李電生 李運(yùn)紅 萬(wàn)培祥

(中國(guó)海洋大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，山東 青島 266100)

干散貨航運(yùn)價(jià)格指數(shù)的多重分形特征分析*

李電生 李運(yùn)紅 萬(wàn)培祥

(中國(guó)海洋大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，山東 青島 266100)

運(yùn)用多重分形理論對(duì)干散貨航運(yùn)價(jià)格指數(shù)的分布結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，對(duì)運(yùn)價(jià)指數(shù)的廣義Hurst指數(shù)、質(zhì)量指數(shù)τ(q)進(jìn)行估算，結(jié)果表明干散貨航運(yùn)價(jià)格指數(shù)時(shí)間序列具有多重分形特征。并且結(jié)合多重分形譜分析法對(duì)運(yùn)價(jià)指數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)多重分形譜圖左端明顯低于右端，呈密集型分布，表明國(guó)際干散貨運(yùn)價(jià)指數(shù)總體呈增大趨勢(shì)。

運(yùn)價(jià)指數(shù)；多重分形理論；多重分形譜分析法

一、引言

由波羅的海航交所發(fā)布的BDI指數(shù)是衡量國(guó)際海運(yùn)情況的領(lǐng)先指數(shù)，能夠反映各國(guó)的經(jīng)濟(jì)情況及國(guó)際間的貿(mào)易情況。該指數(shù)受全球鐵礦、煤礦和谷物運(yùn)輸需求量、全球船噸數(shù)供給力、國(guó)際船用燃油平均價(jià)等多種因素的綜合影響，波動(dòng)頻繁，給市場(chǎng)運(yùn)營(yíng)者的決策帶來(lái)風(fēng)險(xiǎn)，如受歐債危機(jī)和運(yùn)力過(guò)剩的影響，中國(guó)遠(yuǎn)洋在2011年虧損104.5億元人民幣后，2012年上半年再次虧損48.7億。然而，BDI指數(shù)波動(dòng)頻繁并不是無(wú)規(guī)律可循，研究BDI指數(shù)的分布特征可以為市場(chǎng)參與者在決策上提供幫助，降低決策風(fēng)險(xiǎn)。

最初，在對(duì)運(yùn)價(jià)指數(shù)分布規(guī)律的研究上，隨機(jī)游走過(guò)程得到廣泛應(yīng)用，隨后提出了有效市場(chǎng)理論，然而這兩者都不能夠很好地揭示航運(yùn)市場(chǎng)的真實(shí)情況，隨著理論研究的不斷深入和分形幾何理論在其他領(lǐng)域應(yīng)用的迅速發(fā)展，在航運(yùn)市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)特征的研究方面，分形理論逐步引起學(xué)者的關(guān)注，已有學(xué)者開(kāi)始將分形理論應(yīng)用到對(duì)航運(yùn)市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)分布規(guī)律的研究上，證實(shí)了BDI指數(shù)具有分形特征。萬(wàn)九文，呂靖等，[1]李電生，萬(wàn)培祥等運(yùn)用不同的方法證實(shí)國(guó)際干散貨航運(yùn)市場(chǎng)具有分形特征。[2]但是，隨著分形幾何理論的發(fā)展，學(xué)者發(fā)現(xiàn)，單分形只能分析數(shù)據(jù)波動(dòng)形態(tài)的宏觀走勢(shì)，反映信號(hào)總體粗糙和復(fù)雜程度，不能完全刻畫(huà)信號(hào)特征和真實(shí)市場(chǎng)，表明市場(chǎng)本身表現(xiàn)出的并不是單分形結(jié)構(gòu)，而是更精細(xì)的多重分形結(jié)構(gòu)，當(dāng)單一維數(shù)不能完全描述數(shù)據(jù)的精細(xì)特征時(shí)，需要通過(guò)多重分形譜來(lái)體現(xiàn)信號(hào)局部的奇異性。

