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(瑞安中學(xué) 浙江瑞安 325200)

理解學(xué)生是促使教學(xué)有效的關(guān)鍵
——觀摩溫州市課堂教學(xué)評比有感

●戴海林

(瑞安中學(xué) 浙江瑞安 325200)

浙江省教研室于2013年10月開展了以“深化課改背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式變革——知識拓展類課程教學(xué)研究”為主題的課堂教學(xué)評比活動，目的是更好地適應(yīng)當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)發(fā)展的需要，鼓勵青年教師樹立先進的數(shù)學(xué)教育理念，及時交流高中數(shù)學(xué)課程改革經(jīng)驗，探討高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性.浙江省溫州市承擔(dān)的教學(xué)課題是高中數(shù)學(xué)教材中的閱讀與思考：“割圓術(shù)”(必修3)與“平面與空間中的余弦定理”(選修2-2)，并在浙江省樂清中學(xué)進行了評比活動.筆者很榮幸參與了觀摩與評審，共有12位來自溫州各縣、市、區(qū)的優(yōu)秀教師代表進行了展示，他們以先進的教學(xué)理念、科學(xué)的教學(xué)設(shè)計、精湛的教學(xué)技藝得到了大家的一致好評.在回味與分析他們的教學(xué)過程時筆者發(fā)現(xiàn)，要使課堂教學(xué)真正有效，教師必須了解學(xué)生的知識掌握程度、學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)方式，做到真正理解學(xué)生.下面以“平面與空間中的余弦定理”的教學(xué)過程為例探討教學(xué)中理解學(xué)生的重要性(為便于表述，將6位開課教師依次記為A,B,C,D,E,F).

1 以學(xué)生認知為基礎(chǔ)設(shè)計問題情境

本節(jié)課內(nèi)容安排在選修2-2第2章中的合情推理與演繹推理后的閱讀與思考中，編者的意圖是借助這一載體來引導(dǎo)學(xué)生用類比方法解決問題，體驗類比的過程，培養(yǎng)并提高學(xué)生類比的意識與能力.盡管教師們都是借班上課，但是作為教師應(yīng)該明確學(xué)生的“已有認知”：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“推理與證明”，了解類比推理的含義和推理的作用，以及合情推理的結(jié)論未必正確，需要通過嚴謹?shù)淖C明.

有3位教師是以生活中的故事引入，概括類比推理的定義，其中教師E選用數(shù)學(xué)故事“公雞蛋”來引入，筆者認為該故事情節(jié)過于復(fù)雜，所用的時間至少有5分鐘，且其中所體現(xiàn)的“類比”比較牽強，處理過程完全忽視了學(xué)生的已有認知，類似于上新課，對學(xué)生的學(xué)習(xí)很難有積極的影響.其余3位教師則以三角形為背景開門見山提出問題，其中教師A,D從一般三角形入手，教師C從直角三角形出發(fā)，具體處理如下：

問題類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中直角四面體性質(zhì)的猜想.

圖1

該結(jié)論在選修2-2第74頁的例題3中已證明，在此不再重復(fù).

師：如果讓你給該結(jié)論取個“名字”，你認為什么較為恰當(dāng)？

生：直角四面體勾股定理.

師：非常貼切.這2個勾股定理都是有前提條件的，三角形里要求有2條邊垂直，四面體里要求有3個面兩兩互相垂直(如圖1)，它們分別反映了3條邊長的平方關(guān)系和4個面的面積平方的關(guān)系.

筆者認為教師C的處理很好地利用了學(xué)生的已有認知，能從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計問題，并能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)2類對象(可建立類比關(guān)系的關(guān)鍵所在)，收到了很好的教學(xué)效果.另外，有幾位教師在類比此結(jié)論時用了不少時間引導(dǎo)學(xué)生如何去猜，并進行了大量篇幅的證明，顯然是在重復(fù)，導(dǎo)致教學(xué)效果不理想.

2 以學(xué)生生成為契機調(diào)整教學(xué)策略

現(xiàn)行模式的課堂教學(xué)評比讓參賽教師有較多的時間去準(zhǔn)備與試講，從而使他們對自己的教學(xué)設(shè)計了如指掌:有的教師甚至能背下準(zhǔn)備在課堂教學(xué)中所說的每一句話，每一個環(huán)節(jié)幾乎都按照預(yù)先設(shè)計的模式進行操作;為了完成教學(xué)設(shè)計中的任務(wù)，有的教師在教學(xué)過程中盡可能將學(xué)生的生成壓縮或淡化，讓學(xué)生只有回答教師提問的機會，擠壓了學(xué)生獨立思考的空間，剝奪了學(xué)生實質(zhì)性思考的機會.因此，綜觀6位教師的教學(xué)過程，很少發(fā)現(xiàn)教師能充分利用學(xué)生的生成將數(shù)學(xué)知識自然地呈現(xiàn).

