施呂蓉，周宗福，高 偉

(1.蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 蕪湖241003;2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230000)

1 基礎(chǔ)知識(shí)

微分方程的周期解由于應(yīng)用廣泛而被人們廣泛關(guān)注，近年來，一階和二階微分方程周期解的存在性研究已有很多結(jié)果.在三階微分方程的研究中，文獻(xiàn)［1］［2］研究了三階常微分方程

文獻(xiàn)［3］討論了三階具偏差變?cè)⒎址匠?/p>

的2π－周期解的存在性.其中f(x)∈C(R)，τ(t)，p(t)均為2π－周期連續(xù)函數(shù).這里，將研究方程

的 T－周期解的存在性，其中 f(x)，gi(t，x)(i=1，2，…，n)在 R 上連續(xù)，g關(guān)于 t為 T周期的 ，p(t)及 τ1(t)，τ2(t)，…，τn(t)都是以T為周期的連續(xù)函數(shù).

引入下列記號(hào):

易見算子方程Lx=Nx與式(1)等價(jià).其輔助方程為

利用輔助方程(2)，容易證得以下結(jié)果:

引理1 若x(t)是式(2)的一個(gè)T－周期解，當(dāng)(H1)(H3)或(H2)(H4)任一組條件成立時(shí)，

2 主要結(jié)果

定理1 若(H1)(H3)成立，并且條件(H5)(H7)或者(H6)(H7)成立，則當(dāng)2(n－1)時(shí)，方程(1)至少存在一個(gè)T－周期解.

證明 記方程(2)的所有T－周期解組成的集合

?x∈Ω0，對(duì)方程(2)兩端從0到T積分，有

由引理1并結(jié)合(H5)(H7)可知

因而存在與λ無關(guān)的常數(shù)K＞K0+K1+K2，使得‖x‖＜K.

作變換 F:(Ω∩Ker L)×［0，1］→Ω∩Ker L，定義

故F(x，u)為同倫映射，取J為恒同映射，則

根據(jù)文獻(xiàn)［4］的結(jié)論，方程(1)至少存在一個(gè)T－周期解.同理可得(H1)(H3)(H6)(H7)成立時(shí)，定理1依然成立.證畢.

類似于定理1的證法，可以證明下列結(jié)論成立.

定理2 若(H2)(H4)成立，并且條件(H5)(H7)或者(H6)(H7)成立，則當(dāng)2(n－1時(shí)，方程(1)至少存在一個(gè)T－周期解.

［1］KIGURADZE I T，PUZA B.On periodic solutions of system of differential equations with deviating arguments［J］.Nonlinear Anal TMA，2000，42:229-242

［2］MARTINSR F.The existence of periodic solutions for second order differential equation with singularities and the strong force condition［J］.Math Anal Appl，2006，317:1-13

［3］汪娜，魯世平.一類三階具偏差變?cè)⒎址匠痰闹芷诮猓跩］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，29(1):17-22

［4］GAINESR E，MAWHIN JK.Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equation［A］.Lecture Notes in math［C］.Berlin:Springer-Verlag，1977