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(德清縣第三中學 浙江德清 313201)

一類高考壓軸題的新解

●楊新榮

(德清縣第三中學 浙江德清 313201)

綜觀近幾年來全國各省、市的數(shù)學高考壓軸題，多數(shù)試題是關(guān)于含參不等式恒成立求參變量的范圍.這類問題的常用解法是通過分離參變量轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)求函數(shù)的最值.這樣的解題思路自然，但往往運算繁雜，有時要結(jié)合分類討論才能解決，有時還需多次求導后才能求得最值.這使許多運算能力和應(yīng)變能力較差的學生望而生畏，難以求得正解.筆者經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)這類問題的一種新的解題方法.其解題本質(zhì)是通過先分析命題成立的充分條件而后探求問題成立的必要條件，巧得所求參變量的取值范圍.

1 溫故探新，尋求解題途徑

(2010年湖北省數(shù)學高考理科試題)

解法1分類討論.

g(1)=0，

g(x)

g(x)>g(1)=0,

解法2分離參變量.

上述2種解法一般學生都較難完成，下面筆者給出本題的第3種解法：

解法3利用充要條件.

而上式在x=1時，2邊仍相等，故只需證

2(a-1)≥-x，

解得

2 提煉新知，歸納解題方法

上述3種解題途徑，其本質(zhì)都是利用導數(shù)研究函數(shù)問題，特別是解法3，充分利用了導數(shù)的幾何意義求解，使解題自然而又明快.為了進一步認清解法3的本質(zhì)，筆者根據(jù)導數(shù)的幾何意義給出函數(shù)的2個性質(zhì).

性質(zhì)1若函數(shù)f(x)與g(x)滿足f(x0)=g(x0),則f(x)>g(x)在x∈(x0,+∞)上恒成立的充分條件是f′(x)>g′(x).

有了上述2個性質(zhì)，我們對含參不等式恒成立求參變量范圍的問題，可通過先求充分條件再求必要條件，而巧得參變量的取值范圍.

例2若不等式ex-e-x≥ax在x≥0時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

(2007年全國數(shù)學高考試題)

解(充分條件)當x=0時，不等式2邊相等.由性質(zhì)1知，欲證ex-e-x≥ax在x≥0時恒成立，只需證ex+e-x≥a恒成立.由此得充分條件為a≤2.

因此，a≤2是原不等式在[0,+∞)上恒成立的充要條件.

例3設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2，當x≥0時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

(2010年全國數(shù)學高考新課標卷試題)

解(充分條件)由f(x)≥0得

ex-1-x≥ax2，

3 應(yīng)用舉例，提升解題能力

例4已知f(x)=x2+2x+alnx，f(2x-1)≥2f(x)-3在[1,+∞)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分析令g(x)=f(2x-1)-2f(x)+3,由f(2x-1)≥2f(x)-3在[1,+∞)上恒成立，得

g(x)=2(x2-2x+1)-a[lnx2-ln(2x-1)]≥0

在[1,+∞)上恒成立.此時采用變量分離根本沒法解決問題,若用性質(zhì)1和性質(zhì)2，則可得如下解法：

解(充分條件)令g(x)=f(2x-1)-2f(x)+3,由g(x)≥0得

2(x2-2x+1)≥a[lnx2-ln(2x-1)]，

當x=1時，不等式2邊相等.由性質(zhì)1知，只需

恒成立，即2x(2x-1)≥a恒成立，從而a≤2.由此得充分條件為a≤2.

即

a≤2.

因此，a≤2是原不等式在[1,+∞)上恒成立的充要條件，即實數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

例5已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a>0.

(1)求a的值；

(2)若對任意的x∈[0,+∞)，有f(x)≤kx2成立，求實數(shù)k的最小值；

(2012年天津市數(shù)學高考模擬試題)

解第(1)小題：a=1.第(3)小題(略).

(2)(充分條件)由f(x)≤kx2得

x-ln(x+1)≤kx2，

用以上方法還可以解決很多類似的高考把關(guān)題，例如：

(2006年全國數(shù)學高考理科試題)

(2008年全國數(shù)學高考理科試題)

在中學數(shù)學解題教學中，教師若能引導學生從數(shù)學的基本概念和知識出發(fā)，分析探索數(shù)學問題的解題新途徑，這不但能教給學生知識,而且在這種探索過程中培養(yǎng)了學生的數(shù)學能力，這才是數(shù)學教育之根本.如含參不等式恒成立求參變量范圍的問題，常用的解法為變量分離法、分類討論法等等，但本文通過利用導數(shù)的幾何意義，比較2個函數(shù)的遞增或遞減的速度和適時應(yīng)用洛必達法則求其不等式恒成立的充要條件——解題思路清晰，解法簡明，既培養(yǎng)了學生的解題能力又傳授了新的知識，真可謂事半功倍．

[1] 張國治．一類導數(shù)高考壓軸題的通解[J]．數(shù)學教學，2012(11)：42-44.