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(深圳市南山區(qū)蛇口中學 廣東深圳 518076)

解答與“完全平方數(shù)”有關(guān)的競賽試題的一般方法

●王遠征

(深圳市南山區(qū)蛇口中學 廣東深圳 518076)

在數(shù)學競賽試卷中，頻繁出現(xiàn)這樣的一類問題：求自然數(shù)n，使得關(guān)于n的一個二次多項式n2+an+b的值是完全平方數(shù)(其中a,b為常數(shù))．在此，筆者給出解答這類問題的一般方法，即設(shè)參數(shù)、配方，對多項式進行因式分解，同時將常數(shù)分解成整數(shù)乘積的形式，然后構(gòu)造方程組，進而求出滿足題設(shè)條件的自然數(shù)和所設(shè)參數(shù)的值．舉例介紹如下：

例1已知n是自然數(shù)，且n2-17n+73是完全平方數(shù)，那么n的值是______或______．

(第13屆希望杯數(shù)學競賽初二年級一試試題)

分析依題意設(shè)n2-17n+73=m2(m是自然數(shù)),配方得

(2n-17)2+3=4m2，

移項，因式分解，把常數(shù)-3也分解成2個整數(shù)乘積的形式，得

(2n-17-2m) (2n-17+2m)=

-3=-1×3=-3×1.

因為m,n都是自然數(shù)，所以2n-17+2m和2n-17-2m都是整數(shù)，且2n-17+2m>2n-17-2m,于是

或

解得

故n的值是8或9．

注該方法通俗易懂，有普遍的實用性，且解題過程簡潔明了，易于掌握和應(yīng)用．

(2013年新知杯上海市數(shù)學競賽試題第6題)

分析視“m”為常數(shù)，由原方程整理成關(guān)于n的一元二次方程，得

(4-3m)n2+4mn-4=0,

此方程有整數(shù)解的必要條件是Δ=16m2-48m+64是完全平方數(shù)．因為

16m2-48m+64=22[(2m-3)2+7]

是完全平方數(shù)，所以可設(shè)k2=(2m-3)2+7，則

(k-2m+3)(k+2m-3)= 7=1×7=

-1×(-7)．

又因為k-2m+3

或

解得

于是

故整數(shù)解(m,n)=(3,2)．

注通過對分式方程去分母整理成關(guān)于n的一元二次方程，根據(jù)方程有整數(shù)解的必要條件是判別式為完全平方數(shù)，將例2轉(zhuǎn)化為與例1相似的問題來處理．

例3求能使2n+256是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值.

(2011年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

分析依題意設(shè)2n+256=m2，m是正整數(shù)，則

(m-16)(m+16)=2n.

可設(shè)n=x+y，其中x，y都是正整數(shù),且x

由式(2)-式(1),得

2x(2y-x-1)=25×1，

則

2x=25且2y-x-1=1，

解得

x=5,y=6，

故

n=x+y=11.

注此題將2n表示成2x×2y的形式，以便為使用例1提供的解題方法創(chuàng)造條件．

例4已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為60，求它的外接圓面積．

(2012年全國初中數(shù)學競賽二試試題)

分析設(shè)直角三角形的3條邊長依次為a,b,c(a,b,c均為正整數(shù)，且為a≤b≤c)，外接圓的面積為s，則

由式(3)得a+b=60-c,

(6)

由式(4)得c2=(a+b)2-2ab,

(7)

將式(6)代入式(7)，化簡得

ab=1 800-60c.

(8)

由式(6)和式(8)知a,b是關(guān)于x的一元二次方程

x2+(c-60)x+1 800-60c=0

(9)

的2個正整數(shù)根,則方程(9)的判別式的值必為正整數(shù)的平方.

不妨設(shè)(c-60)2-4×1×(1 800-60c)=m2(m為正整數(shù)),由上式恒等變形得

(c+60)2-m2=7 200,

即

(c+60+m)(c+60-m)=25×32×52.

整數(shù)7 200共有因數(shù)

(5+1)(2+1)(2+1)=54個，

因為方程(9)的根為

所以

60-c-m>0，

從而

c+m<60.

又

3c>a+b+c=60且2c

即

20

從而

80

而

0

故在27種不同的寫成2個正整數(shù)乘積的表現(xiàn)形式中，只有以下2種分解方式符合題意：

或

解得

于是

[1] 吳其明，駱華.希望杯數(shù)學能力培訓(xùn)教程(初二)[M].北京：氣象出版社，2008.

[2] 2012年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案[J].中學生數(shù)學，2012(9)：30-35.