●楊思源 ●錢玉萍 王莉芳

(嘉定區(qū)第一中學(xué) 上海 201808) (嘉定外國語實(shí)驗(yàn)高中 上海 201800)

從求和問題看如何開設(shè)拓展課

●楊思源 ●錢玉萍 王莉芳

(嘉定區(qū)第一中學(xué) 上海 201808) (嘉定外國語實(shí)驗(yàn)高中 上海 201800)

從現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于知識(shí)的分類學(xué)說來看，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，把大量的數(shù)學(xué)概念、定理、公式等陳述性的知識(shí)，運(yùn)用精致、組織、復(fù)述、編碼的方法，讓學(xué)生在主動(dòng)參與、積極建構(gòu)的基礎(chǔ)上，形成越來越復(fù)雜和越來越有層級的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生體驗(yàn)整個(gè)學(xué)習(xí)過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，形成解決問題的產(chǎn)生式，并將數(shù)學(xué)陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰Τ绦蛐灾R(shí)，從而生成能數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題、解決問題的能力.

數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，問題是數(shù)學(xué)的心臟.以問題驅(qū)動(dòng)為載體，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)理性思維能力為主線，立足基礎(chǔ)知識(shí)，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，把握縱橫聯(lián)系，強(qiáng)化重點(diǎn)內(nèi)容，揭示普遍規(guī)律，注重綜合運(yùn)用，關(guān)注思維過程，強(qiáng)化理性思維，關(guān)注一題多解、一題多思、一題多變、一題多問、多題一解.對課本中重要的章節(jié)核心知識(shí)點(diǎn)歸類穿線,形成知識(shí)鏈,建構(gòu)系統(tǒng)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)體系,特別是對那些經(jīng)過千錘百煉的典型例題、習(xí)題或數(shù)學(xué)問題的條件所提供信息的剖析、收集、挖掘、拓展、整理，對千變?nèi)f化的解題思路的探索，以及其中蘊(yùn)含規(guī)律的總結(jié)，對問題結(jié)論產(chǎn)生的來龍去脈的揭示，對具有強(qiáng)大統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)思想方法的提煉，對整個(gè)思維過程與思維結(jié)果的深化、拓展、反思、探索.通過學(xué)生主體的體驗(yàn)、調(diào)控、總結(jié),使經(jīng)驗(yàn)上升為理論,并反過來指導(dǎo)實(shí)踐，無疑有助于學(xué)生個(gè)性化品質(zhì)、創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的培養(yǎng).

如何上好拓展課?以數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)為載體，拓展課本例題，發(fā)展學(xué)生的思維能力，注重探索、實(shí)踐、拓展、創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題與解決問題的能力，無疑是一條很好的思路，自然也為我們進(jìn)行探究性教學(xué)、促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展提供一種有益的嘗試.

1 從一道與求和問題相關(guān)的恒等式證明題談起

滬教版高二數(shù)學(xué)第7章第2單元在“數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用”習(xí)題中有這樣一道題目：

題目運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1·2+2·3+ 3·4+…+n(n+1)=

數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是“遞歸推理原理”.對于與自然數(shù)n相關(guān)的命題P(n),當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法的2個(gè)步驟：第1步,通過具體的驗(yàn)證如n=1時(shí)命題成立，即P(1)真，得到遞推的基礎(chǔ);第2步,在假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題P(k)成立的前提下，論證當(dāng)n=k+1時(shí),命題P(k+1)也成立，即以一次性的演繹論證代替無窮次的逐一驗(yàn)證，可知命題對從第一個(gè)開始驗(yàn)證的所有自然數(shù)都成立.一般來說，大多數(shù)學(xué)生都能比較順利地運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)恒等式.

當(dāng)順利完成了運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)恒等式后，筆者提醒能否不用數(shù)學(xué)歸納法，而用其他方法取代呢？經(jīng)過適當(dāng)?shù)靥骄?，結(jié)論是肯定的.

事實(shí)上有一位學(xué)生是這樣用數(shù)學(xué)歸納法來證明的.

從而f(1)=g(1)，命題成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，f(k)=g(k)成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有

f(k+1)=

1·2+2·3+…+k(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]=

f(k)+(k+1)(k+2),

(1)

g(k)+(k+1)(k+2),

(2)

由歸納假設(shè)知，f(k)=g(k)，從而

f(k+1)=g(k+1).

由此可知等式對任意n∈N*恒成立.

注意到上述證法中，由式(1)可得

f(k+1)-f(k)=(k+1)(k+2),

由式(2)可得

g(k+1)-g(k)=(k+1)(k+2),

于是我們可猜想，由

f(1)=g(1),f(n)-f(n-1)=g(n)-g(n-1),

就可以直接推出命題對任意自然數(shù)n都成立的結(jié)論.因此有以下定理:

定理1設(shè)f(n)和g(n)都是定義在自然數(shù)集上的函數(shù),若滿足下列條件:

(1)f(a)=g(a);

(2)f(n)-f(n-1)=g(n)-g(n-1),

則等式f(n)=g(n)對一切自然數(shù)n≥a都成立.

