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(浮山中學 安徽樅陽 246736)

對一道2013年全國初中數(shù)學競賽題的剖析

●章禮抗

(浮山中學 安徽樅陽 246736)

題目如圖1，已知在四邊形ABCD中，AB=DC，E,F分別為AD與BC的中點，聯(lián)結(jié)EF與BA的延長線相交于點N，與CD的延長線相交于點M.求證：∠BNF=∠CMF.

(2013年全國初中數(shù)學聯(lián)賽初二組初賽試題)

圖1 圖2

1 證法剖析及推廣

證法1如圖2，聯(lián)結(jié)AC，取AC的中點K，聯(lián)結(jié)EK，F(xiàn)K.因為AE=ED，AK=KC,所以

同理

從而

故

∠FEK=∠EFK.

由EK∥DC,得

∠CMF=∠FEK,

又因為FK∥AB,所以

∠BNF=∠EFK,

因此

∠BNF=∠CMF.

推論1在四邊形ABCD中，E,F分別是AD,CB的中點，AB,CD的延長線分別與EF的延長線交于點N,M，則

(1)AB>DC?∠ANE<∠CME；

(2)AB∠CME.

證明如圖2，聯(lián)結(jié)AC，取AC的中點K，聯(lián)結(jié)EK，F(xiàn)K.因為

AE=ED,AK=KC,

所以

同理

故

在△EKF中根據(jù)大邊對大角,知

∠FEK>∠EFK.

因為EK∥DC,所以

∠CMF=∠FEK,

又因為FK∥AB,所以

∠BNF=∠EFK,

故

∠ANE=∠BNF<∠CMF，

即推論1的第(1)個等價關系成立.同理可證第(2)個等價關系也成立.

證明聯(lián)結(jié)AC，取AC的中點M，聯(lián)結(jié)MF,ME.因為E,F是四邊形ABCD的一組對邊ABCD的中點，且MF,ME分別是△ADC,△ABC的中位線,所以

在△MEF中，因為EF

圖3 圖4

證明取AD中點G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G.已知E是AC的中點,則EG是△ACD的中位線，因此

同理，由F，G分別是BD和AD的中點得

在△EFG中，

由式(1)，(2)，(3)知

分析2由證法1聯(lián)結(jié)BD，取BD的中點G，則可得到菱形.

證法2如圖5，聯(lián)結(jié)BD，AC.取BD，AC的中點G，H，聯(lián)結(jié)EG，EH，F(xiàn)G，F(xiàn)H.因為E，F(xiàn)分別為AD與BC的中點，所以

EGHFAB，

同理可得

GFEHDC.

又因為AB=DC,所以EGFH是菱形,故

∠BNF=∠GEF=∠FEH=∠FMC.

圖5 圖6

推論4如圖6，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC=BD，M,N分別為AD,BC的中點，MN與AC,BD分別交于點E,F.證明：∠AEM=∠NFB.

證明取AB的中點P，聯(lián)結(jié)MP,NP，則MP，NP分別是△ABD與△BCA的中位線.因為

PM∥BD，PN∥AC，

且

所以

∠NFB=∠DFM=∠PMN,

∠AEM=∠CEN=∠PNM.

因為AC=BD,所以

PM=PN,

從而

∠PMN=∠PNM,

故

∠AEM=∠NFB.

分析3根據(jù)“銳角兩邊對應平行則兩角相等”可創(chuàng)造條件：聯(lián)結(jié)CE并延長至點G，使EG=EC.由E是AD的中點可知△GAE≌△CDE，從而GA∥MC，由EF是△BCG的中位線知GB∥EF.

證法3如圖7，延長CE至點G，使CE=GE，聯(lián)結(jié)GA,GB.由E是AD的中點,知

GA=DC.

因為AB=DC，所以

BA=GA.

又因為EF是△BCG的中位線,所以

GB∥MF,

從而

∠GBA=∠BNF=∠BGA.

