劉彩云 (長(zhǎng)江大學(xué)一年級(jí)教學(xué)工作部，湖北 荊州 434025)

頻率域位場(chǎng)延拓表達(dá)式的一種簡(jiǎn)單推導(dǎo)

劉彩云 (長(zhǎng)江大學(xué)一年級(jí)教學(xué)工作部，湖北 荊州 434025)

提出了一種頻率域位場(chǎng)延拓表達(dá)式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法。從位場(chǎng)拉普拉斯方程出發(fā)，采用傅里葉變換將拉普拉斯第一邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為頻率域二階常微分方程，通過(guò)求解該常微分方程得到頻率域位場(chǎng)延拓表達(dá)式。

位場(chǎng)延拓；頻率域；普拉斯方程；傅里葉變換

位場(chǎng)延拓包括向上延拓和向下延拓，向上延拓可突出深部(區(qū)域)異常、壓制淺部(局部)異常；向下延拓則相反，可突出淺部(局部)異常、壓制深部(區(qū)域)異常[1]，位場(chǎng)延拓在重磁資料解釋中有重要應(yīng)用[1,2]。

傳統(tǒng)解析延拓推導(dǎo)方法是求解Laplace偏微分方程[3,4]得到空間域解析延拓公式，再由傅里葉變換得到頻率域延拓公式。下面，筆者提出一種簡(jiǎn)單的頻率域位場(chǎng)延拓推導(dǎo)方法。

1 傅里葉變換的時(shí)頻微分性質(zhì)

傅里葉變換的時(shí)頻微分性質(zhì)表明，函數(shù)f(x)的k階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于函數(shù)f(x)傅里葉變換乘上因子jω的k次方，通過(guò)該性質(zhì)，可以將時(shí)域函數(shù)的微分轉(zhuǎn)換到頻域計(jì)算。

2 推導(dǎo)過(guò)程

將觀測(cè)平面上的已知位場(chǎng)數(shù)據(jù)(重力異?；蛘叽女惓?用數(shù)學(xué)解析的方法換算成較高平面上的異常，稱為位場(chǎng)的解析上延拓，反之，將已知平面異常換算成低平面上的異常，稱為解析下延拓。

假設(shè)在某觀測(cè)面上的位場(chǎng)數(shù)據(jù)為已知，則根據(jù)此位場(chǎng)數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算不包含場(chǎng)源的其他高度的位場(chǎng)數(shù)據(jù)，就可以歸結(jié)為求解拉普拉斯方程第一邊值問(wèn)題：

(1)

式中，函數(shù)f(x,y,z)表示高度為z處的位場(chǎng)數(shù)據(jù)，f(x,y,0)表示地表(z=0)觀測(cè)的位場(chǎng)數(shù)據(jù)。

空間域與頻率域變量分別對(duì)應(yīng)為：

(2)

由傅里葉變換的時(shí)頻微分性質(zhì)，拉普拉斯方程的傅里葉變換為：

(3)

即：

(4)

位場(chǎng)延拓公式(1)在頻率域可描述如下的二階微分方程：

(5)

方程(4)中其他變量相對(duì)z來(lái)說(shuō)都是常量，令:

方程(4)即為：

F″-CF=0

(6)

這是關(guān)于變量z的二階常微分方程，求解該二階常微分方程可得其通解：

(7)

(8)

帶入初始條件F(u,v,z)|z=0=F(u,v,0)可確定系數(shù)c1=F(u,v,0)，由此，可得到頻率域拉普拉斯方程(5)的解為：

(9)

公式(1)～(9)是利用傅里葉變換的時(shí)頻微分性質(zhì)推導(dǎo)頻率域位場(chǎng)延拓公式的過(guò)程。式(9)是頻率域位場(chǎng)延拓的表達(dá)式，對(duì)式(9)進(jìn)行反傅里葉變換就可以得到上半空間空間域的位場(chǎng)數(shù)據(jù)。

3 結(jié) 語(yǔ)

利用傅里葉變換的時(shí)頻微分性質(zhì)，將拉普拉斯第一邊值問(wèn)題的二階偏微分方程在頻率域轉(zhuǎn)換為二階常微分方程，求解該二階常微分方程得到頻率域位場(chǎng)延拓表達(dá)式。該推導(dǎo)方法推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單，有助于加深對(duì)位場(chǎng)延拓的理解。

[1]管志寧.地磁場(chǎng)與磁力勘探[M].北京：地質(zhì)出版社，北京，2005.

[2]陳龍偉，胡小平，吳美平，等.空間域位場(chǎng)延拓新方法研究[J].地球物理學(xué)進(jìn)展，2012，27(4):1509-1528.

[3]焦紅兵，賈美枝.一類非線性的偏微分方程的解[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，37(12):153-160.

[4]龔東山，牛富俊.一類高階非線性微分方程解的研究[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，5(4):28-30.

[5]熊俊.一類二階微分方程邊值問(wèn)題正解的存在唯一性討論[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，3(3)：12-14.

2013-05-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11201039；61273179)；湖北省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(D20101304)。

劉彩云(1975-)，女，副教授，博士生，現(xiàn)主要從事最優(yōu)化理論與算法方面的教學(xué)與研究。

O171.2

A

1673-1409(2013)28-0004-02

[編輯] 洪云飛