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(臺州中學(xué) 浙江臨海 317000)

淺談高考中的構(gòu)造函數(shù)法

●翟美鎖

(臺州中學(xué) 浙江臨海 317000)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)思想滲透到高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)知識板塊，是歷年高考的必考內(nèi)容.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)解決一些數(shù)學(xué)問題，不僅為解題提供了一個(gè)有效的方法，而且能加深學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識.筆者結(jié)合近幾年的數(shù)學(xué)高考題以及模擬題，探討構(gòu)造函數(shù)的方法和技巧.

1 細(xì)心審題，留意鋪墊——等價(jià)轉(zhuǎn)化法

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2008年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

即

m>-eln2.

2 選定主元，巧妙構(gòu)造——主元法

在許多數(shù)學(xué)問題中，都含有常量、參量、變量等多個(gè)量.通常情況下,有一些元素處于突出和主導(dǎo)地位,可視之為主元.為了解決問題,也可人為突出某個(gè)量的地位作用，先將其當(dāng)作主元,從而進(jìn)一步把握解決該問題的主元.

(1)求b,c的值及f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)設(shè)p>0,q>0,g(x)=f(x)+x2,求證：

(2013年浙江省六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)

又因?yàn)镚(p)=0,所以G(x)≤0,即

點(diǎn)評一方面，遇到含多元問題時(shí)，主元策略往往帶給我們啟發(fā)，化多元問題為一元問題，體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想；同時(shí),主元策略還表現(xiàn)于主元選擇的變通性，選擇不同的主元，對于結(jié)構(gòu)不對稱的式子能形成不同的解題途徑.

3 結(jié)構(gòu)整齊，多變量問題——減元法

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析由于第(2)小題中的不等式結(jié)構(gòu)對稱整齊，可作如下變形：

設(shè)x1>x2,f(x1)-f(x2)>x2-x1,即f(x1)+x1>f(x2)+x2,若構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+x,即等價(jià)于證明函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性.

解(1)略.

(2)考察函數(shù)

g(x)=f(x)+x=

由于10，即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)00，即

f(x1)-f(x2)+x1-x2>0，

于是

當(dāng)0

點(diǎn)評本題利用不等式的對稱性，把含2個(gè)變量的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)(1個(gè)變量)的單調(diào)性，后面的證明較容易.

4 聯(lián)想遷移——放縮法

例4設(shè)a>0,b>0,e為自然對數(shù)的底數(shù)，

( )

A.若ea+2a=eb+3b,則a>b

B.若ea+2a=eb+3b,則a

C.若ea-2a=eb-3b,則a>b

D.若ea-2a=eb-3b,則a

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析ea+2a=eb+3b,等式結(jié)構(gòu)不對稱，因此無法與函數(shù)的構(gòu)造聯(lián)系起來，但是該等式可以利用適當(dāng)?shù)姆趴s來實(shí)現(xiàn)對稱從而達(dá)到構(gòu)造的目的.

考察選項(xiàng)A,B，因?yàn)閑a+2a=eb+3b>eb+2b,所以

ea+2a>eb+2b.

記f(x)=ex+2x,由于f(x)在R上單調(diào)遞增，因此a>b,正確答案為A.

點(diǎn)評局部對稱的條件可以通過適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)(比如放縮法)轉(zhuǎn)化為條件對稱.

構(gòu)造函數(shù)法通過研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中函數(shù)、化歸的思想，其中也滲透著猜想、探究等重要的數(shù)學(xué)思想.通過研究近幾年的高考題發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造函數(shù)的題目幾乎都在壓軸題上，可見難度很大，因此要熟練地掌握函數(shù)的性質(zhì)，靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，才能合理地構(gòu)造出函數(shù).

[1] 寧桂華.構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問題的研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012(21):10-11.

[2] 武增明.構(gòu)造函數(shù)證明函數(shù)背景下的不等式的策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012(15):7-8.