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(溫州市第二中學(xué) 浙江溫州 325007)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)拓展課一則

●黃可旺

(溫州市第二中學(xué) 浙江溫州 325007)

筆者有幸參加了一次關(guān)于“知識(shí)拓展課開(kāi)發(fā)”的市級(jí)研討會(huì)，并觀摩了一節(jié)公開(kāi)課——勾股數(shù)引出的思考，可謂震撼心靈，感觸頗深.

1 課堂簡(jiǎn)錄

教師操作：播放一段極具震撼力的視頻，展示在人類(lèi)文明的發(fā)展進(jìn)程中，人們通過(guò)無(wú)數(shù)次對(duì)土地、建筑、器物的測(cè)量和天文觀測(cè)，對(duì)直角三角形3條邊之間的長(zhǎng)度關(guān)系積累了豐富的認(rèn)識(shí)，逐漸形成了“千古第一定理”——勾股定理．人類(lèi)開(kāi)始不斷探索由勾股定理延伸出來(lái)的問(wèn)題，譬如“勾股數(shù)”.

(視頻立體視覺(jué)沖突，極大調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性.)

教師：凡可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形3條邊的一組正整數(shù)，稱(chēng)之為勾股數(shù)．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾研究過(guò)下列勾股數(shù)組(見(jiàn)表1)：

表1 x,y,z的取值

觀察表1,回答以下問(wèn)題：

(1)每一組數(shù)中x,y,z有哪些關(guān)系？

(2)若x為n(n≥3,n為奇數(shù)).由上面發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，猜想y和z分別是什么？并判斷這3個(gè)數(shù)是不是勾股數(shù)．

經(jīng)驗(yàn)證x,y,z構(gòu)成一組勾股數(shù).

表2 x,y,z的取值

觀察表2，回答以下問(wèn)題.

(1)這一組數(shù)中x,y,z有哪些關(guān)系？

(2)若x為n(n≥4,n為偶數(shù))．由上面發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，猜想y和z分別是什么？并判斷這3個(gè)數(shù)是不是勾股數(shù)．

經(jīng)驗(yàn)證x,y,z是一組勾股數(shù).

生3：我覺(jué)得沒(méi)有其他勾股數(shù)了.

教師:你能詳細(xì)說(shuō)說(shuō)你的猜想嗎？

生4：奇數(shù)與偶數(shù)并在一起就是所有整數(shù)的情況了，而1或2不可能與其他整數(shù)構(gòu)成勾股數(shù).

教師：生3的觀點(diǎn)，其他同學(xué)贊同嗎？

一石激起千層浪……

生5：我有反例:9，12，15是勾股數(shù)，但不屬于上述2種情形.

生6：我也有反例：20，21，29.

……

教師：確實(shí)如此，除了以上概括的2類(lèi)勾股數(shù)外還有很多勾股數(shù).歷史上，在這之后，研究勾股數(shù)還有“幾何學(xué)之父”之稱(chēng)的歐幾里德，代數(shù)學(xué)鼻祖丟番圖等都曾尋找過(guò)概括勾股數(shù)的一般公式，有興趣的同學(xué)可以自己查閱資料進(jìn)一步了解.

教師：除了尋找概括勾股數(shù)公式外，人們還嘗試從不同的角度繼續(xù)研究勾股問(wèn)題，有的人從維度的角度出發(fā)，研究了如下問(wèn)題：滿(mǎn)足方程x2+y2+t2=w2(x,y,t,w∈N)的解x,y,t,w稱(chēng)為三維勾股數(shù),請(qǐng)你完成下列表格(見(jiàn)表3),使得每一行中的4個(gè)數(shù)為一組3維勾股數(shù)．

表3 x,y,t,w的取值

生7：在y與t之間插入一列表格z，令x2+y2=z2，只需尋找滿(mǎn)足z2+t2=w2的勾股數(shù).運(yùn)用畢達(dá)哥拉斯與柏拉圖的勾股數(shù)公式，表格從左到右、從上到下依次填13，84，85，60，1 860，1 861，48，624，626.最后一行對(duì)n為奇數(shù)、偶數(shù)情況進(jìn)行討論，具體還沒(méi)想好.