其中教師B在類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理時對學(xué)生的生成b=ccosA進行類比，并得出直角四面體中SD=SAcosαBC(如圖1，設(shè)以四面體中的各棱為棱的二面角大小分別為αAB,αBC,αCD,αDA,αAC,αBD).事實上，四面體A-BCD中只要滿足DA⊥平面ABC，則結(jié)論就成立.該結(jié)論很有意義，只可惜教師B沒有充分利用學(xué)生的生成來深入挖掘更深層的結(jié)論，并及時調(diào)整教學(xué)策略.若此時教師引導(dǎo)學(xué)生得出三角形中的射影定理，并類比到空間四面體中的射影定理，則對于學(xué)生理解數(shù)學(xué)與完善認知結(jié)構(gòu)更為有利，這樣的處理充分考慮了學(xué)生的認知，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的自然，具體如下：

圖2 圖3

對于任意△ABC(如圖2)，若作DA⊥BC，將它分為2個直角三角形，則易得射影定理a=BD+CD=ccosB+bcosC.類似地，在四面體A-BCD中(如圖3)，若作HA⊥平面BCD，聯(lián)結(jié)BH,CH,DH可將它分為3個特殊的四面體(上面已鋪墊)，學(xué)生很自然地可以類比得到

SA=S△HBD+S△HBC+S△HCD=

SCcosαBD+SBcosαCD+SDcosαBC.

而教師E在處理這個問題時先得出空間四面體中的射影定理(幾乎都是教師給出)，再由學(xué)生去類比得出平面三角形中的射影定理，這樣的處理顯然不符合學(xué)生的認知規(guī)律，很難讓學(xué)生有“生成”的空間.

3 以學(xué)生活動為途徑展開思維教學(xué)

眾所周知，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)之一是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的過程中，學(xué)會感知、觀察、歸納、類比、想象、抽象、概括、推理、證明和反思等邏輯思考的基本方法.毋庸置疑，本節(jié)課的核心是如何引導(dǎo)學(xué)生在平面余弦定理的基礎(chǔ)上類比并證明空間四面體中的余弦定理，尤其是在類比與猜想的過程中必須給學(xué)生有充分思考的時間，讓學(xué)生進行合作與探究，并讓大家有展示與交流成果的機會.很遺憾，在教學(xué)過程中，部分教師不能有效地抓住“思維的教學(xué)”的時機，為了“完成教學(xué)任務(wù)”，都是以問答的方式由個別學(xué)生完成空間余弦定理的類比，甚至有個別教師直接就把結(jié)論寫出，再一證了之，沒有利用學(xué)生活動展開思維教學(xué).

在活動這一環(huán)節(jié)中，筆者認為教師A的處理比較合理，她把學(xué)生分成8個小組,并充分進行討論，再由各小組代表將猜出的空間余弦定理投影到屏幕上，便于觀察與比較.學(xué)生們出現(xiàn)的錯誤主要是在面與二面角的對應(yīng)關(guān)系上，具體有以下幾種形式：

(1)

(2)

(3)

(4)

再組織學(xué)生對各小組的猜想結(jié)論進行辨析，分別從元素、結(jié)構(gòu)上進行分析，得出合理的猜想，再利用特例(正四面體)進行驗證，同時結(jié)合“超級畫板”動態(tài)地進行演示，從而引導(dǎo)學(xué)生初步判斷空間余弦定理的正確形式，讓學(xué)生的思維在觀察、歸納、類比、概括、推理的過程中得到發(fā)展.

波利亞曾說過：學(xué)生自己提出了猜想，也就會有追求證明的愿望，因而此時的數(shù)學(xué)教學(xué)最富有吸引力，切莫錯過良機.在證明環(huán)節(jié)，教師們都一致回到用射影定理證明余弦定理的問題上，而且處理方式大多如下：

不同于其他教師的處理手段，教師F是通過引導(dǎo)學(xué)生觀察射影定理與余弦定理的形式特征，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要在3個式子中消去cosB,cosC即可，由式(6)和式(7)分別解出cosC,cosB,代入式(5)即得a2=b2+c2-2bccosA，再讓學(xué)生在體驗中發(fā)現(xiàn)上述整體消元更有利于運算.筆者認為這樣處理教學(xué)應(yīng)該說是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何思考，通過對問題的解決向?qū)W生滲透蘊含于數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想方法，把握住了培養(yǎng)學(xué)生思維的時機，教師F的教學(xué)方法值得借鑒.“思維教學(xué)”的基本方法是以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，為學(xué)生的概括活動搭建平臺，給學(xué)生提供概括的機會，使學(xué)生學(xué)會概括.

首先，在課程體系方面，構(gòu)建以高校專業(yè)課程為主，創(chuàng)業(yè)課程和就業(yè)課程為輔的豐富課程資源群，將創(chuàng)業(yè)培訓(xùn)納入大學(xué)生選修課課程體系并計入學(xué)分。面向全體在校學(xué)生，開設(shè)《創(chuàng)業(yè)教育指導(dǎo)》課，召開專題講座給大學(xué)生講述國家鼓勵大學(xué)生創(chuàng)業(yè)的相關(guān)法規(guī)、政策和資金扶持申請程序，轉(zhuǎn)變大學(xué)生的傳統(tǒng)就業(yè)觀念，培養(yǎng)創(chuàng)業(yè)意識；針對具有較強創(chuàng)業(yè)興趣和想法的學(xué)生，學(xué)校提供免費的專門培訓(xùn)，如開設(shè)《創(chuàng)業(yè)實訓(xùn)指導(dǎo)》和SYB課程，使學(xué)生創(chuàng)業(yè)技能與實踐獲得提升。