單分形是用一個(gè)參數(shù)來(lái)刻畫(huà)時(shí)間序列在不同時(shí)間尺度上的分形特征，而多重分形試圖用一些特征指數(shù)來(lái)刻畫(huà)時(shí)間序列的局部分形特征，更好地描述數(shù)據(jù)的精細(xì)結(jié)構(gòu)。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)時(shí)間序列多重分形結(jié)構(gòu)的研究已有很多。國(guó)外學(xué)者Ghashghaie等以美元/馬克國(guó)際匯率為研究對(duì)象，[3]發(fā)現(xiàn)對(duì)匯率變化的研究需要運(yùn)用多重分形理論。Skjeltorp等對(duì)挪威的股票價(jià)格指數(shù)進(jìn)行標(biāo)度特性研究，得出同樣結(jié)論。[4]國(guó)內(nèi)研究有：張永東等，何建敏等發(fā)現(xiàn)單分形不能夠描述我國(guó)股票市場(chǎng)的復(fù)雜特性，中國(guó)股票市場(chǎng)具有多標(biāo)度特征。[5-6]在時(shí)間序列多重分形結(jié)構(gòu)的確認(rèn)上，主要方法有q階矩分割函數(shù)法、多仿射法、多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析法和配分函數(shù)法等。Schmittf等運(yùn)用最原始、最簡(jiǎn)單的q 階矩分割函數(shù)法對(duì)美元/法郎的匯率進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，匯率變化是一個(gè)多重分形過(guò)程。[7]q階矩分割函數(shù)法要求時(shí)間序列是正規(guī)的、平穩(wěn)的，自身具有很大的局限性，在以后的研究中多使用后面的幾種方法。Ausloos等運(yùn)用多仿射法研究了德國(guó)股票市場(chǎng)的多重分形特征，[8]朱林、常松等對(duì)我國(guó)股票市場(chǎng)的多仿射現(xiàn)象進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)我國(guó)股票市場(chǎng)存在明顯的多重分形結(jié)構(gòu)。[9]于建玲、臧保將等借助配分函數(shù)、廣義分形維數(shù)和多重分形譜對(duì)股票市場(chǎng)進(jìn)行研究，[10]李海洋，王磊運(yùn)用多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析法(MF-DFA)，[11]均發(fā)現(xiàn)股票市場(chǎng)存在明顯的多重分形特征。航運(yùn)市場(chǎng)價(jià)格與股票市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)特性具有相似的統(tǒng)計(jì)特征，研究?jī)?nèi)容可以借鑒，由于二者的影響因素和形成機(jī)制等的不同，需要對(duì)研究?jī)?nèi)容的真實(shí)性進(jìn)行檢驗(yàn)。

由Kantelhardt于2002年提出的多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析法(簡(jiǎn)稱(chēng)MF-DFA)，可以發(fā)現(xiàn)非平穩(wěn)時(shí)間序列中的長(zhǎng)程相關(guān)性，該方法自成立以來(lái)，被各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用于分析其多重分形特性上。Matia等使用該方法證實(shí)了多種商品和股票的日價(jià)格具有多重分形結(jié)構(gòu)，[12]Norouzzaden運(yùn)用MF-DFA研究匯率波動(dòng)特征，發(fā)現(xiàn)多重分形譜對(duì)非線(xiàn)性相關(guān)性研究有很大貢獻(xiàn)。[13]袁平平、于建玲等用MF-DFA法研究沃爾瑪指數(shù)日收盤(pán)價(jià)的多重分形特性，[14]陳洪濤、顧榮寶等用MF-DFA法研究原油價(jià)格的多重分形特征等，[15]實(shí)證表明，MF-DFA在研究時(shí)間序列多重分形結(jié)構(gòu)的問(wèn)題上是可行的。

本文采用多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析法(MF-DFA)，通過(guò)對(duì)BDI指數(shù)的廣義Hurst指數(shù)、質(zhì)量指數(shù)的研究，證實(shí)BDI指數(shù)時(shí)間序列具有多重分形特征，并通過(guò)多重分形譜分析方法對(duì)運(yùn)價(jià)指數(shù)的多重分形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究。

二、多重分形結(jié)構(gòu)特征參數(shù)及其計(jì)算過(guò)程

(一)廣義Hurst指數(shù)

