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(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

理解概念熟練應(yīng)用靈活構(gòu)造
——談自主招生考試中的導(dǎo)數(shù)備考

●虞金龍

(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

導(dǎo)數(shù)是中學(xué)教材中函數(shù)內(nèi)容的一種重要補充，導(dǎo)數(shù)的概念和求導(dǎo)公式有許多獨特的表現(xiàn)形式，因此也是自主招生中對基礎(chǔ)知識和基本技能考查的重要內(nèi)容之一，在自主招生備考時，應(yīng)理解概念、熟練應(yīng)用、靈活構(gòu)造.

1 理解概念

主要包括理解導(dǎo)數(shù)的定義，熟記求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，并能運用上述公式與法則進(jìn)行求導(dǎo)計算.

(2000年上海交通大學(xué)自主招生試題)

解由導(dǎo)數(shù)定義知

(2008年華約自主招生試題)

解由已知得

…

累加得

即

評注本題主要考查導(dǎo)數(shù)定義式中極限的概念.

例3已知f(x)滿足：f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)，又f′(0)=1，求函數(shù)f(x)的解析式.

(2000年上海交通大學(xué)自主招生試題)

解取x=y=0，則f(0)=0.令x=y≠0，則

從而

(1)

由f′(0)=1知，對a∈R，有

在式(1)中，令n→+∞，則

即

且當(dāng)x=0時，f(0)=0.

例4過點(-1,1)的直線l與曲線y=x3-x2-2x+1相切，且(-1，1)不是切點，則直線l的斜率是

( )

A．2 B．1 C．-1 D．-2

(2011年華約自主招生試題)

解設(shè)曲線的切線(即直線l)的切點為P(x0,y0),則由導(dǎo)線的幾何意義得，直線l的斜率為

從而直線l的方程為

因為直線l過點(-1，1)，所以

又因為點P(x0,y0)在曲線上，所以

式(2)+式(3),得

即

亦即

因此x0=1,k=-1.故選C.

2 熟練應(yīng)用

主要包括利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值，特別是能用導(dǎo)數(shù)的方法解決關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的綜合性問題.

例5現(xiàn)有如下2個命題：

命題p：函數(shù)f(x)=x3+ax2+ax-a既有極大值，又有極小值；

命題q：直線3x+4y-2=0與曲線x2-2ax+y2+a2-1=0有公共點.

若命題p或q為真，且命題p且q為假，試求a的取值范圍.

(2009年浙江大學(xué)自主招生試題)

解命題p：由f(x)=x3+ax2+ax-a，知f′(x)=3x2+2ax+a.f(x)既有極大值，又有極小值，即f′(x)有2個不同的零點，即Δ=(2a)2-12a>0,解得a>3或a<0.因此，當(dāng)a>3或a<0時，命題p為真.

評注命題p：函數(shù)f(x)=x3+ax2+ax-a既有極大值，又有極小值的等價條件是f′(x)=0有2個不同的零點，從而去求出命題p為真時a的取值范圍.

圖1

例6設(shè)f(x)=eax(a>0)，過點P(a,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=f(x)的交點為Q，曲線C過點Q的切線交x軸于點R，則△PQR的面積的最小值為

( )

(2010年華約自主招生試題)

評注求函數(shù)導(dǎo)數(shù)時要運算準(zhǔn)確，本題是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，表示出三角形面積函數(shù)之后，再次求導(dǎo)，求出函數(shù)的最小值，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體、熟悉的問題，數(shù)形結(jié)合，相得益彰.

(1)若f′(x)+7a=0有2個相等實根,求f′(x)的解析式；

(2)f(x)在R上單調(diào)遞減,求a的范圍.

(2009年華約自主招生試題)

f′(x)=ax2+2bx+c，

即

f′(x)+9x=ax2+2bx+c+9x.

2b=-3a-9,c=2a.

因為f′(x)+7a=ax2-(3a+9)x+9a=0,f′(x)+7a=0有2個相等的實根，所以

Δ=(3a+9)2-36a2=0，

整理得

a2-2a-3=0，

解得

a=-1或a=3(舍去)，

從而

2b=-6，c=-2，

即

f′(x)=-x2-6x-2.

(2)由第(1)小題，知f′(x)=ax2+2bx+c=ax2-(3a+9)x+2a，要使f(x)在R上單調(diào)遞減，只需滿足ax2-(3a+9)x+2a≤0在R上恒成立即可，故

解得a的范圍為

評注本題考查三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、極值點及單調(diào)性的應(yīng)用，是高考和自主招生相接軌的基本問題之一.

例8設(shè)a為正數(shù)，f(x)=x3-2ax2+a2，若f(x)在區(qū)間(0,a)上大于0，則a的取值范圍是

( )

A．(0,1] B．(0,1) C．(1,+∞) D．[1,+∞)

(2011年復(fù)旦大學(xué)自主招生試題)

評注本題主要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)f(x) 的單調(diào)性和最值情況，解題的關(guān)鍵點在于借助導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)f(x)在(0,a)上為減函數(shù)，再解一個三次不等式即可.

例9已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.

(1)當(dāng)b=1時，若函數(shù)f(x)在(0,1]上為增函數(shù)，求實數(shù)a的最小值.

(2010年中南財經(jīng)政法大學(xué)自主招生試題)

解(1)當(dāng)b=1時，f′(x)=3x2+2ax+1在x∈(0,1]上恒有f′(x)≥0,從而

即

亦即

因此

x1=-2x0或x1=x0(舍去).

評注本題主要考查學(xué)生是否能用導(dǎo)數(shù)的方法解決一些函數(shù)性質(zhì)的綜合性問題.

3 靈活構(gòu)造

在自主招生考試中，還需要學(xué)生掌握一種重要的解題方法——構(gòu)造函數(shù)解決問題.該方法往往難度大,涉及面廣,靈活性強(qiáng)，需要不斷嘗試與探索.

(2010年南開大學(xué)自主招生試題)

于是

f″(x)=-sinx+x.

評注此例是最常見的構(gòu)造函數(shù)的問題，求導(dǎo)以后，很自然地得到所要構(gòu)造的函數(shù).

(2003年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自主招生試題)

令g(x)=xlnx-(x-1)，則

g′(x)=lnx+1-1=lnx，

g(x)=xlnx-(x-1)>g(1)=0，

從而

由此可得f(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增.

評注此例的關(guān)鍵是將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，然后構(gòu)造函數(shù)來證明，有一定的難度.

(2009年華約自主招生試題)

證明構(gòu)造函數(shù)y=f(x)=x2n，n∈N*，因為y′=2nx2n-1，y″=2n(2n-1)x2n-2≥0,所以f(x)是(-∞,+∞)上的凹函數(shù),于是

即

此例可推廣為更一般的結(jié)論：

證明因為f(x)=xk(x∈(0,+∞),k≥1)，當(dāng)k=1時，f″(x)=0，當(dāng)k>1時，f″(x)=k(k-1)xk-2≥0,即f(x)=xk(x∈(0,+∞),k≥1)是凹函數(shù).由琴生不等式

得

評注該題推廣后，難度和靈活度更大了，達(dá)到了數(shù)學(xué)競賽試題的難度.

從歷年的自主招生試題來看，對導(dǎo)數(shù)的考查頻率較高，而且考查難度較大.備考時要以不變應(yīng)萬變，以理解概念為本，熟練運用導(dǎo)數(shù)的知識掌握常規(guī)的問題，特別要多在利用函數(shù)構(gòu)造法方面下功夫，才能取得更好的成績.