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(臺(tái)州市教育局教學(xué)研究室 浙江臺(tái)州 318000)

一道新定義幾何題的“前生、今世、未來(lái)”

●蔣榮清

(臺(tái)州市教育局教學(xué)研究室 浙江臺(tái)州 318000)

碰到一道好的數(shù)學(xué)題，看過(guò)、做過(guò)、反思過(guò)之后，猶如品茶的3種境界——得到、得韻、得味．近幾年在初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試中，新定義的試題屢見不鮮，這些題往往讓人眼前一亮，頗具匠心．2011年臺(tái)州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試中一道新定義的幾何題，給筆者留下了深刻的印象．

圖1 圖2 圖3

(1)如圖2，已知在Rt△ABC中，∠A=30°，求λA,λB.

(2)在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1的4×4方格紙上(如圖3)，畫一個(gè)△ABC，使其頂點(diǎn)在格點(diǎn)(格點(diǎn)即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上，且λA=2，面積為2.

(3)判斷下列3個(gè)命題的真假(真命題打“√”，假命題打“×”)：

①若△ABC中λA<1，則△ABC為銳角三角形；

( )

②若△ABC中λA=1，則△ABC為直角三角形；

( )

③若△ABC中λA>1，則△ABC為鈍角三角形．

( )

(2011年臺(tái)州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題)

1 此題的“前生”

此題的“前生”為2003年安徽省數(shù)學(xué)中考試題的第24題：

圖4

例2如圖4，等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把等腰三角形與正三角形的接近程度稱為“正度”．在研究“正度”時(shí)，應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等．設(shè)等腰三角形的底和腰分別為a,b，底角和頂角分別為α,β，要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)．

學(xué)生甲認(rèn)為：可用|a-b|來(lái)表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形.

學(xué)生乙認(rèn)為：可用式子|α-β|來(lái)表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．

探究(1)他們的方案哪個(gè)較合理，為什么？

(2)對(duì)你認(rèn)為不夠合理的方案，請(qǐng)加以改進(jìn)(給出式子即可).

(3)請(qǐng)?jiān)俳o出一種衡量“正度”的表達(dá)式．

此題構(gòu)思之妙，讓人拍案叫絕！該題給筆者的感受有以下4點(diǎn)：

(1)課改理念到位.新課程改革中一方面要關(guān)注學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生自我學(xué)習(xí)能力的養(yǎng)成；另一方面既要重視結(jié)果性評(píng)價(jià)，也要重視過(guò)程性評(píng)價(jià)．該題很好地體現(xiàn)了課改理念，值得一提的是，本題在如何考查學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題能力、分析問題和解決問題能力”給出了很好的樣板．

第(1)小題要求學(xué)生能從已知中發(fā)掘出“正度”定義的合理性，即相似三角形“正度”的不變性．這對(duì)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題能力進(jìn)行了有效的考查．第(2)小題要求考生對(duì)不合理的方案能加以修正，正是對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題能力的很好考查．第(3)小題直接考查學(xué)生提出問題的能力．

(2)背景熟悉明了.對(duì)于三角形、等腰三角形、正三角形的概念在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程第一、二學(xué)段就有介紹，三角形相似則在第三學(xué)段出現(xiàn)，因此這樣的背景對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是熟悉的．

(3)梯度設(shè)置合理.試題解決過(guò)程的思維呈線性上升，環(huán)環(huán)相扣．要解決第(2)小題,需有解決第(1)小題的能力．而第(3)小題更是一個(gè)綜合的要求，只有透徹理解“正度”的概念，才有可能提出新的“正度”表達(dá)方式．

(4)構(gòu)思可以類比.類比是發(fā)現(xiàn)和提出新問題的重要途徑．命題也是如此，類比是其常用的法寶．該題給命題者留有很大的創(chuàng)造空間．如三角形類比為四邊形、五邊形等．接近度適用的范圍就很廣了，是極限的雛形．等腰三角形與正三角形接近度可類比一般三角形與等腰三角形接近度，正是源于這樣的想法，才構(gòu)造出例1．