多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析法(簡(jiǎn)稱(chēng)MF-DFA)，是Kantelhardt等人在傳統(tǒng)去趨勢(shì)波動(dòng)分析法(簡(jiǎn)稱(chēng)DFA)基礎(chǔ)上于2002年提出的，該方法在研究非平穩(wěn)時(shí)間序列多重分形結(jié)構(gòu)問(wèn)題上，能夠發(fā)現(xiàn)序列的長(zhǎng)程相關(guān)性，避免對(duì)序列的相關(guān)性做出不正確判斷，研究結(jié)構(gòu)更加可靠。廣義Hurst指數(shù)是MF-DFA中最常用的特征參數(shù)，通過(guò)判斷該指數(shù)H(q)與階數(shù)q的關(guān)系來(lái)判斷時(shí)間序列是否具有多重分形結(jié)構(gòu)。廣義Hurst指數(shù)的計(jì)算過(guò)程如下：

對(duì)于給定的長(zhǎng)度為N的時(shí)間序列{xi}(i=1,2,…,N)，利用MF-DFA法計(jì)算廣義Hurst指數(shù)，步驟如下：

求時(shí)間序列{xi}(i=1,2,…,N)對(duì)于均值的累計(jì)離差：

(1)

(2)

(3)

(3)對(duì)單個(gè)區(qū)間序列，采用最小二乘擬合法分別解出其擬合趨勢(shì)多項(xiàng)式pk(l)，其中pk(l)可以是1次，2次等多項(xiàng)式，其表示第k,k=1,2,…,2m個(gè)小區(qū)間上的局部趨勢(shì)函數(shù)。消除每一子區(qū)間的局部趨勢(shì)序列，得到殘差序列Ck(l)為：

當(dāng)k=1,2,……，m時(shí)，

Ck(l)=y(k-1)n+l-pk(l),l=1,2,…,n；

(4)

當(dāng)k=m+1,m+2,……，2m時(shí)，

Ck(l)=yN-(k-m)n+l-pk(l),l=1,2,…,n。

(5)

用F2(n,k)表示第k 段殘差序列的平方均值，有：

(6)

(4)求序列的q階波動(dòng)函數(shù)。對(duì)于非零實(shí)數(shù)q,定義序列的q階波動(dòng)函數(shù)為：

(7)

當(dāng)q=0時(shí)，定義序列的波動(dòng)函數(shù)為：

(8)

當(dāng)q=2時(shí)，MF-DFA將退化為DFA。

(5)q階波動(dòng)函數(shù)Fq(n)的主要性質(zhì)是其揭示了一個(gè)分形信號(hào)冪定律的尺度關(guān)系，對(duì)于每一個(gè)固定的q，有冪律關(guān)系式Fq(n)～nh(q)。對(duì)每一個(gè)子區(qū)間長(zhǎng)度n,可以求出對(duì)應(yīng)的波動(dòng)函數(shù)值Fq(n)，將上述冪律關(guān)系式取對(duì)數(shù)，推得：

logFq(n)=logC+h(q)logn,

(9)

其中，C為常數(shù)。作出logFq(n)～logn函數(shù)關(guān)系散點(diǎn)圖，用最小二乘法做線(xiàn)性回歸，其斜率就是q階廣義Hurst指數(shù)h(q)。

通過(guò)上述步驟得到與不同q相對(duì)應(yīng)的h(q)值，當(dāng)h(q)為常數(shù)，即h(q)不依賴(lài)于q時(shí)，所研究序列為單分形的；當(dāng)h(q)隨q增大而減小，即h(q)依賴(lài)于q且關(guān)于q為單調(diào)下降時(shí)，序列就是多重分形的。h(q)值的取值范圍為0到1，通過(guò)h(q)的取值，可以判斷序列的長(zhǎng)程相關(guān)性，當(dāng)h(q)位于0到0.5之間時(shí)，序列是反持續(xù)的，當(dāng)h(q)等于0.5時(shí)，序列是隨機(jī)時(shí)間序列，當(dāng)h(q)介于0.5到1時(shí)，序列具有持續(xù)性。

