金博軼

（山東財(cái)經(jīng)大學(xué) 保險(xiǎn)學(xué)院，濟(jì)南 250014）

0 引言

隨著人民生活水平的提高和醫(yī)療衛(wèi)生條件的不斷改善，我國(guó)人口的預(yù)期壽命呈現(xiàn)出顯著增加的趨勢(shì)。預(yù)期壽命增加使我國(guó)養(yǎng)老金負(fù)債水平不斷攀升，如果不采取一定的補(bǔ)救措施可能導(dǎo)致養(yǎng)老金出現(xiàn)償付能力風(fēng)險(xiǎn)甚至陷入財(cái)務(wù)危機(jī)。這種由于預(yù)期壽命增加給養(yǎng)老金或保險(xiǎn)公司帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)就是所謂長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。

死亡率建模是度量長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)鍵，Lee&Carter(1992)最早構(gòu)建了動(dòng)態(tài)死亡率模型，他們將死亡率分解為年齡效應(yīng)、年齡改進(jìn)效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)。之后，Brouhn et al（2002）在保持Lee-Carter模型對(duì)數(shù)雙線基礎(chǔ)上使用泊松回歸方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，構(gòu)建泊松對(duì)數(shù)雙線模型（P-B模型）。Renshaw&Haberman(2006)在Lee-Carter模型的基礎(chǔ)上提出了隊(duì)列效應(yīng)模型（RH模型），該模型很好的解決了Lee&Carter模型誤差項(xiàng)與出生年的相關(guān)性問(wèn)題。Cairns et al(2007)在RH模型的基礎(chǔ)上考慮到了更多的死亡率因素，從而使模型具有更好的擬合度，然而隨著死亡因素的增加，該模型存在所謂過(guò)度擬合的問(wèn)題。Plat(2009)考慮低年齡人群和高年齡人群在死亡率改進(jìn)時(shí)間效應(yīng)上的進(jìn)行區(qū)分，通過(guò)引入兩個(gè)時(shí)間效應(yīng)因子使模型具有更好的解釋力。Hua Chen et al.(2011)考慮到了時(shí)間效應(yīng)的跳躍及非對(duì)稱(chēng)特征，構(gòu)建了廣義的Lee-Carter模型。國(guó)內(nèi)方面，韓猛和王曉軍對(duì)Lee-Carter模型進(jìn)行了改進(jìn),通過(guò)一個(gè)雙隨機(jī)過(guò)程對(duì)Lee-Carter模型中的時(shí)間項(xiàng)進(jìn)行建模。李志生和劉恒甲（2010）分析了Lee-Carter模型各種擬合方法的擬合優(yōu)度，文章最后利用最優(yōu)擬合模型，并利用Bootstrap方法進(jìn)行了區(qū)間估計(jì)。

然而，上述模型估計(jì)出的年齡改進(jìn)效應(yīng)βx往往具有非規(guī)則變動(dòng)特征，整個(gè)數(shù)據(jù)序列缺乏平滑性。研究表明：如果βx項(xiàng)缺乏光滑性，那么每個(gè)年齡段的年齡改進(jìn)效應(yīng)βx和殘差項(xiàng)εx,t之間存在明顯的反向關(guān)系，這顯然違背了殘差項(xiàng)的獨(dú)立同分布假設(shè)。本文在借鑒P-B模型的基礎(chǔ)上，同時(shí)考慮到對(duì)不規(guī)則的βx項(xiàng)進(jìn)行懲罰，構(gòu)建帶有懲罰的泊松對(duì)數(shù)雙線模型（P-P-B模型），并使用該模型對(duì)人口未來(lái)死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后研究了預(yù)期壽命的變化對(duì)我國(guó)養(yǎng)老金個(gè)人賬戶(hù)的影響。

