●羅增儒

(陜西師范大學(xué) 陜西西安 710062)

2道向量高考試題1個幾何極值實(shí)質(zhì)

●羅增儒

(陜西師范大學(xué) 陜西西安 710062)

2013年和2005年的浙江省數(shù)學(xué)高考試卷均有設(shè)置精巧的向量試題：

例1已知向量a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

A.a⊥eB.a⊥(a-te)

C.a⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

(2005年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

1 例1的數(shù)形結(jié)合理解

1.1 例1的幾何理解

圖1

當(dāng)然，這個幾何意義也可以通過嚴(yán)格的代數(shù)運(yùn)算得到．

1.2 例1的代數(shù)理解

由a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，得

(a-te)2-(a-e)2≥0

對任意t∈R恒成立.

分解得(t-1)(t-2a·e+1)≥0對任意t∈R恒成立，這表明關(guān)于t的二次函數(shù)的2個根t1=1，t2=2a·e-1相等(即Δ=0，還可以取t=a·e代入)，得

2a·e-1=1,

從而

a·e-1=0，

即

a·e-e2=0，

亦即

e·(a-e)=0,

于是e⊥(a-e)．故選C．

圖2

2 例2與例1的溝通

2.1 例2的幾何意義

解法1如圖2，在△ABC中作CH⊥AB，取BC的中點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)PQ,PC,P0Q,P0C，則

恒成立．因此，P0Q為點(diǎn)Q與直線AB各點(diǎn)距離的最小值，從而P0Q⊥AB，進(jìn)而CH∥P0Q.再由Q為BC的中點(diǎn)得

HB=HP0+P0B=2P0B=AH,

可見CH也是中線，△ABC是等腰三角形，即AC=BC.故選D．

2.2 例2與例1幾何意義的溝通

由上面的分析可見，間隔8年的2道選擇題有完全相同的幾何實(shí)質(zhì)：直線外一點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)的連線中，以垂直距離最短．

因此式(1)恒成立，正是例1的條件：|a-te|≥|a-e|對任意t∈R恒成立．

不妨認(rèn)為，例2是在例1的基礎(chǔ)上添加了充分條件．為了便于讀者全面把握，下面給出例2的更多解法．

2.3 例2的更多解法

解法2以P0為原點(diǎn)、AB為x軸建立坐標(biāo)系，使A(-3,0),P0(0,0),B(1,0).又設(shè)C(x0,y0)，P(t,0)(t∈R),則

(1-t)(x0-t)≥x0

對t∈R恒成立，即

t[t-(x0+1)]≥0

對t∈R恒成立．

說明因?yàn)轭}目中“對于AB上任一點(diǎn)P”沒有說“邊AB”，所以解法2可以理解為“直線AB”(t∈R)，否則線段AB應(yīng)有-3

解法3以P0為原點(diǎn)、AB為x軸建立坐標(biāo)系，使A(-3,0),P0(0,0),B(1,0).又設(shè)C(x0,y0)，P(t,0)(-3

(1-t)(x0-t)≥x0

對-3

t2-(x0+1)t≥0

對-3

下面證明當(dāng)且僅當(dāng)x0=-1時，上式恒成立．

充分性當(dāng)x0=-1時，t2-(x0+1)t=t2≥0對-3

這一矛盾說明x0=-1．

又因?yàn)锳(-3,0)，B(1,0),所以點(diǎn)C(-1,y0)在線段AB的中垂線上，從而AC=BC.故選D．

說明以線段AB的垂直平分線為縱軸建立坐標(biāo)系，效果一樣．

解法4如圖2，作CH⊥AB，取BC的中點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)PQ,PC,P0Q，P0C,則

HB=HP0+P0B=2P0B=2=AH,

可見CH也是中線，△ABC是等腰三角形，從而AC=BC.故選D．

解法5取△ABC為等腰直角三角形，滿足A(-2,0),B(2,0),C(0,2),P0(1,0).對于AB上任一點(diǎn)P(t,0)，有

(t-1)2-1≥-1.

最后指出，2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試的第1題(例3)，條件與例1接近,結(jié)論與例2接近，幾何實(shí)質(zhì)也是相同的．

( )

A.銳角三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.答案不確定