(二)質(zhì)量指數(shù)τ(q)確定

在上述過(guò)程中得到的廣義Hurst指數(shù)h(q)與質(zhì)量指數(shù)τ(q)相關(guān)，二者的關(guān)系如下：

τ(q)=qh(q)-1。

(10)

當(dāng)所分析過(guò)程為多重分形時(shí)，它的尺度函數(shù)τ(q)必有如下性質(zhì)：τ(q)是一個(gè)凹函數(shù)；當(dāng)q=0時(shí)，所有的尺度函數(shù)具有相同的質(zhì)量指數(shù)-1；τ(q)是q的非線(xiàn)性函數(shù)。通過(guò)尺度函數(shù)τ(q)的性質(zhì)可以進(jìn)一步判斷時(shí)間序列是否具有多重分形結(jié)構(gòu)。

(三)多重分形譜分析

現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)多重分形譜的解釋主要有三類(lèi)，實(shí)際研究表明最合適的解釋要由具體研究?jī)?nèi)容來(lái)決定。本文定義多重分形譜為具有相同H?lder指數(shù)α集合的分維數(shù)。具體計(jì)算過(guò)程如下：

將時(shí)間序列{xi}(i=1,2,…,N)按時(shí)間標(biāo)度ε(ε<1)等分為互不相交的N個(gè)小區(qū)間，令：

Pj(ε)=Ij(ε)/∑Ij(ε),j=1,2,…,N,

(11)

當(dāng)時(shí)間序列具有多重分形特征時(shí)，有冪律關(guān)系：Pj(ε)∝εα，α表示第j個(gè)小區(qū)間的奇異指數(shù)，用α表示分形子集的分維數(shù)就是多重分形譜函數(shù)f(α)。把具有奇異指數(shù)α的子集中概率相同的區(qū)間個(gè)數(shù)記為Nα(ε)，則滿(mǎn)足冪律關(guān)系式Nα(ε)∝ε-f(α)，對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，然后進(jìn)行最小二乘法擬合可以得到f(α)值。計(jì)算多重分形譜同樣可以從另一角度算出：

(12)

f(α)=qα(q)-τ(q)。

(13)

αmin和αmax分別表示概率最大和最小子集，Δα=αmax-αmin表示概率變化不均勻性，Δα越小，表示概率的分布范圍越窄，多重分形特征越不明顯；f(αmin)和f(αmax)分別表示最大和最小概率子集的單元數(shù)目，Δf=f(αmin)-f(αmax)表征最大最小概率子集出現(xiàn)頻率的變化。

三、BDI指數(shù)多重分形結(jié)構(gòu)研究

(一)干散貨運(yùn)價(jià)指數(shù)多重分形特征分析

1、數(shù)據(jù)選取

文章選用2001年1月2日到2012年11月30日由波羅的海航交所發(fā)布的共2972天的BDI指數(shù)為研究對(duì)象，其實(shí)際波動(dòng)如圖1。對(duì)運(yùn)價(jià)指數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，考慮的是收益率序列，首先運(yùn)用公式R(t)=logP(t+1)-logP(t)，將原序列轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)收益序列，其中P(t)為航運(yùn)市場(chǎng)第t個(gè)工作日的運(yùn)價(jià)指數(shù)，R(t)為航運(yùn)市場(chǎng)日收益率，結(jié)果如圖2。

圖1 BDI波動(dòng)圖

2、廣義Hurst指數(shù)分析

文章運(yùn)用MF-DFA法來(lái)研究表征運(yùn)價(jià)指數(shù)收益序列多重分形性質(zhì)的特征參數(shù)廣義Hurst指數(shù)，用Matlab7.0對(duì)式(1)到式(9)進(jìn)行編碼。

圖3為BDI指數(shù)對(duì)數(shù)收益序列對(duì)于均值的累積離差走勢(shì)圖，從圖3可以看出，序列{yj}(j=1,2,…,N)在不同時(shí)間間隔內(nèi)，變化趨勢(shì)差異很大，上升和下降趨勢(shì)的持續(xù)時(shí)間與幅度均變化不定，說(shuō)明BDI指數(shù)的波動(dòng)規(guī)律具有復(fù)雜性。

