史可天，馬漢東

（中國航天空氣動力技術(shù)研究院，北京 100074）

0 引 言

氣動光學(xué)是研究空氣動力流場對光波傳輸和光學(xué)成像影響的一門新型交叉學(xué)科。由于流場密度分布的時空不均勻性，平面光波通過湍流流場后，光瞳范圍內(nèi)不同空間位置的波面相位產(chǎn)生超前或滯后，從而引起成像偏移、模糊和抖動，這種現(xiàn)象就稱為氣動光學(xué)效應(yīng)［1－2］。開展氣動光學(xué)效應(yīng)研究，探索氣動流場特性與光學(xué)畸變特性之間的關(guān)聯(lián)，一方面可以深入認識湍流流動機理，另一方面對提高光學(xué)成像探測系統(tǒng)的性能具有重要的意義［3］。

目前的氣動光學(xué)傳輸效應(yīng)研究中，已經(jīng)建立了相對完善的光學(xué)畸變數(shù)值模擬方法［4－7］，但是對于光學(xué)畸變特性的深入分析，還缺乏有效的分析手段，因此難以建立光學(xué)畸變與流場特性之間的定量關(guān)聯(lián)。

波面擬合是通過線性無關(guān)的基函數(shù)來擬合離散波差函數(shù)，其擬合系數(shù)可以較為明確地表達不同特性的畸變波面所產(chǎn)生的像差；通過對比分析各階擬合系數(shù)的量值分布規(guī)律，還可以獲取波面畸變的空間尺度特性［8］。目前，波面擬合方法多用于光學(xué)工程分析的鏡面面形數(shù)據(jù)處理，在光學(xué)系統(tǒng)、光學(xué)設(shè)計軟件和干涉檢查中得到廣泛應(yīng)用［9－10］。

本文將波面擬合方法應(yīng)用于可壓縮剪切層流場氣動光學(xué)效應(yīng)研究，通過擬合系數(shù)定量地表達了不同波面畸變之間的差異，建立了一種光學(xué)畸變特性分析方法。對可壓縮剪切層流動發(fā)展不同階段造成的波面畸變特性進行了分析，討論了流場結(jié)構(gòu)尺度與波面畸變尺度之間的關(guān)聯(lián)。

1 波面擬合方法

本文利用Zernike多項式對波面進行擬合，它在極坐標(biāo)下的表達式為［11］：

其中，m、n為整數(shù)并且滿足m≤n且n－m為偶數(shù)。

Zernike多項式在表述像差方面具有獨特的優(yōu)點，主要表現(xiàn)為：

（1）Zernike多項式是單位圓內(nèi)的正交函數(shù)，即：

其中，m＝0時，σ＝1；m≠0時，σ＝0.5。通常的光學(xué)系統(tǒng)都具有圓形的光瞳，經(jīng)過歸一化后正好是單位圓，Zernike函數(shù)系的正交性使不同階多項式的系數(shù)相互獨立。

（2）Zernike多項式與初級像差有著一定的對應(yīng)關(guān)系，第1階反映波面整體相移，第2、3階反映x、y方向的波面傾斜，第4階反映離焦，第5、6階反映不同形式的像散，第7階至第10階反映不同形式的彗差［8］。

（3）Zernike多項式階數(shù)與波面畸變空間尺度有著一定的對應(yīng)關(guān)系，多項式階數(shù)越高，表達的波面畸變空間尺度越小。

假設(shè)畸變波面有M個離散數(shù)據(jù)點，光瞳口徑歸一化后畸變波面可以用N階Zernike多項式表示為：

可以將上式寫成矩陣形式，得到

其中，Z是Zernike多項式在各離散點的取值組成的M×N階矩陣，a是Zernike多項式的各階系數(shù)ak組成的N維向量，W是畸變波面在離散點上的取值組成的M維向量。

