劉 震, 沈自飛

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

一類(lèi)帶有Hardy項(xiàng)和Sobolev-Hardy臨界指數(shù)橢圓方程的非平凡解*

劉 震, 沈自飛

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

研究了一類(lèi)帶有Hardy項(xiàng)和Sobolev-Hardy臨界指數(shù)的橢圓方程

通過(guò)運(yùn)用變分方法和精確估計(jì)得到了非平凡解u∈D1,2(Ω)的存在性.其中:Ω?RN(N≥3)是一個(gè)有界光滑區(qū)域,0∈Ω,λ>0,μ∈R,0≤s<2.

Hardy不等式;Sobolev-Hardy臨界指數(shù);變分方法;非平凡解

0 引 言

近年來(lái),許多學(xué)者考慮了方程

本文考慮以下方程:

式(4)中:Ω?RN(N≥3)是包含原點(diǎn)的有界光滑區(qū)域;λ為正參數(shù);0≤s<2;μ∈R.因?yàn)楫?dāng)Ω是一個(gè)星型區(qū)域時(shí),由Pohozaev等式可知,若q=2*,則方程(4)無(wú)非平凡解,故這里只考慮2

其中D1,2(Ω)={u∈L2*(Ω):|▽u|∈L2(Ω)},通過(guò)定義最佳Sobolev-Hardy常數(shù)

并找到了方程

的徑向?qū)ΨQ基態(tài)解

滿足

式(7)中

類(lèi)似于Aμ,s的定義,在空間D1,2(Ω)上定義常數(shù)

以下是本文的主要結(jié)果:

(h0)h(x)∈C(Ω)∩L∞(Ω);

1 引 理

首先,給出關(guān)于Hardy不等式和Sobolev-Hardy不等式的2個(gè)引理,它們將在定理的證明中起到很好的作用.

為了用變分方法解決問(wèn)題(4),在D1,2(Ω)上定義方程(4)的能量泛函為

由引理1和引理2知，I(u)有定義且I∈C1(D1,2(Ω),R).一般地,稱u∈D1,2(Ω)是問(wèn)題(4)的一個(gè)弱解，如果對(duì)任意的φ∈D1,2(Ω),有

因此，方程(4)的弱解就是能量泛函I在D1,2(Ω)上的臨界點(diǎn).

接下來(lái)通過(guò)山路引理證明I滿足局部Palais-Smale條件(簡(jiǎn)記(PS)c),從而得到I在D1,2(Ω)中的臨界點(diǎn),即方程(4)的弱解.

引理3假設(shè)條件(h0),(h1)成立,且0≤s<2,20,則I在D1,2(Ω)上滿足山路引理幾何條件.

證明 根據(jù)

由引理1可知,

由Sobolev-Hardy不等式可得

‖u‖2*(s).

(14)

因?yàn)?0,使得I(u)≥ρ>0,?u∈?Bρ={u∈D1,2(Ω) | ‖u‖=ρ}.另一方面,對(duì)于?u∈D1,2(Ω)，有

(15)

引理4當(dāng)0≤s<2,λ>0,2

(17)

(18)

由Sobolev-Hardy不等式知,存在C3>0,使得

由Hardy不等式得

從而

接下來(lái)證明I在D1,2(Ω)中滿足局部(PS)c條件.

證明 由引理3和引理4知I存在(PS)序列{un},且{un}在D1,2(Ω)中有界,從而存在一個(gè)收斂子列,不妨仍記為{un},當(dāng)n→∞時(shí),有

令υn=un-u,則由Brezis-Lieb引理[11]及Vitali′s定理有

由式(27)可令

(29)

接下來(lái)考慮函數(shù):

由λ,tε>0可知,

從而得到

t0ε.

(38)

結(jié)合式(30)與式(31)得

進(jìn)一步,根據(jù)條件(h2)有

(40)

引理6證畢.

2 定理1的證明

證明 由引理1～引理6即可證得定理1.

注1為了得到正解的存在性,可以在D1,2(Ω)中考慮

其中,u+:=max{u,0}.從而,I+∈C1(D1,2(Ω),R),且I+的臨界點(diǎn)即為方程(4)的正解.

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(責(zé)任編輯 陶立方)

ExistenceofnontrivialsolutionsforaclassofellipticequationsinvolvingHardytermsandSobolev-Hardycriticalexponents

LIU Zhen, SHEN Zifei

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was discussed a class of elliptic equations involving Hardy terms and Sobolev-Hardy critical exponents

The existence of nontrivial solutions was proved via variational methods and delicate estimates, whereΩ?RN(N≥3) was an bounded domain with smooth boundary and containing the origin 0,λ>0,μ∈R, 0≤s<2.

Hardy inequality; Sobolev-Hardy critical exponents; variational methods; nontrivial solutions

O175.25

A

1001-5051(2013)01-0045-09

2012-09-02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10971194;11101374)

劉 震(1986-),男,浙江龍游人,碩士研究生.研究方向:非線性泛函分析.