2 此題的今世

此題的“十月懷胎”過(guò)程有點(diǎn)曲折，差點(diǎn)“流產(chǎn)”，下面慢慢道來(lái)．

類比例2，設(shè)想命制一個(gè)關(guān)于一般三角形與等腰三角形接近度這樣一個(gè)新定義的題．問題的任務(wù)具有一定的層次性，設(shè)計(jì)若干個(gè)由淺入深的問題，難度在0.5～0.6之間．各小題之間的聯(lián)系緊密，問題的設(shè)置由易到難，環(huán)環(huán)相扣，要求學(xué)生對(duì)這個(gè)新概念有不同的認(rèn)知需求．具體讓學(xué)生經(jīng)歷閱讀理解、計(jì)算、作圖等一系列操作以及綜合判斷的過(guò)程，從而加深新定義的理解和應(yīng)用．希望體現(xiàn)對(duì)過(guò)程與方法、數(shù)學(xué)思考、創(chuàng)新思維、學(xué)習(xí)能力的考查.這也是選拔性考試的需要．

圖5

(具體解答略.)

三稿決定不出現(xiàn)偏度這個(gè)概念，這樣有效地避免了對(duì)定義的望文生義，產(chǎn)生不必要的糾纏．

四稿對(duì)于這個(gè)比值作了一個(gè)特別的補(bǔ)充，這也是數(shù)學(xué)定義中經(jīng)常采用的方法．增加“特別地，當(dāng)點(diǎn)D，E重合時(shí)，規(guī)定λA=0”，主要考慮到當(dāng)點(diǎn)D，E重合時(shí)，DE如何算的問題．

至于后面3個(gè)問題的設(shè)計(jì)，是關(guān)注學(xué)生的層次性，前面問題的解決將為后面的問題提供思路，思維的要求由低到高．其設(shè)計(jì)思路沿襲了2009年臺(tái)州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題第23題的形式．第(1)小題只要能理解這個(gè)定義，直接運(yùn)用定義即可；第(2)小題是定義的逆向運(yùn)用，對(duì)于定義的內(nèi)涵要有更深層次的理解；第(3)小題要求對(duì)前2個(gè)小題進(jìn)行概括和提煉，設(shè)計(jì)成是非題是為了降低難度，提高得分率，當(dāng)然對(duì)于該小題的信度有微小的影響．

第(2)小題的難度也可調(diào)整，如果改變條件讓畫出的結(jié)果不唯一，或者附加另外一些條件都將增加思維的深度和廣度．

第(3)小題若題論題，則不到對(duì)數(shù)學(xué)更高層次的解讀．在第(3)小題中，3個(gè)命題囊括了銳角三角形、直角三角形、鈍角三角，并且就用本題定義的比值來(lái)判定，更妙的是分類的界點(diǎn)是1，因此從形式上給人以數(shù)學(xué)美的享受．

第(3)小題更一般的結(jié)論如下：

①△ABC為銳角三角形?λA,λB,λC的值均屬于區(qū)間(0,1)(特別地，當(dāng)λA,λB,λC均為0時(shí)，△ABC為正三角形)；

②△ABC為直角三角形?λA,λB,λC的值恰有一個(gè)為1，另2個(gè)比值小于1；

③△ABC為鈍角三角形?λA,λB,λC的值恰有一個(gè)大于1，另2個(gè)比值小于1.

3 此題的未來(lái)

多數(shù)學(xué)生進(jìn)入高中后，早已忘卻初中階段的試題．其實(shí)例1與高中教材中的圓錐曲線有相似之處．因?yàn)閳A錐曲線分成橢圓、拋物線、雙曲線，以離心率e與1的大小進(jìn)行分類：橢圓的離心率01．這種相似性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美與統(tǒng)一美．

從上述對(duì)一個(gè)題目編制過(guò)程的反思，對(duì)于新定義型試題的命制，所呈現(xiàn)的素材不能隨意捏造，要符合數(shù)學(xué)內(nèi)部系統(tǒng)的規(guī)范性、科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性.問題設(shè)置也要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，只有充分考慮到以上各種因素，才能使這類試題既有助于推進(jìn)命題技術(shù)的進(jìn)步，又能為實(shí)施素質(zhì)教育和培養(yǎng)創(chuàng)新能力帶來(lái)新的導(dǎo)向.