在進(jìn)行多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析時(shí)，q的取值范圍為(0:0.5:10)。圖4(上)為q取不同值時(shí)，波動(dòng)函數(shù)Fq(n)和n的雙對(duì)數(shù)關(guān)系圖，在圖4(上)中，各曲線(xiàn)從下到上，q值依次增大，對(duì)應(yīng)的斜率h(q)逐漸變小，說(shuō)明h(q)關(guān)于q是單調(diào)下降的。用最小二乘法進(jìn)行擬合，得到廣義Hurst指數(shù)h(q)隨q變化的相應(yīng)取值，如表1，其趨勢(shì)圖如圖4(下)。

表1 BDI指數(shù)收益率序列廣義Hurst指數(shù)

當(dāng)q=0時(shí)，h=0.7828，q從0變化到10時(shí)，BDI收益序列的h(q)值從0.7828遞減到0.5579，運(yùn)價(jià)指數(shù)收益序列的h(q)值顯然不能用常數(shù)來(lái)表示，說(shuō)明BDI收益序列具有明顯的多重分形特征，用單一分形不能對(duì)其進(jìn)行充分描述。從表1中看到，運(yùn)價(jià)指數(shù)收益序列的廣義Hurst指數(shù)h(q)都介于0.5到1之間，說(shuō)明運(yùn)價(jià)指數(shù)時(shí)間序列具有持續(xù)性，即若運(yùn)價(jià)指數(shù)在前一階段具有上升(下降)趨勢(shì)，在下一階段走勢(shì)中，運(yùn)價(jià)指數(shù)在很大程度上會(huì)繼續(xù)保持上升(下降)趨勢(shì)。從圖4(下)可以看出，h(q)關(guān)于q單調(diào)下降，說(shuō)明BDI收益序列具有多重分形結(jié)構(gòu)。

3、質(zhì)量指數(shù)τ(q)

圖5為以階數(shù)q為橫坐標(biāo)，以運(yùn)價(jià)指數(shù)收益序列的質(zhì)量指數(shù)τ(q)為縱坐標(biāo)的q-τ(q)關(guān)系圖，從圖上可以看出τ(q)是一個(gè)凹向橫軸的函數(shù)，當(dāng)q=0時(shí)，τ(q)=0，τ(q)是關(guān)于q 的非線(xiàn)性函數(shù)，由以上性質(zhì)，進(jìn)一步證明運(yùn)價(jià)指數(shù)時(shí)間序列具有多重分形結(jié)構(gòu)。

圖5 BDI指數(shù)序列尺度函數(shù)

(二)干散貨運(yùn)價(jià)指數(shù)多重分形結(jié)構(gòu)研究

本文運(yùn)用多重分形譜分析法，通過(guò)對(duì)運(yùn)價(jià)指數(shù)收益序列多重分形譜的研究，來(lái)分析BDI指數(shù)多重分形結(jié)構(gòu)的內(nèi)部特征，如圖6所示：

圖6 BDI指數(shù)序列多重分形譜圖

多重分形譜是直接由BDI指數(shù)隨時(shí)間的變化計(jì)算出來(lái)的，反映了航運(yùn)市場(chǎng)走勢(shì)的信息，結(jié)合圖6和多重分形譜的幾何意義，得出BDI 指數(shù)的多重分形譜曲線(xiàn)分布范圍較大，表明BDI指數(shù)波動(dòng)幅度大，其分布是非均勻的，同時(shí)相應(yīng)的分形譜跨度也較大。多重分形譜圖左端明顯低于右端，呈密集型分布，揭示出航運(yùn)市場(chǎng)中BDI指數(shù)歸一化價(jià)格較高的事件起主要作用，BDI指數(shù)總體上呈增大趨勢(shì)。

