●張春杰

(學(xué)軍中學(xué) 浙江杭州 310012)

動(dòng)靜相融降維轉(zhuǎn)化兩法結(jié)合——例談解決立體幾何背景下的解析幾何問(wèn)題的有效策略

●張春杰

(學(xué)軍中學(xué) 浙江杭州 310012)

立體幾何和解析幾何問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，以立體幾何為載體、以解析為嵌入的問(wèn)題在各類考試中頻繁出現(xiàn).這要求學(xué)生既要有比較好的空間思維能力，又要有細(xì)致的計(jì)算能力,能有效地體現(xiàn)學(xué)科的交叉、數(shù)學(xué)思想的融合.這里針對(duì)不同的問(wèn)題類型，探討解題方法，挖掘解題策略，實(shí)現(xiàn)解題的有效性.

1 幾何法和代數(shù)法解決立體幾何背景下的橢圓問(wèn)

題例1

( )

A．30° B．60° C．90° D．120°

圖1 圖2

圖3

點(diǎn)評(píng)立足于條件的融合，選擇不同的轉(zhuǎn)化角度，從2個(gè)不同的角度去解決問(wèn)題，從三維到二維，從變化的條件中整合恒定的特征，這是解決立體幾何背景下解析幾何問(wèn)題的有效策略.

2 降維轉(zhuǎn)化，合理利用定義，有效解決拋物線的軌跡問(wèn)

題例2

如圖4，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，AD=2，AB=2,AA1=1,點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P到A1D1距離的平方比P到BB1距離的平方大1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是______圖形的一部分.

分析因?yàn)楦呤?，降維轉(zhuǎn)化為在底面上點(diǎn)P到直線A1D1的距離和點(diǎn)P到點(diǎn)B1的距離相等，故點(diǎn)P的軌跡是拋物線的一部分.

點(diǎn)評(píng)關(guān)鍵是要把題中的條件歸結(jié)在同一個(gè)平面上，利用拋物線的定義，合理解決.

圖4 圖5

3 把空間垂直和平面垂直有效結(jié)合起來(lái)，合理解決復(fù)雜的軌跡問(wèn)題

例3在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別是AC′,A′B′的中點(diǎn)．點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡周長(zhǎng)等于______．

點(diǎn)評(píng)該問(wèn)題的核心是如何轉(zhuǎn)化垂直，這里巧妙地利用三垂線定理，并且題中條件點(diǎn)M為定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，一靜一動(dòng)，抓住點(diǎn)M的射影是定點(diǎn)，一切迎刃而解.

4 在坐標(biāo)系下，標(biāo)注特征，數(shù)形結(jié)合，有效解決圓的問(wèn)題

例4

如圖6，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥平面α，AB=2BC=2CD=4，點(diǎn)P為α內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠APB=∠DPC，則點(diǎn)P的軌跡為

( )

A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線

圖6 圖7

分析如圖7構(gòu)建坐標(biāo)系，則B(-1，0，0)，

C(1，0，0).令P(x,y,0),由∠APB=∠DPC,得

tan∠APB=tan∠DPC，

從而

即

PB=2PC,

化簡(jiǎn)得

x2+y2-4x+1=0(圓的一般方程).

點(diǎn)評(píng)求解該問(wèn)題的關(guān)鍵在于構(gòu)建空間坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題代數(shù)化，直觀，易于處理.

5 策略提升，啟迪思維，形成解法

不管是幾何策略還是代數(shù)策略，都需要分析問(wèn)題包含的不變特征，動(dòng)的是什么，靜的是什么，變的是什么，不變的是什么，有機(jī)整合，合理運(yùn)用，化難為易，數(shù)形結(jié)合，形成解決立體幾何背景下解析幾何問(wèn)題的有效策略(如圖8所示).

圖8