通常情況下，離散點個數(shù)M大于未知系數(shù)個數(shù)N，因而方程不存在一般意義下的解，可以得到的是最小二乘解：

2 時間發(fā)展剪切層波面畸變分析

本節(jié)采用DNS方法進行了時間模式可壓縮剪切層數(shù)值模擬，以獲取流場的密度信息，剪切層對流馬赫數(shù)Mc＝0.58。流場計算域展向和流向取周期邊界條件，法向取無反射邊界條件。初始流場為平均流場加擾動場，流向平均速度取雙曲正切函數(shù)為初始平均速度剖面，平均法向和展向速度為零，平均溫度滿足Crocco－Busemann能量積分關(guān)系式，平均壓力沿法向無梯度，擾動場采用最不穩(wěn)定擾動波。通過線性穩(wěn)定性理論分析得出最不穩(wěn)定波對應(yīng)x、z方向的波數(shù)α和β，計算區(qū)域取為：0≤x≤2π／α，－15≤y≤15，0≤z≤2π／β。

由于湍流的多尺度特性，本文采用了高階緊致格式對控制方程進行空間離散，計算方法的基本思想是采用五階精度迎風(fēng)緊致格式離散N－S方程中的對流項，采用六階精度對稱緊致格式離散N－S方程中的粘性項，采用三階Runge－Kutta方法離散時間導(dǎo)數(shù)項［12－13］。圖1給出流場轉(zhuǎn)捩過程中由瞬時壓力等值面表示的Λ渦結(jié)構(gòu)向馬蹄渦結(jié)構(gòu)的演化。

將流動發(fā)展不同時刻的法向入射波面（圖2）進行擬合分析，光瞳口徑為30mm。圖3給出低階擬合系數(shù)隨無量綱時間的變化規(guī)律。從中可以看出與流向（本文中為x方向）相關(guān)性強的波面擬合系數(shù)增長要早于與展向（y方向）相關(guān)的擬合系數(shù)；同時，與流向相關(guān)性強的波面擬合系數(shù)增長幅值要明顯大于與展向相關(guān)的擬合系數(shù)，這說明波面畸變以流向起伏為主。

圖1 瞬時壓力等值面Fig.1 Iso－surfaces of pressure

圖2 不同時刻的波面畸變Fig.2 Wavefront distortion at different time

圖3 不同時刻波面擬合低階系數(shù)Fig.3 Coefficients of low order Zernike polynomials

在波面擬合過程中，低階像差主要反映空間大尺度畸變，高階像差主要反映空間小尺度畸變。從流動發(fā)展不同階段波面擬合系數(shù)與像差階數(shù)的對應(yīng)關(guān)系（圖4）可以看出，轉(zhuǎn)捩過程中的擬合系數(shù)以低階系數(shù)為主，高階擬合系數(shù)幾乎為零，這是因為轉(zhuǎn)捩過程中的波面畸變主要受到流場中大尺度結(jié)構(gòu)演化的影響；而轉(zhuǎn)捩完成以后的高階擬合系數(shù)則具有一定的幅值，明顯大于轉(zhuǎn)捩過程中的情況，這是因為轉(zhuǎn)捩完成后流場中大尺度渦已經(jīng)破碎成為小尺度結(jié)構(gòu)，從而波面畸變具有波面起伏小幅值和空間變化頻率高的特點。

圖4 流動不同階段的波面擬合系數(shù)Fig.4 Coefficients of Zernike polynomials at different flow patterns

3 空間發(fā)展剪切層波面畸變分析

受到計算條件限制，DNS計算中所取的Re數(shù)較低，雖然小尺度量已趨向各向同性，但仍未達到充分發(fā)展湍流。本節(jié)采用大渦模擬方法進行空間模式可壓縮剪切層模擬，數(shù)值格式與上一小節(jié)相同，展向采用周期邊界條件，法向和計算域出口采用無反射邊界條件。初始流場取為平均流場加擾動場，流向平均速度取雙曲正切函數(shù)為初始平均速度剖面，平均法向和展向速度為零，平均溫度滿足Crocco－Busemann能量關(guān)系式，平均壓力沿法向無梯度，擾動場采用最不穩(wěn)定擾動波。來流馬赫數(shù)高速Ma1＝2.0，低速Ma2＝0.5，來流溫度高速T1＝162.8K，低速T2＝279.0K，對流馬赫數(shù)Mc＝0.58。