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過類比來證明空間中的余弦定理：在四面體A-BCD中(如圖3)，上面已得出

同理可得

用相同的方法，由式(9)～式(11)分別解出cosαCD,cosαBD,cosαBC,代入式(8)即可(運算稍繁瑣).若用整體思想來消元則會簡潔些，具體如下：

4 以學(xué)生興趣為導(dǎo)向促使個性發(fā)展

波利亞還說過:好問題如同蘑菇，它們都是成堆地生長的，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.在課堂中不難覺察到，學(xué)生們對用類比的方法來發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的課堂很感興趣，大多數(shù)教師也不失時機地在最后階段對學(xué)生們作了引導(dǎo)，激勵他們在課后能深入地思考與探究，并布置了一些任務(wù)，如：

教師A：類比平面三角形中的余弦定理，試給出三棱柱中的余弦定理.

教師E：任意三角形的3條中線交于一點，稱為三角形的重心，重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍，類似地，在四面體中有什么結(jié)論？

教師F：類比平面三角形中的正弦定理，猜想并證明四面體中的正弦定理.

這樣的設(shè)計對學(xué)有余力的學(xué)生發(fā)展個性品質(zhì)十分有意義，有興趣的學(xué)生可以去探究更多的問題，如果條件允許可以組織學(xué)生進行匯報與交流，從而取得更好的效果.

而教師D在應(yīng)用空間余弦定理解決一個問題后還設(shè)計了如下練習(xí)：

圖4

(1)證明：DC1⊥BC.

(2)求二面角A1-BD-C1的大小.

(2012年全國新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考試題)

筆者認為如此教學(xué)是把學(xué)生掌握空間余弦定理的內(nèi)容作為教學(xué)重點，以學(xué)生能否運用空間余弦定理來解決問題作為教學(xué)評價的重要標(biāo)準(zhǔn)，這看似有利于提高學(xué)生的應(yīng)試成績，突出教學(xué)主題，但對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、發(fā)展學(xué)生的個性特長極為不利.

5 以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心轉(zhuǎn)變教學(xué)方式

《浙江省深化普通高中課程改革方案》中指出，教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，積極開展輕負高質(zhì)的有效教學(xué)探索，全面提升課堂教學(xué)質(zhì)量.在整個觀摩過程中，筆者發(fā)現(xiàn)大家采用的都是以教師為主導(dǎo)的傳統(tǒng)教學(xué)方式，從而使學(xué)生們只能跟隨教師預(yù)設(shè)的軌跡與框架去學(xué)習(xí)，很難真正做到自主學(xué)習(xí)與探究.

是否可以在教學(xué)方式上進行大膽的嘗試，引導(dǎo)學(xué)生進行研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生先閱讀教材，獨立思考預(yù)先設(shè)計的有關(guān)問題，再參與小組討論，真正做到教材所要求的“閱讀與思考”，具體問題設(shè)計如下：

問題1教材里將平面三角形類比到空間四面體，猜想“空間四面體的余弦定理”，你認為這樣的類比有合理性嗎?請說明理由.

問題2嘗試概括出“空間四面體余弦定理”的證明思路，并談?wù)勂渲刑N含的思想方法.

問題3平面余弦定理還有其他證明方法嗎？能否用類似的方法證明“空間四面體的余弦定理”？

問題4若將平面三角形類比到其他空間幾何體中，你是否能猜想得到其他形式的“余弦定理”？

問題5探討了“平面與空間中的余弦定理”后，你是否也可以將三角形中的其他結(jié)論類比到空間幾何體中？

試想，在課堂教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生對研討成果進行展示與交流，借助所設(shè)計的“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生從“載體、元素、結(jié)構(gòu)”上進行比較、分析平面三角形與空間幾何體性質(zhì)的相似性，進行類比推理，并不斷創(chuàng)建新命題、拓展新結(jié)論，挖掘問題中蘊含的背景與思想方法，從而培養(yǎng)學(xué)生“主動探索、敢于實踐、勇于發(fā)現(xiàn)、交流合作”的精神，讓學(xué)生的思維在觀察、歸納、類比、概括、推理的過程中得到發(fā)展，充分體會類比的過程，這也符合選修課教學(xué)的指導(dǎo)思想，能充分體現(xiàn)浙江省深化課改的精神，從而收到良好的教學(xué)效果.

因此，在教學(xué)中務(wù)必要更新觀念，轉(zhuǎn)變育人模式，力爭關(guān)注學(xué)生的認知基礎(chǔ)、個性特長，應(yīng)創(chuàng)設(shè)充足的時空組織學(xué)生進行自主活動與合作交流，只有做到更好地理解學(xué)生，才能促使教學(xué)更有效.

[1] 章建躍.理解數(shù)學(xué) 理解學(xué)生 理解教學(xué)[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2010(10):3-7.

[2] 章建躍.數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)再思考[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2012(1):1-5.