航運(yùn)市場(chǎng)受世界經(jīng)濟(jì)走勢(shì)、市場(chǎng)參與人信息掌握程度、自然現(xiàn)象等多種因素的共同影響，導(dǎo)致航運(yùn)市場(chǎng)的復(fù)雜性及運(yùn)價(jià)指數(shù)的非線(xiàn)性，這些因素的最終作用結(jié)果都通過(guò)BDI指數(shù)來(lái)綜合體現(xiàn)，而多重分形結(jié)構(gòu)是目前為止分析時(shí)間序列特征最為全面的模型，因此，以上研究得出的航運(yùn)價(jià)格指數(shù)的分布特征對(duì)航運(yùn)市場(chǎng)的研究具有重要意義。

四、結(jié)論

通過(guò)對(duì)BDI指數(shù)的多重分形結(jié)構(gòu)研究，得出如下結(jié)論：

1、多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析法研究結(jié)果表明，干散貨航運(yùn)價(jià)格指數(shù)序列的廣義Hurst指數(shù)h(q)關(guān)于q是單調(diào)下降的，q從0變化到10時(shí)，h(q)值從0.7828遞減到0.5579，顯然不是常數(shù)，且h(q)值都介于0.5到1之間，說(shuō)明運(yùn)價(jià)指數(shù)序列具有多重分形特征和持續(xù)性趨勢(shì)特性。

2、運(yùn)用尺度函數(shù)特征判斷運(yùn)價(jià)指數(shù)序列的多重分形特征，結(jié)果表明BDI指數(shù)序列的尺度函數(shù)是凹向橫軸的非線(xiàn)性函數(shù)，h(0)=-1,進(jìn)一步證明運(yùn)價(jià)指數(shù)系列不是單分形結(jié)構(gòu)，而是更加精細(xì)的多重分形結(jié)構(gòu)。

3、BDI指數(shù)多重分形譜圖呈密集型分布，左端明顯低于右端，說(shuō)明航運(yùn)市場(chǎng)中BDI指數(shù)歸一化價(jià)格高的事件起主導(dǎo)作用，BDI指數(shù)總體呈增大趨勢(shì)。

本文通過(guò)對(duì)運(yùn)價(jià)指數(shù)收益序列的廣義Hurst指數(shù)h(q)、質(zhì)量指數(shù)τ(q)和多重分形譜等特征的研究，證明BDI指數(shù)序列不是單分形結(jié)構(gòu)而是更精細(xì)的多重分形結(jié)構(gòu)，為更深入研究航運(yùn)市場(chǎng)價(jià)格的分形屬性的拐點(diǎn)特征奠定了基礎(chǔ)。同時(shí)為分析航運(yùn)價(jià)格波動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律和局部特性提供依據(jù)，有助于更準(zhǔn)確地把握航運(yùn)市場(chǎng)發(fā)展趨勢(shì)，并以此為航運(yùn)市場(chǎng)營(yíng)運(yùn)人做出正確決策提供幫助，進(jìn)而大大降低決策風(fēng)險(xiǎn)。

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AnalysisofMulti-FractalCharacteristicsofShippingPriceIndexofDryBulk

Li Diansheng,Li Yunhong,Wan Peixiang

(College of Economics,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

Based on the multi-fractal theory,this paper explores the distribution structure of the shipping price index of dry bulk,and estimates the generalized Hurst exponent and mass index. The results show that the time series of the shipping price index of dry bulk have multi-fractal characteristics. Meanwhile,combined with the multi-fractal spectrum analysis,the paper studies the internal structure of the freight index,and finds that the left end of the multi-fractal spectrum is obviously lower than the right end,and that the distribution is intensive,indicating that the shipping price index of dry bulk shows an overall growth trend.

shipping price index; multi-fractal theory; multi-fractal spectrum analysis

F250

A

1672-335X(2013)03-0007-05

責(zé)任編輯：王明舜

2012-12-26

國(guó)家社科基金項(xiàng)目“FFA在中國(guó)相關(guān)航線(xiàn)上的市場(chǎng)效率研究”(09BJY074)

李電生(1966- )，男，河北石家莊人，中國(guó)海洋大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院副教授，主要從事現(xiàn)代物流與供應(yīng)鏈管理，港口規(guī)劃與管理研究。