圖5給出剪切層流場密度等值面，上游入口附近流場在最不穩(wěn)定二維擾動下首先發(fā)生Kelvin－Helmholtz失穩(wěn)，形成一系列大尺度的二維渦卷結(jié)構(gòu)；隨著流動的發(fā)展，相鄰展向渦之間通過渦辮發(fā)生強烈的卷吸作用，導(dǎo)致了流動的展向失穩(wěn)，二維基頻渦管逐漸彎曲斷裂，轉(zhuǎn)捩以后的流場渦結(jié)構(gòu)以較為均勻分布的三維小尺度渦為主。

圖5 瞬時密度等值面Fig.5 Iso－surface of density

圖6給出光瞳中心位于不同流向發(fā)展階段時的波面光程差分布，光瞳口徑取為20mm，轉(zhuǎn)捩初期取在K－H失穩(wěn)形成二維渦卷結(jié)構(gòu)位置，轉(zhuǎn)捩中期取在渦卷結(jié)構(gòu)發(fā)生二次失穩(wěn)的位置。圖7為對應(yīng)三個波面的擬合系數(shù)的幅值。為了便于比較，用波面畸變PV值對各階擬合系數(shù)進行了無量綱化。流場轉(zhuǎn)捩初期區(qū)域以二維渦卷為主要結(jié)構(gòu)，因而波面畸變表現(xiàn)為流向的大尺度起伏，這時與展向畸變相關(guān)性強的波面擬合系數(shù)幾乎為零，并且相應(yīng)Zernike低階項的擬合系數(shù)幅值明顯大于高階項系數(shù)。流動轉(zhuǎn)捩區(qū)域發(fā)生二次失穩(wěn)，流場結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)三維多尺度特性，這時對應(yīng)展向和流向的擬合系數(shù)已經(jīng)不存在明顯的差異，雖然仍以低階像差為主，但是其幅值有所下降，高階像差所占的比例相對轉(zhuǎn)捩初期有明顯的增加，說明小尺度的波面畸變有所增長。對于完全湍流區(qū)域，流場大尺度結(jié)構(gòu)已經(jīng)逐步破碎成為小尺度結(jié)構(gòu)，各階擬合系數(shù)幅值相當(dāng)，只有個別低階擬合系數(shù)具有較大幅值，高階像差在波面畸變中占有的比重進一步增大。對比圖5中流場渦結(jié)構(gòu)的演化特點，可以發(fā)現(xiàn)流場渦結(jié)構(gòu)的空間分布及其尺度特性是影響波面畸變特性的重要因素。

圖6 不同流向位置的波面畸變Fig.6 Wavefront distortion at different positions

圖7 不同流向位置的波面擬合系數(shù)Fig.7 Coefficients of Zernike polynomials at different positions

4 結(jié) 論

應(yīng)用波面擬合方法對可壓縮剪切層流場引起的氣動光學(xué)效應(yīng)進行了分析，通過波面系數(shù)的幅值分布情況比較了流場轉(zhuǎn)捩初期、轉(zhuǎn)捩過程中和完全發(fā)展湍流三個階段的波面畸變特性。分析結(jié)果表明，通過波面擬合可以定量地表達波面畸變的空間尺度特性。流場轉(zhuǎn)捩初期的波面擬合系數(shù)中與流向相關(guān)的低階系數(shù)幅值要明顯大于另一個方向的系數(shù)，波面畸變以流向大尺度畸變?yōu)橹?，而在流場轉(zhuǎn)捩過程中以及完全發(fā)展湍流區(qū)，波面擬合系數(shù)中的高階系數(shù)幅值明顯增長，波面表現(xiàn)為三維多尺度起伏形態(tài)。流場結(jié)構(gòu)的分布特點決定了波面畸變的尺度分布特性，是可壓縮剪切層流場氣動光學(xué)效應(yīng)的重要影響因素。

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