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(侯集高級(jí)中學(xué) 江蘇徐州 221121)

一道2013年高考試題“秒殺”引發(fā)的探究

●李培穎

(侯集高級(jí)中學(xué) 江蘇徐州 221121)

(2013年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第13題)

數(shù)學(xué)高考結(jié)束后，多數(shù)學(xué)生反映“全卷總體難度不大，時(shí)間也夠用，感覺不錯(cuò)”.其中一些學(xué)生還說他們“秒殺”了第13題(倒數(shù)第2個(gè)填空題).一般來說，江蘇省數(shù)學(xué)高考試題中第13,14題更注重考查學(xué)生的思維品質(zhì)以及運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力，復(fù)雜程度和解題難度都較高，第13題能“秒殺”嗎？在高考所有科目考完后，筆者與部分學(xué)生進(jìn)行了交流，他們的做法如下：

圖1 圖2

學(xué)生對(duì)題目的理解是：滿足題意的點(diǎn)A到點(diǎn)P之間的最短距離就是點(diǎn)A到點(diǎn)P0的距離，即AP0.這樣的理解貌似合理，但經(jīng)得起推敲嗎？我們不妨通過建立目標(biāo)函數(shù)求解如下：

(1)

f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2.

①當(dāng)a<2時(shí)，f(t)min=f(2)=2a2-4a+2=8，解得a=-1;

通過嚴(yán)密的推導(dǎo)，不難發(fā)現(xiàn)，用所謂“秒殺”的辦法得出的結(jié)果是錯(cuò)誤的.

現(xiàn)將例1改編為例2，繼續(xù)研究：

圖3

此處求解思路常有以下2種：

思路1(分離變量求最值)

式(2)可變形為

u2-4≥2a(u-2).

①當(dāng)u=2時(shí)，不等式為0≥2a×0，從而a∈R；

②當(dāng)u>2時(shí)，不等式可變形為u+2≥2a，從而a≤2.

綜上所述，a≤2.

思路2(數(shù)形結(jié)合)

式(2)可變形為

u2-2au+4a-4≥0.

令f(u)=u2-2au+4a-4=u2-4-2a(u-2)，則函數(shù)f(u)的圖像恒過定點(diǎn)(2,0)，易得a≤2.即點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是(-∞,2].

圖4

對(duì)于例2，我們還可以給出幾何解釋：

將例1中的條件一般化，可得：

將例2中的條件一般化，可得：