教師：你能引入一個(gè)變量將三維勾股數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的二維勾股數(shù)問(wèn)題，并將掌握的知識(shí)應(yīng)用于新問(wèn)題中，已經(jīng)做得非常好，最后一行的問(wèn)題留給大家做為課后的作業(yè)去探究．

(這里教師讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)問(wèn)題，并沒(méi)有繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生解題，點(diǎn)而不破，是拓展課的一大亮點(diǎn).)

教師:如果讓你設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題繼續(xù)研究，你會(huì)怎樣設(shè)計(jì)?

生7：可以去研究四維甚至五維勾股數(shù)問(wèn)題.

生8：我想設(shè)計(jì)一個(gè)算法程序把所有勾股數(shù)羅列出來(lái).

生9：我想是不是可以從次數(shù)上考慮，研究x3+y3=z3的解.

生10：我想研究xn+yn=zn的解.

……

師：大家都非常厲害!事實(shí)上，當(dāng)整數(shù)n>2時(shí)，關(guān)于x,y,z的不定方程xn+yn=zn有無(wú)正整數(shù)解的問(wèn)題就是著名的費(fèi)馬猜想．

(全班一片嘩然,響起了熱烈的掌聲.)

教師：關(guān)于這個(gè)猜想還有個(gè)美麗的故事：據(jù)說(shuō)，費(fèi)馬在閱讀丟番圖《算術(shù)》拉丁文譯本時(shí)，曾在第11卷第8命題旁寫(xiě)道：“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的．關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫(xiě)不下．”費(fèi)馬的這段話，引來(lái)無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家投入到證明猜想當(dāng)中，其中包括歐拉、高斯等偉大的數(shù)學(xué)家，很遺憾他們都未能找到證明方法，直到1994年英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費(fèi)馬猜想是正確的.

教師：時(shí)間過(guò)得很快，請(qǐng)?jiān)试S我用著名華裔數(shù)學(xué)家、哈佛大學(xué)終身教授、菲爾茲獎(jiǎng)得主丘成桐先生在北京師范大學(xué)附屬中學(xué)的演講作為本課的小結(jié)：……“做數(shù)學(xué)”需要質(zhì)疑權(quán)威，開(kāi)辟荒原的精神……

(數(shù)學(xué)家的魅力不僅僅是他在數(shù)學(xué)上的成就，更在于他崇尚科學(xué)、孜孜追求真理的人格品質(zhì).他們做人、做事的態(tài)度與方法是我們學(xué)習(xí)的楷模，他們做學(xué)問(wèn)的方法是今后學(xué)業(yè)道路上的一盞明燈，這是任何其他語(yǔ)言所無(wú)法替代的.這樣的結(jié)尾別出心裁，契合主題.)

2 聽(tīng)課反思

這節(jié)課從始至終給人以啟迪和美的享受，沒(méi)有口若懸河的教師個(gè)人解題能力的展示，沒(méi)有變式訓(xùn)練，只有學(xué)生一個(gè)個(gè)令人贊嘆的奇思妙想和如坐春風(fēng)般的美妙感受，以及有關(guān)大數(shù)學(xué)家動(dòng)人的故事.筆者不禁要問(wèn)什么樣的數(shù)學(xué)知識(shí)拓展課才算得上是一節(jié)精彩而值得回味的好課，結(jié)合本課與專(zhuān)家的點(diǎn)評(píng)，筆者認(rèn)為一節(jié)優(yōu)質(zhì)的知識(shí)拓展課應(yīng)具備以下幾個(gè)基本要素：

