湯保新 潘永強(qiáng) 路培國

(1.揚(yáng)州大學(xué)土木工程系，江蘇 揚(yáng)州 225127;2.江蘇省建筑設(shè)計(jì)研究院，江蘇 南京 210000)

結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算常用的方法有一次二階矩法［1］，有條件則采用高次高階矩法以提高計(jì)算精度，如二次二階矩法與二次四階矩法，這類方法需要計(jì)算功能函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算采用迭代法，計(jì)算結(jié)果為可靠指標(biāo)，不是直接的失效概率，而且隨著功能函數(shù)的非線性程度的增大，計(jì)算精度有所減小。結(jié)構(gòu)可靠度的計(jì)算也采用蒙特卡羅法，計(jì)算量大，一般用于各種可靠度近似方法的校核。當(dāng)極限狀態(tài)函數(shù)有顯式表達(dá)式而且隨機(jī)變量不多的簡單情況，亦可采用數(shù)值積分法，但當(dāng)失效區(qū)域是一般不規(guī)則或是多連通或不連通的獨(dú)立區(qū)域時(shí)，數(shù)值積分法亦有一定困難。如果可以求得極限狀態(tài)函數(shù)的前幾階矩(一般為四階矩或五階矩)，則可采用擬合概率密度函數(shù)方法近似計(jì)算失效概率。擬合的函數(shù)有最大熵密度函數(shù)［2］和多項(xiàng)式密度函數(shù)［3］，前者物理意義明顯，計(jì)算較復(fù)雜，后者沒有直接的物理背景，計(jì)算較簡單。

本文對極限狀態(tài)函數(shù)求得前幾階矩，再用最大熵法擬合其概率密度函數(shù)，近似計(jì)算失效概率。

1 近似計(jì)算失效概率的步驟

1.1 極限狀態(tài)函數(shù)的前幾階矩

已知極限狀態(tài)函數(shù)為Z=g(X)=g(x1，x2，…，xn)，隨機(jī)向量X的概率密度函數(shù)為f(X)，則Z的各階原點(diǎn)矩為:

式(1)可通過數(shù)值積分求得。f(X)可視為權(quán)函數(shù)，采用高斯積分法，計(jì)算效率和精度較高。如正態(tài)分布、指數(shù)分布、均勻分布，相應(yīng)的權(quán)函數(shù)為 e－x2，e－x，1，可分別選高斯·埃爾米特(Gauss-Hermite)、高斯·拉蓋爾(Gauss-Laguerre)、高斯·勒讓德(Gauss-Legendre)積分點(diǎn)。

顯然，這里規(guī)定m0=1是合理的。

1.2 用概率分布函數(shù)的多項(xiàng)式逼近極限狀態(tài)函數(shù)

根據(jù)最大熵原理，極限狀態(tài)函數(shù)的概率密度函數(shù)為:

式(2)中a0，a1，…，aN為待定系數(shù);N為矩的最大階數(shù)，一般取4～5階矩即能獲得良好的效果［2］。

這里，z的各階原點(diǎn)矩也可采用積分形式表示為:

式(3)中待定系數(shù)有N+1個(gè)，方程有N+1個(gè)。

式(3)為非線性方程組，可轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，采用優(yōu)化算法求解:

式(4)中ωk為加權(quán)系數(shù)，為使式(4)各項(xiàng)的量綱一致，可取ωk=。

優(yōu)化算法的初始點(diǎn)可按正態(tài)分布給出，即:

解出待定系數(shù)，就可以得到概率密度函數(shù)。

1.3 計(jì)算失效概率

對式(2)積分得到極限狀態(tài)函數(shù)的失效概率:

注意，實(shí)際問題的解應(yīng)與用中心點(diǎn)法計(jì)算的可靠指標(biāo)的近似值 β≈μz/σz，按正態(tài)分布換算的失效概率 Φ－1(－ μz/σz)相差不會(huì)很大。

2 簡單算例

例1:已知非線性極限狀態(tài)方程g=567fr+0.5H2=0。f服從正態(tài)分布，μf=0.6，δf=0.131;r服從正態(tài)分布，μr=2.18，δr=0.03;H服從對數(shù)正態(tài)分布，μH=32.8，δH=0.03。試求失效概率［1］。

1)用數(shù)值積分求極限狀態(tài)函數(shù)的前4階原點(diǎn)矩:

2)經(jīng)計(jì)算，待定系數(shù)初始值為:

用優(yōu)化算法求出待定系數(shù):

3)求失效概率。這里的積分下界限取為μz－5σz=－320.870 9。失效概率Pf=0.025 951(換算為可靠指標(biāo)β=1.944 0)。

作為對比，采用4階原點(diǎn)矩計(jì)算的結(jié)果見表1。

例2:已知極限狀態(tài)方程 g=1.8 － x1－ x2=0，其中，x1，x2∈［0，1］，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為 f(x1，x2)=2－x1－x2。試求失效概率［1］。

計(jì)算方法同例1，結(jié)果列于表1中。

表1 計(jì)算結(jié)果匯總表

3 結(jié)語

本文采用數(shù)值積分求得極限狀態(tài)函數(shù)的前幾階矩，擬合極限狀態(tài)函數(shù)的概率密度，求解失效概率。計(jì)算表明:1)采用四階矩與五階矩的計(jì)算結(jié)果相差不大，所以實(shí)用中可以采用四階矩。2)數(shù)值積分的界限一般取為μ±5σ，即可滿足工程精度要求。3)與多項(xiàng)式擬合法相比，計(jì)算精度變化較小，數(shù)值較穩(wěn)定，所以適用性較好。

［1］趙國藩，金偉良，貢金鑫.結(jié)構(gòu)可靠度理論［M］.北京:中國建筑工業(yè)出版社，2000.

［2］章 光，朱維申，白世偉.計(jì)算近似失效概率的最大熵密度函數(shù)法［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，1995(8):18-19.

［3］鄧 建，李夕兵，古德生.結(jié)構(gòu)可靠性分析的多項(xiàng)式數(shù)值逼近法［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2002(11):26-30.

［4］李慶揚(yáng)，王能超，李大義.數(shù)值分析［M］.武漢:華中工學(xué)院出版社，1982.

［5］王淑云，方保镕，王如云.數(shù)值分析方法［M］.南京:河海大學(xué)出版社，1996.