劉明華

多渦卷四階Jerk系統(tǒng)的仿真研究

劉明華

(井岡山大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，江西，吉安 343009)

對四階Jerk系統(tǒng)中通過引入具有多個(gè)線性分段的鋸齒波函數(shù)實(shí)現(xiàn)多渦卷混沌吸引子的機(jī)理進(jìn)行了分析。在MATLAB中分別采用M語言和SIMULINK平臺實(shí)現(xiàn)了多渦卷四階Jerk系統(tǒng)的數(shù)值仿真，設(shè)計(jì)了多渦卷四階Jerk電路，在EWB電路仿真軟件中搭建了電路并進(jìn)行了相關(guān)電路仿真。理論分析、數(shù)值仿真及電路仿真的相關(guān)結(jié)果一致，進(jìn)一步證實(shí)了多渦卷混沌吸引子的存在。多渦卷混沌吸引子的存在，為混沌在信息安全中的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

四階Jerk系統(tǒng)；鋸齒波函數(shù)；多渦卷混沌吸引子；仿真

0 引言

混沌行為是一種非常復(fù)雜的動力學(xué)行為，它具有對初始值的高度敏感性、不可預(yù)見性、內(nèi)隨機(jī)性和類噪聲性[1-3]。正因?yàn)榛煦缇哂羞@些特性，它在諸如保密通信領(lǐng)域、圖像加密領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用前景。與單或雙渦卷混沌吸引子相比，多渦卷混沌吸引子具有更多更復(fù)雜的動力學(xué)行和多個(gè)螺旋密鑰參數(shù)[4]，在信息安全、保密通信等工程領(lǐng)域具有更好的應(yīng)用前景，是目前混沌研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)課題[5-12]。

1 多渦卷形成機(jī)理分析

文獻(xiàn)[5]在只能產(chǎn)生雙渦卷混沌吸引子的四階Jerk系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過引入具有多個(gè)線性分段的鋸齒波函數(shù)()，使系統(tǒng)可以產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子。多渦卷四階Jerk系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

式中鋸齒波函數(shù)()為

參數(shù)=7.9，＞ 0，≥ 1。參數(shù)A可以控制渦卷的大小，即A越小時(shí)渦卷就越小，在運(yùn)算放大器的有限電壓范圍內(nèi)能產(chǎn)生更多數(shù)量，反之A越大時(shí)渦卷就越大，在運(yùn)算放大器的有限電壓范圍內(nèi)能產(chǎn)生數(shù)量就受到限制。

令(1)式的左邊為零，可知系統(tǒng)的平衡點(diǎn)方程為

以=4為例，鋸齒波函數(shù)()的平衡點(diǎn)分布如圖1所示，圖中符號“O”和“×”分別表示指標(biāo)2和指標(biāo)1的鞍焦平衡點(diǎn)?，F(xiàn)在考察指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)對應(yīng)的特征值。對應(yīng)的Jacobian矩陣為

式中=7.9。得對應(yīng)的特征值為λ1,2=0.18682± 1.1956i，λ3=-6.866，λ4=-0.78568。因而“O”表示的平衡點(diǎn)為指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)，每個(gè)鞍焦平衡點(diǎn)能產(chǎn)生一個(gè)渦卷，故圖1所示的鋸齒波函數(shù)()可產(chǎn)生8或9卷混沌吸引子。

2 多渦卷系統(tǒng)的MATLAB仿真

MATLAB是一種面向科學(xué)與工程計(jì)算的高級語言，將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等強(qiáng)大功能集于一體，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)等提供一種全面解決方案，具有極高的編程效率。值得注意的是，MATLAB中還集成了SIMULINK，它提供了圖形編輯器、可自定義的定制模塊庫以及和求解器，便于進(jìn)行動態(tài)系統(tǒng)建模和仿真[15]。

下面以8渦卷混沌吸引子為例，分別采用M語言和SIMULINK平臺這兩種不同方法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)的數(shù)值仿真。這時(shí)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)方程可改寫為

式中() = -+[sgn() + sgn(-2) + sgn(+2) + sgn(-4) + sgn(+4) + sgn(-6) + sgn(+6)]，參數(shù)=7.9，=1。

采用M語言來實(shí)現(xiàn)的步驟為：(a)根據(jù)(4)式的微分方程，建立相應(yīng)的函數(shù)文件。

function dxdt=Jerk_multiscroll(t,x)

eta=7.9; A=1; b=9.19; c=4; d=7.278;

f=-eta*x(1)+eta*A*(sign(x(1))+sign(x(1)-2*A)+

sign(x(1)+2*A)+sign(x(1)-4*A)+sign(x(1)+4*A)+

sign(x(1)-6*A)+sign(x(1)+6*A))；%鋸齒波函數(shù)

dxdt=[x(2);x(3);x(4);-b*x(2)-c*x(3)-d*x(4)+f];