2.1 趣味性

教育家蘇霍姆林斯基指出:“不動(dòng)情感的腦力勞動(dòng)就會(huì)帶來(lái)疲倦，沒(méi)有歡欣鼓舞的心情，沒(méi)有學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)就會(huì)成為學(xué)生的沉重負(fù)擔(dān)．”從這句話中我們可以知道，積極的思維活動(dòng)應(yīng)建立在濃厚的興趣和豐富的情感上．知識(shí)拓展課作為選修課，沒(méi)有興趣必將被學(xué)生所拋棄.因此，輕松活潑、生動(dòng)有趣的課堂氛圍是拓展課的先決條件，本課將知識(shí)探究與數(shù)學(xué)史交替呈現(xiàn)的方式大大增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生在不經(jīng)意間發(fā)現(xiàn)“我也能像數(shù)學(xué)家那樣發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題”，從而獲得極大的自信心與滿(mǎn)足感，大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情．而一個(gè)好的學(xué)習(xí)情境往往又會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生親切感，使他們心情愉快、心理輕松，能激發(fā)出他們的探究欲望和潛能，拓寬他們的思路，從而奇妙的問(wèn)題、精彩的見(jiàn)解會(huì)源源不斷地涌現(xiàn)．

2.2 知識(shí)性

知識(shí)拓展類(lèi)課程不等于任由學(xué)生天馬行空、不沾邊際做粗淺的表面文章，更要避免學(xué)生熱火朝天但毫無(wú)思維深度的活動(dòng)課．知識(shí)拓展課是教師預(yù)設(shè)研究?jī)?nèi)容，學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí)的過(guò)程．在這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生學(xué)會(huì)像數(shù)學(xué)家那樣運(yùn)用直覺(jué)判斷和類(lèi)比推理來(lái)發(fā)現(xiàn)和猜想問(wèn)題的結(jié)果，尋求解決問(wèn)題的辦法,從中習(xí)得數(shù)學(xué)的方法與知識(shí)．大數(shù)學(xué)家歐拉說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，需要觀察，還需要實(shí)驗(yàn)．”這些需要教師為學(xué)生預(yù)設(shè),開(kāi)發(fā)出他們的數(shù)學(xué)潛能，因此，課程必需具備一定的難度與思維容量．

2.3 人文性

“人文教育”與“科學(xué)教育”一樣重要，科學(xué)探索客觀，人文體察人情，前者重“理”，后者重“情”．通過(guò)科學(xué)，人類(lèi)不斷深化對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)，提高改造客觀世界的能力；通過(guò)人文精神，人類(lèi)體會(huì)為人之意義與態(tài)度，實(shí)踐做人之道．正如錢(qián)學(xué)森所說(shuō)：科學(xué)與人文是一枚硬幣的2個(gè)面，缺一不可．在探尋勾股數(shù)一般性公式及解答由勾股定理延伸出來(lái)的問(wèn)題的過(guò)程中，無(wú)數(shù)大數(shù)學(xué)家表現(xiàn)了堅(jiān)強(qiáng)的意志、崇高的品質(zhì)與追求真理的精神境界，值得我們尊重和學(xué)習(xí)，這其中起到的榜樣的力量是無(wú)窮的．

2.4 啟發(fā)性

美國(guó)當(dāng)代教育家布魯納有句名言:“一個(gè)壞的教師奉送真理，一個(gè)好的教師則教人發(fā)現(xiàn)真理.”拓展型課程本身的特征決定了我們?cè)诮虒W(xué)中更應(yīng)該重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，而非知識(shí)的傳送．關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題能力的培養(yǎng)，雖然學(xué)生的問(wèn)題有時(shí)有些“幼稚”與“不著邊際”，科學(xué)往往就在這一閃念中誕生，我們要再大膽一點(diǎn)，更放得開(kāi)一些，把問(wèn)題留給學(xué)生，不要在意過(guò)程與細(xì)枝末節(jié)，更不必過(guò)分看重課堂知識(shí)掌握程度，給學(xué)生多一些“留白”，多一些想像的空間，變“不憤不啟，不悱不發(fā)”為“不得不憤，不得不悱”.