李 猛，陳慧文，張宗標(biāo)

（亳州師范高等?？茖W(xué)校 理化系，安徽 亳州 236800）

在常微分方程的解的討論中，都是對(duì)一些典型方程求解析解的方法［1-6］，然而在生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)研究中所遇到的問題往往很復(fù)雜，在很多情況下都不可能給出解的解析表達(dá)式，有時(shí)即使有了一些已經(jīng)有了基本方法的典型方程，由于數(shù)據(jù)量非常大，問題便不那么容易解決［7-9］.在實(shí)際問題中，對(duì)于求解微分方程，一般只要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上的近似解或者解的便于計(jì)算的近似表達(dá)式.

本文主要討論下述一階常微分方程初值問題的數(shù)值解：

1 五階Adams顯式公式

作f(x,y(x))以xi,xi-1,…,xi-r為插值節(jié)點(diǎn)的r次Lagrange插值多項(xiàng)式L(x)，滿足:

設(shè)此插值的局部階段誤差為R(x)，即f(x,y(x))=L(x)+R(x)，可以得到以下誤差估計(jì)式：

將(3)、(4)式代入(2)式可得：

代入(5)式，可以得到如下定理.

定理1 一階常微分方程具有五階Adams顯示格式：

且有局部截?cái)嗾`差：

2 五階Adams隱式公式

上述五階Adams顯示格式以xi,xi-1,xi-2,xi-3,xi-4為插值節(jié)點(diǎn)，這時(shí)，其實(shí)際上是個(gè)外推格式，效果不夠理想，為了改善逼近效果，可以變外推為內(nèi)插，改用xi+1,xi，…,xi-r+1為插值節(jié)點(diǎn)的r次Lagrange插值多項(xiàng)式Lˉ(x)逼近f(x,y(x))，滿足：

重復(fù)上一節(jié)的推導(dǎo)過程，可得：

于是可以得到定理2.

定理2 一階常微分方程具有五階Adams隱式格式：

且有局部截?cái)嗾`差：

3 五階Adams預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)

顯示格式(6)和隱式格式(10)都具有五階格式，這兩種格式可匹配成下列Adams預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng).

4 結(jié)語

顯示格式又稱外插公式，隱式格式又稱內(nèi)插公式，兩種格式各有各的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于顯示格式，從計(jì)算角度看，隱式格式比顯示格式計(jì)算量要大，但是隱式格式相比顯示格式有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：第一，對(duì)于局部截?cái)嗾`差，隱式格式要比顯示格式小得多，這從本文中（7）式和（11）式可以看出；第二，隱式格式的系數(shù)絕對(duì)值之和也要比顯示格式小得多.但是由于計(jì)算中所產(chǎn)生的誤差，一般不直接利用隱式公式，而是把顯示和隱式結(jié)合起來使用，這正是本文的五階Adams預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)，這種預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)是五步法，用它計(jì)算時(shí)，不僅要用到前一步的信息，更是用到更前四步的信息，實(shí)際計(jì)算中，須借助某種但部分為它提供開始值，五階Tayloy格式等，該預(yù)測(cè)校正系統(tǒng)能得到和隱式格式相同的誤差估計(jì).

［1］袁慰平，孫志忠，吳宏偉.計(jì)算方法與實(shí)習(xí)［M］.南京：東南大學(xué)出版社，2005.

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［3］Timothy Sauer.Numerical Analysis［M］.北京：人民郵電出版社，2010.

［4］李慶揚(yáng)，王能超， 易大義.數(shù)值分析［M］.4 版.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

［5］顏慶津.高等學(xué)校研究生教材:數(shù)值分析［M］.4版.北京航空航天大學(xué)出版社，2012.

［6］歐陽潔，聶玉峰，車剛明，等.數(shù)值分析［M］.高等教育出版社，2009.

［7］李岳生，黃友謙.數(shù)值逼近［M］.北京：人民教育出版社，1978.

［8］Szidarovszky,Yakowitz S.數(shù)值分析的原理及過程［M］.施明光，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1982.