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(東陽中學(xué) 浙江東陽 322100)

不憤不啟不悱不發(fā)——“與拋物線切線有關(guān)的問題”課例及點評

●傅紅玲吳國建

(東陽中學(xué) 浙江東陽 322100)

在“金華市數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)研討會”中，筆者上了一節(jié)題為“與拋物線切線有關(guān)的問題”的教研課，為此歷經(jīng)一個從選題到反思的心路歷程，現(xiàn)將課例呈現(xiàn)給同行，謹(jǐn)請批評指正．

1 選“課題”的“變變變”過程

教研課課題：任選“圓錐曲線的綜合問題”中的一個點.圓錐曲線綜合問題涉及面廣，要選擇一個能體現(xiàn)解析幾何重點和高考熱點，并且通過一節(jié)課能讓這個點有完整體現(xiàn)的課題確實不易.幾經(jīng)周折，最后選定近幾年高考題中出現(xiàn)較多的“以拋物線切線為載體的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題”為基點的課題：與拋物線切線有關(guān)的問題，針對“直線與拋物線的位置關(guān)系”作進(jìn)一步深入探究．

2 選“題目”的“變變變”過程

本課的題目選自近幾年高考題和模擬題，第一輪選題時，筆者準(zhǔn)備了7個原始的高考題，經(jīng)試講發(fā)現(xiàn)：讀題、求解析式花費時間太多，導(dǎo)致整堂課容量小，思想不能體現(xiàn)．因此第2輪選題時精簡題目，砍掉了與課題無關(guān)的小題，課題突出了，但整體感覺就一節(jié)課圍繞知識點做了幾個例題，只是熟悉了知識點，而沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想.最后確定題目形式:以一個高考題為母題，其余以變題的形式呈現(xiàn)，用統(tǒng)一的拋物線形式，真正地把“讀題、求解析式”的時間讓路給“探究、思考”，讓學(xué)生的思維訓(xùn)練時間得到進(jìn)一步保證.通過問題變式形式，環(huán)環(huán)相扣，層層深入，貫徹“把課堂交還給學(xué)生，讓學(xué)生的思維火花閃耀”的教學(xué)理念．

3 課堂過程簡錄——變式教學(xué)

整個課堂設(shè)計：采用探究式教學(xué)法，借助多媒體輔助，通過“問題導(dǎo)入—導(dǎo)疑—導(dǎo)研——導(dǎo)練—導(dǎo)評”5個環(huán)節(jié)，完成以下教學(xué)目標(biāo)：(1)掌握以拋物線的切線為載體的直線和圓錐曲線綜合問題；(2)培養(yǎng)利用、挖掘、整合信息的能力；(3)通過問題變式得到一些漂亮的結(jié)論，激發(fā)學(xué)生探索的欲望，提升學(xué)習(xí)和研究的興趣．

3.1 問題導(dǎo)入,激活思維

師:今天非常高興能有這個機(jī)會，和同學(xué)們共同探究“與拋物線切線有關(guān)的問題”．先來復(fù)習(xí)：如何求拋物線的切線方程？

例1已知拋物線C:x2=4y，求在點Q(x0,y0)處的切線方程.

生:利用導(dǎo)數(shù)先求切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程．

(出示幻燈片.)

師:還有其他方法求斜率嗎？

生:待定系數(shù)法設(shè)出方程，再用Δ=0求切線的斜率．

點評從試講到上課情況看，特別是文科生大多選擇利用導(dǎo)數(shù)求斜率．

3.2 問題導(dǎo)疑,激發(fā)興趣

例2已知拋物線C:x2=4y，過拋物線外一點Q(x0,y0)作2條切線QA,QB,設(shè)切點為A,B.

師:設(shè)切點為A(x1,y1)，B(x2,y2),能否用類比的思想，寫出切線QA,QB的切線方程？

師:非常好！如圖1，現(xiàn)在聯(lián)結(jié)切點A,B,能用點Q表示弦AB嗎?請大家嘗試著完成．

圖1

問題1求過切點的弦AB所在的直線方程.

思考2分鐘后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能很清晰地整理解題思路,繼續(xù)點撥.

師：聯(lián)系點Q與弦AB的橋梁是切線方程，點Q與切線方程有什么關(guān)系？能否利用切線方程求出弦所在的方程？請繼續(xù)嘗試．

生:點Q代入切線方程得

即

從而

即

點評此處，點A既在弦AB上，又在切線上，同時還在拋物線上.當(dāng)資源較多的時候，一定要學(xué)會信息的篩選和整合．

筆者把圖中切線方程中的點A(x1,y1),B(x2,y2)改變顏色，突出這2個點坐標(biāo)的作用.

師：觀察2個切線方程，結(jié)構(gòu)上有何共同之處？

點評這一步環(huán)節(jié)學(xué)生求解困難比較大，需要點撥啟發(fā)，甚至是啟而不發(fā)，教師要耐心給學(xué)生充分的思考時間，要啟發(fā)到位.最后要點出2個方程的不同之處，強(qiáng)調(diào)形似神不似．

3.3 問題導(dǎo)研,層層推進(jìn)

圖2

師:若點Q為準(zhǔn)線上任意一點，弦AB會有什么特殊性質(zhì)呢？會恒過焦點F嗎？

大膽猜想，嘗試著證明．

問題2已知點Q在準(zhǔn)線l:y=-1上，證明：弦AB過焦點F.

師:若弦AB過焦點F，2條切線的交點Q會在什么位置呢？

請同學(xué)們大膽的猜想,并完成下列問題．

問題3已知弦AB過焦點F，求2條切線的交點Q的軌跡方程．

點評弦AB過拋物線的焦點?2條切線的交點在拋物線的準(zhǔn)線上．

師:對于這種特殊位置對應(yīng)的拋物線的2條切線有什么特殊的性質(zhì)呢？請同學(xué)們大膽猜想，先從圖像上觀察，猜想2條切線可能的位置關(guān)系.