證明將f(n),g(n)分別寫成：

f(n)=f(a)+f(a+1)-f(a)+f(a+2)-f(a+1)+

…+f(n)-f(n-1)=

(3)

g(n)=g(a)+g(a+1)-g(a)+g(a+2)-

g(a+1)+…+g(n)-g(n-1)=

(4)

由此可得，若滿足定理的條件式(3),(4)的右邊相等，則左邊也相等.因此f(n)=g(n)對于一切自然數(shù)n≥a成立.

證法2運(yùn)用定理1,令

f(n)=1·2+2·3+…+n(n+1),

則

f(1)=2=g(1)，

f(n)-f(n-1)=n(n+1),

n(n+1),

從而

f(n)=g(n).

除此之外，還有哪些方法呢？大部分學(xué)生都把視角轉(zhuǎn)向求和,即把等式左邊看成數(shù)列的前n項(xiàng)求和，運(yùn)用求和的方法來證明.

2 一題多解，多向發(fā)散，自主探究，合作交流

求和：Sn=1·2+2·3+3·4+…+n(n+1).

經(jīng)過學(xué)生自主探索后，獲得如下方法：

從而猜測

于是

然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

證法4若利用前n個(gè)自然數(shù)平方和的公式，則可化為

Sn= (1+2+…+n)+(12+22+…+n2)=

證法5待定系數(shù)法.因?yàn)閍n是n的二次多項(xiàng)式，所以Sn是n的三次多項(xiàng)式.設(shè)Sn=b0n3+b1n2+b2n(因?yàn)閍n=n(n+1)缺常數(shù)項(xiàng)，所以Sn也缺常數(shù)項(xiàng)).由S1=2,S2=8,S3=20,得

證法6拆項(xiàng)求和法.因?yàn)?/p>

所以

證法7應(yīng)用an=Sn-Sn-1(n≥2).因?yàn)?/p>

又

故

證法8利用排列數(shù)性質(zhì)

即 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=

方法9利用朱世杰恒等式

證法10錯(cuò)位相減法.令

Tn=1·2·3+ 2·3·4+3·4·5+…+

n(n+1)(n+2),

Tn= 1·2·3+2·3·4+3·4·5+

…+n(n+1)(n+2),

兩式錯(cuò)位相減，得：

0=1·2·3+3·2·3+3·3·4+…+3·n(n+1)-n(n+1)(n+2),

從而

3 居高臨下，深入淺出，高屋建瓴，水到渠成

3.1 阿貝爾變換法

對于積數(shù)列求和：

使用阿貝爾變換往往能起到化簡的作用.現(xiàn)介紹阿貝爾變換:設(shè)

b1=β1,b2=β1+β2,…,bn=β1+β2+…+βn,

(5)

則

β1=b1,β2=b2-b1,…,βn=bn-bn-1,

α1b1+α2(b2-b1)+…+αn(bn-bn-1)=

(α1-α2)b1+(α2-α3)b2+…+(αn-1-

αn)bn-1+αnbn=

(6)

式(5)與式(6)稱為阿貝爾變換.式中αk,βk是對稱的,因此，適當(dāng)?shù)剡x取αk,βk(k=1,2,…,n)可使積數(shù)列求和問題得到簡化.

于是

3.2 母函數(shù)法

證法12首先求出數(shù)列{an}={0,1·2,2·3,…,n(n+1),…}的母函數(shù).因?yàn)?/p>

對上式兩端進(jìn)行求導(dǎo),得

(n-1)tn+…,

再求導(dǎo)，可得

n(n+1)tn-1+…

由此可知上述函數(shù)是數(shù)列{1·2,2·3,3·4,…,n(n+1),…}的母函數(shù).其次，由

2·3+3·4)t2+…,

知上述函數(shù)為數(shù)列

{1·2,1·2+2·3,1·2+2·3+3·4,…,1·2+2·3+…+n(n+1),…}的母函數(shù).

上述證法1～證法10完全由學(xué)生通過自主探求得到,證法11和證法12則由教師介紹給學(xué)生，這對教師的專業(yè)素質(zhì)訓(xùn)練有良好的促進(jìn)作用.

特別地,如果教師從高等數(shù)學(xué)的視角來研究初等數(shù)學(xué),常常能居高臨下,深入淺出地處理問題.總而言之,立足基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法,編織知識(shí)網(wǎng)絡(luò),把握縱橫聯(lián)系,提煉數(shù)學(xué)思想,在數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題、解決問題中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),有益于拓展思路，擴(kuò)展視野，發(fā)展學(xué)生探究能力和數(shù)學(xué)思維能力.

[1] 史濟(jì)懷.母函數(shù)[M].上海：上海教育出版社，1980：17-18.

[2] 徐會(huì)方,董振平,崔耀文,等.怎樣尋求P(k+1)的證明[M].鄭州：河南教育出版社，1990：103-105.

[3] 明知白.數(shù)列求和[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,1985：132-133.