關程度。rlk越大，則θlk越小，說明專家El與Ek的相似性越強，因此表示專家E(k)與其他專家一致性程度之和的平均值，即專家判斷矩陣的平均一致程度為:

(4)

Rk值越大，說明Rk越能代表大多數專家的判斷意見，因此，專家的客觀權重βk可表示為:

(5)

因此，專家E(k)的客觀權重可表示為αk與βk的凸組合，即:

γk=tαk+(1-t)βk,k=1,2,…,m

(6)

式中，0≤t≤1。

1.4 權重的聚合

由以上分析可知，γk客觀權重能全面反映決策者E(k)在群決策過程中的影響力，因此，需要對指標權重ω(k)可進行修正聚合得到綜合權重:

(7)

2 算法步驟

2.1 判斷矩陣群的獲取

群決策的基礎是要獲得各位專家對決策問題的判斷矩陣群，判斷矩陣群是經由多位不同職業(yè)的相關學科專家填表咨詢之后形成的。判斷矩陣的表格填寫不僅要遵循AHP元素兩兩對比時重要性等級賦值原則，同時需要注意避免構造出“A比B 重要，B比C重要，C比A重要”有悖于常理的判斷矩陣。

2.2 判斷矩陣的一致性檢驗

按公式(8)計算各判斷矩陣的薩迪(Saaty)一致性比率CR[5]

(8)

其中，λmax為判斷矩陣的最大特征值，RI為隨機一致性指標均值，5階矩陣的RI等于1.118 5，如果CR<0.1，則一致性檢驗通過，否則需要調整判斷矩陣，重新檢驗，直至滿足要求為止。

2.3 權重的計算與聚合

采用對數最小二乘法得到指標權重ω(k)[5-7]，專家權重αk、βk分別用式(2)、(5)計算，指標權重和專家權重用式(7)進行聚合。

2.4 綜合排序

對標準化后的多指標決策問題根據綜合權重進行排序，對于極大值問題，綜合得分越高，排序越優(yōu)。

3 實例分析

建立某小口徑火炮的經典內彈道模型[2]，選定裝填密度Δ和相對裝藥量Ω為設計變量，炮膛最大壓力pm、炮口速度vg、炮口壓力pg、有效功率γg及炮膛工作容積利用率ηg為指標集，編程計算得到滿足最大膛壓小于350 MPa、初速大于980 m/s 要求的31個彈道方案如表1所示。

表1 方案數據表

假定四個專家的判斷矩陣分別為：

按公式(8)計算的一致性比率為：

各判斷矩陣的一致性比率均小于0.1，通過檢驗。

由對數最小二乘法得到主觀權重向量ω(k)分別為:

分別按式(2)、(5)、(6)和(7)計算得到:

對決策矩陣進行規(guī)范化，由綜合指標對規(guī)范化決策矩陣進行線形加權綜合，得到綜合指標及彈道方案排序結果如表2所示。

表2 綜合指標及排序結果

4 結論

將火炮內彈道設計的計算過程與評價過程相結合，并將評價過程作為一類多指標群決策問題來處理。在傳統(tǒng)彈道方案評價指標的基礎上，建立火炮內彈道多指標決策模型，編程計算獲得31個滿足給定條件的可行彈道方案；(模擬)獲得四名專家(決策者)的判斷矩陣，對可行方案集進行AHP群評價。

該方法通過分析判斷矩陣的一致性和相似性，獲得專家權重，客觀地量化了決策者在決策過程中的影響力，使得群決策過程中決策者的集體智慧得以更加客觀充分地發(fā)揮，評價結果更具科學性和權威性。此方法的關鍵是專家判斷矩陣的獲取，如何誘導專家給出合理的判斷矩陣，是評價結果是否科學的關鍵。在獲得可靠的專家判斷矩陣后，利用本文提供的多指標決策模型可以得到火炮內彈道方案優(yōu)化結果，對提高火炮內彈道設計效率具有重要意義。

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