生:垂直．

師:進(jìn)一步通過特殊點來驗證.

生:垂直．

師:針對一個開放的數(shù)學(xué)問題,先通過猜想,再驗證,最后一定要用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理來證明.將本結(jié)論推廣到一般情況．

采用指數(shù)平滑法的二次指數(shù)平滑法對當(dāng)日已知負(fù)荷進(jìn)行超短期負(fù)荷預(yù)測，結(jié)果記為y2。二次指數(shù)平滑法是用線性關(guān)系去擬合數(shù)據(jù)變化趨勢，相比于一次指數(shù)平滑法精度有所提高，相對于三次及高次指數(shù)平滑法運算量小、計算簡單。

問題4若弦AB過焦點F,判斷2條切線是否垂直？并給出證明.

(本題條件較多，可以從多個角度、多種方法來思考，教師要給學(xué)生充分的思考空間.)

師:哪位同學(xué)來整理下解題思路？

師生合作:設(shè)切點為A(x1,y1)，B(x2,y2),則

x2-4kx-4=0,

從而

x1x2=-4,

于是

因此QA⊥QB(完整板書).

師:還有其他方法嗎？

生:弦AB是過焦點的弦，因此借助于拋物線的定義，用平面幾何和解析幾何結(jié)合完成(用幻燈片直接投影)．

師生合作:前面幾種方法都從弦AB出發(fā)，把點Q看成2條切線的交點，即終結(jié)點.換種角度來思考:把2條切線的交點作為起始點,再觀察切線QA與QB，它們是對稱的，可否從設(shè)切線方程入手？

解由Q(x0,-1),可設(shè)切線QA：y+1=k(x-x0),代入得

x2-4kx+4kx0+4=0,

利用

Δ=16k2-4×4(x0k+1)=0,

得

k2-x0k-1=0,

從而

k1·k2=-1．

點評引導(dǎo)本題時，體現(xiàn)的思想方法是：先借助于圖像進(jìn)行粗略判斷，再進(jìn)一步借助于特殊點進(jìn)行驗證，最后用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行嚴(yán)密證明，從而得到結(jié)論.這種思想方法，特別是對開放題會有明顯的效果.本題的條件多樣，如何更有效整合利用這些信息，就顯得更加重要．

3.4 問題導(dǎo)練,及時反饋

圖3

(學(xué)生板演.)

解法1

于是

點評解法1利用了點Q的坐標(biāo)，解法2利用了弦AB的直線方程，2位學(xué)生都充分利用本堂課得到的結(jié)論，很順利地完成了解題.讓學(xué)生動起來,從中享受結(jié)論帶來的方便.

3.5 問題導(dǎo)評,整合提高

師：通過大家的共同努力，這堂課得到了幾個漂亮的結(jié)論:

(1)在點Q(x0,y0)處的切線方程為

(2)弦AB過拋物線的焦點?2條切線的交點在拋物線的準(zhǔn)線上?2條切線互相垂直.

師：這些結(jié)論是在給定一個具體的拋物線時得到的,請同學(xué)們課后進(jìn)一步去探究：對于一般情況，這些結(jié)論是否依然成立？與拋物線有關(guān)的切線還有很多漂亮的結(jié)論，希望同學(xué)們能運用已有的信息，整合新的資料，大膽地猜想并利用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推論得到新的結(jié)論．

4 課后點評

本堂課是圓錐曲線綜合課，首先題目選得合適，“與拋物線切線有關(guān)的問題”的口子雖然小,但是非常值得研究；其次是上得好課，采用問題導(dǎo)學(xué)的探究式教學(xué)，真正地把課堂還給學(xué)生，且問題設(shè)計得非常好，逐步提升思維深度，一環(huán)扣一環(huán)，層層深入，結(jié)構(gòu)清晰，節(jié)奏明快，并在問題4中達(dá)到一個高潮，4種解法反應(yīng)出學(xué)生的高水平,能從不同角度思考問題，也能很好地利用得到的結(jié)論，從講解到提問到板演,整個課堂掌控良好．課堂氛圍較好，教師有親和力，很有耐心.一是給出充分的時間讓學(xué)生探究;二是學(xué)生回答不出時耐心地引導(dǎo)和等待，充分肯定學(xué)生;三是走到學(xué)生中去，密切關(guān)注學(xué)生的答題情況，真正體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的思想．

5 課后反思

本堂課集合數(shù)學(xué)組的整體力量，基本達(dá)成初定目標(biāo)，但依然留有很多遺憾：

(1)知識層面：在探究問題3時，筆者備課時還準(zhǔn)備了交軌法，用交點的思想求點Q的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理完成，在本節(jié)課中未能用上．

若能引導(dǎo)學(xué)生想到下列解法：把點Q點看成2條切線的起始點，或把點Q看成2條切線的交點，即終止點，則可以從不同角度思考問題，充分挖掘信息，開闊學(xué)生思考問題的角度，進(jìn)一步提升整合信息和挖掘信息的能力．

(2)教學(xué)引導(dǎo)層面：在問題4探究第4種方法的過程中，整個過程基本上是筆者在主導(dǎo)，其實可以更相信學(xué)生，更大尺度地放手讓學(xué)生探究．

[1] 李鋒,于海龍,童嘉森.拋物線的切線及其性質(zhì)初探[J].高中數(shù)理化，2011(21)：9-10.

[2] 林國夫.拋物線中精彩的一點一線[J].中學(xué)數(shù)學(xué):高中版,2010(9):50-51.