(b)調(diào)用微分方程求解函數(shù)ode45。

t0=[0 1e+3]; %仿真時(shí)間

x0=[0.1, 0.27, 0.3, 0.4]; %系統(tǒng)初始值

[t,x]=ode45(' Jerk_multiscroll ',t0,x0,options);

圖2 8渦卷四階Jerk系統(tǒng)的SIMULINK仿真圖

基于SIMULINK平臺的動態(tài)仿真步驟為：(a)先用SIMULINK模型庫構(gòu)建仿真系統(tǒng)。根據(jù)系統(tǒng)(4)的狀態(tài)方程特點(diǎn)，將所需要用到的單元功能模塊(積分模塊、求和模塊、增益模塊以及實(shí)現(xiàn)符號函數(shù)的模塊Sign)拖放到平臺搭建窗口，并按系統(tǒng)(4)的狀態(tài)方程把各模塊連接起來，搭建好的仿真系統(tǒng)如圖2所示。(b)設(shè)置系統(tǒng)的初始值及仿真時(shí)間。在此，初始值為設(shè)置為(0.1, 0.2, 0.3, 0.4)，仿真時(shí)間為200s，其它參數(shù)為默認(rèn)。用XY graph觀察混沌吸引子相圖，觀察到的8渦卷混沌吸引子數(shù)值仿真結(jié)果如圖3(a)所示，采用類似方法可搭建9渦卷的SIMULINK仿真系統(tǒng)并進(jìn)行相關(guān)的數(shù)值仿真，仿真結(jié)果如圖3(b)所示。

(a)

(b)

圖3 數(shù)值仿真結(jié)果 (a)8渦卷; (b)9渦卷

Fig.3 The results of numerical simulation (a)8-scroll; (b)9-scroll

3 電路仿真

根據(jù)系統(tǒng)(4)的狀態(tài)方程，設(shè)計(jì)了一種可以產(chǎn)生8渦卷混沌吸引子的四階Jerk電路，如圖4所示。整個(gè)電路由兩大模塊組成，分別為實(shí)現(xiàn)非線性函數(shù)-()的N1模塊和實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)中的微積分函數(shù)的N2模塊，其中N2模塊又是由反相比例加法電路、積分電路和反相電路組成。

圖4 8渦卷四階Jerk電路圖

再將電流轉(zhuǎn)換為電壓，可以得到

故非線性函數(shù)-()的狀態(tài)方程可表示為

當(dāng)=4，=7.9，=1，可產(chǎn)生8多渦卷混沌吸引子的鋸齒波函數(shù)()的表達(dá)式為

在N2中，可以推導(dǎo)出電路對應(yīng)的狀態(tài)方程為

(a)

(b)

4 結(jié)論

本文采用M語言和SIMULINK平臺實(shí)現(xiàn)了多渦卷四階Jerk系統(tǒng)的數(shù)值仿真，更進(jìn)一步，在EWB電路仿真軟件中搭建了多渦卷四階Jerk電路并進(jìn)行了相關(guān)電路仿真，數(shù)值仿真與電路仿真結(jié)果一致，證實(shí)了多渦卷混沌吸引子的存在，為其在信息安全中的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。本文采用的有關(guān)數(shù)值仿真和電路仿真方法具有普適性，可以推廣到其它混沌系中。

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SIMULATION INVESTIGATION MULTI-SCROLL FOUR-ORDER JERK SYSTEM

LIU Ming-hua

(School of Electronics and Information Engineering, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)

The mechanism of generating multi-scroll chaotic attractors which can be obtained by introducing sawtooth function based on four-order Jerk system is analyzed. Some numerical simulations of multi-scroll chaotic attractors are realized by M language and SIMULINK platform in MATLAB. A novel multi-scroll four-order Jerk circuit is designed. The circuit is built on Electronics Workbench (EWB) platform, and circuit simulation is experimented. Theoretical analysis, numerical simulation results and circuit simulation results are agreed, which confirmed the multi-scroll chaotic attractors exist. The existing of multi-scroll chaotic attractors provides the theoretical basis for the application of chaos in information security.

fourth-order Jerk system; sawtooth nonlinear function; multi-scroll chaotic attractor; simulation

TN710；TN918

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.04.012

1674-8085(2013)04-0059-05

2013-02-18；

2013-05-20

江西省教育廳科技項(xiàng)目 (GJJ13542)；井岡山大學(xué)自然科學(xué)基金項(xiàng)目 (JZB1203)

劉明華(1975-)，男，江西吉水人，副教授，博士，主要從事非線性電路與系統(tǒng)研究(E-mail:liuminghua2000@sina.com).