由∠BGA與∠FMC的兩邊對應平行,知

∠BGA=∠FMC=∠GBA=∠BNF.

圖7 圖8

分析4由證法3的提示，可聯(lián)結(jié)DF，并延長DF至點G，使FG=DF.同時利用“中位線和銳角兩邊對應平行則兩角相等”，可轉(zhuǎn)化兩角.

證法4如圖8，聯(lián)結(jié)DF，并延長DF至點G，使FG=FD，聯(lián)結(jié)AG，BG.易知△DCF≌△GBF,從而

BG∥DC.

因為EF是△AGD的中線,所以

FE∥AG.

又因為AB=DC，所以

BA=GB,

從而

∠BGA=∠BAG=∠BNF.

由∠BGA與∠FMC的兩邊對應平行,知

∠FMC=∠BGA=∠BAG=∠BNF.

分析5要證的2個角不在同一個三角形中，可先轉(zhuǎn)化到同一個三角形中.過點E分別作EH,EG，使EH∥DC，EG∥AB，且EH=DC，EG=AB，這樣只要證明在△GEH中∠GEF=∠FEH=∠BNF=∠CMF.

證法5如圖9，過點E作EHDC，EGAB，則四邊形ABGE和EHCD是平行四邊形.由AB=DC,E,F分別為AD與BC的中點，知△BGF≌△CHF,從而點G，F(xiàn)，H共線,故在△GEH中，∠GEF=∠FEH=∠BNF=∠CMF.

推論5在四邊形ABCD中，E,F分別是AD,CB的中點，且AD∥BC，則

證明(1)如圖10，過點E作EK∥DC，EG∥AB，且分別交BC于點K，G.因為AD∥BC，所以ABGE和CKED是平行四邊形，從而

BG=AE，KC=ED.

又當∠B+∠C=90°時，

∠EGK+∠EKG=90°，

E,F分別是AD,CB的中點,從而

∠EGK+∠EKG=90°，

即

∠B+∠C=90°,

同理可知推論5的(2)和(3)結(jié)論成立

分析6受證法5的啟發(fā)，可過點D作DG∥AB，且DG=AB.同時利用“中位線和銳角兩邊對應平行則兩角相等”的原理，可轉(zhuǎn)化兩角.

證法6如圖11，過點D作DGAB，聯(lián)結(jié)GC，取GC的中點H，聯(lián)結(jié)DH,FH,則四邊形ABGD是平行四邊形.因為E,F分別是AD,BC的中點，且AB=DC,所以FHBG,從而FHDE，故四邊形EFHD是平行四邊形,因此

∠HDC=∠FMC，∠GDH=∠BNF.

又因為△GDC是等腰三角形,所以

∠GDH=∠HDC=∠BNF=∠CMF.

圖11 圖12

分析7要證的2個角不在同一個三角形中，可先轉(zhuǎn)到一個等腰三角形中，E,F分別是AD,BC的中點，可利用平行線切割線段成比例性質(zhì)進行證明.

證法7如圖12，過點D,C分別作AB的平行線，交MF及其延長線于點G,K.由E是AD的中點，得

△AEN≌△DEG,

由F是BC的中點，得

△BFN≌△CFK.

因為AN=DG，BN=CK,且GD∥CK,所以

從而

即

又因為AN=MD=DG,所以

∠GMD=∠MGD=∠ANG.

圖13

分析8要證的2個角可以轉(zhuǎn)化到同一個等腰梯形中，再利用中位線的性質(zhì)進行證明.

證法8如圖13，過點A,B分別作MF的平行線交CM及其延長線于點G,K,則

∠ANE=∠KBN，∠FMC=∠BKC.

因為E,F分別是AD,BC的中點，所以點M分別是GD,KC的中點.又因為KG=DC,AB=DC,所以四邊形GKBA是等腰梯形,從而

∠KBN=∠BKM=∠BNF=∠CMF.

該題還有很多更好的證明方法，留給讀者思考.