1 模型的構(gòu)建

Lee&Carter(1992)最早提出了一個(gè)簡(jiǎn)潔的動(dòng)態(tài)死亡率模型，他們的主要思路是將死亡率分解為年齡效應(yīng)、時(shí)間效應(yīng)和年齡改進(jìn)效應(yīng)。該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，mx,t為x歲個(gè)體在日歷年t的一年期中央死亡率，αx為x歲群體在整個(gè)樣本期的平均死亡率（年齡效應(yīng)），κt為死亡率隨時(shí)間的改進(jìn)速度（時(shí)間效應(yīng)），βx代表年齡x對(duì)κt的敏感度（年齡改進(jìn)效應(yīng)），εx,t為誤差項(xiàng)。

Brouhns et al.(2002a)認(rèn)為，由于x歲人群在日歷年t的死亡人數(shù)Dx,t始終為整數(shù)，可以使用泊松過(guò)程對(duì)Dx,t進(jìn)行描述：

在Brouhns et al.泊松對(duì)數(shù)雙線模型中，年齡為x的投保人在日歷年t死亡人數(shù)Dx,t被認(rèn)為服從泊松分布，均值為erx,tmx,t（其中erx,t為日歷年t，年齡為x的被保險(xiǎn)人在年中的風(fēng)險(xiǎn)暴露數(shù)），該模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

為了得到較為平滑的βx項(xiàng)，我們對(duì)上述模型加入一個(gè)懲罰項(xiàng)，從而得到一個(gè)帶有懲罰的對(duì)數(shù)似然函數(shù)：

其中，πβ代表平滑系數(shù)，β′Pββ為對(duì)不規(guī)則βx的進(jìn)行懲罰。帶有懲罰項(xiàng)的泊松對(duì)數(shù)雙線模型可綜合考慮了泊松對(duì)數(shù)雙線模型的擬合優(yōu)度和βx項(xiàng)的光滑程度。

模型的參數(shù)估計(jì)可以通過(guò)下述牛頓迭代方法得到：

用交叉驗(yàn)證方法估計(jì)出一個(gè)最優(yōu)的平滑系數(shù)πβ。

求解最優(yōu)平滑系數(shù)非常費(fèi)時(shí)，一般只能使用網(wǎng)格法進(jìn)行搜索。

2 參數(shù)估計(jì)及預(yù)期壽命的預(yù)測(cè)

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源和處理

本文選擇全國(guó)分年齡性別人口死亡率數(shù)據(jù)，所有原始數(shù)據(jù)都來(lái)源于《中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒》和《中國(guó)人口與就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》(1985～2009)，對(duì)于原始數(shù)據(jù)做如下處理：

（1）進(jìn)行年齡分組。祝偉（2009）和韓猛（2010）采用每五歲的年齡分組方法，然而，這種方法會(huì)使結(jié)果出現(xiàn)一定的偏差，特別是在高年齡段。顯而易見(jiàn)，60歲和65歲個(gè)體的死亡率是不同的，有鑒于此，我們使用每一歲的年齡分組方法。

（2）確定年齡末組。由于大多數(shù)統(tǒng)計(jì)年份的末組都是90歲以上，因此，本文的末組選為90歲以上。1997年數(shù)據(jù)的末組為85歲以上，對(duì)于該年份85歲以上個(gè)體的死亡率，我們采用Human Mortality Data中的數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行拆分。2002年數(shù)據(jù)的末組為100歲以上，我們對(duì)90歲以上的數(shù)據(jù)進(jìn)行合并。

（3）對(duì)零死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。由于統(tǒng)計(jì)抽樣問(wèn)題，有些年份部分年齡段的死亡人數(shù)為零，從而導(dǎo)致其死亡率為零。零死亡率不僅與事實(shí)也不符，而且導(dǎo)致模型無(wú)法求解，因此，我們對(duì)零死亡率進(jìn)行修正，令其等于相鄰年份死亡率的均值。

（4）由于1996年數(shù)據(jù)缺失，我們使用相鄰年份的數(shù)據(jù)做插值處理。

2.2 參數(shù)估計(jì)

我們首先使用奇異值分解技術(shù)對(duì)Lee-Carter模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，然后將其作為初始值帶入P-P-B模型，通過(guò)不斷迭代進(jìn)行求解。首先，需要選擇出最優(yōu)的平滑系數(shù)，本文通過(guò)網(wǎng)格搜索法在0到10^10范圍內(nèi)對(duì)最優(yōu)平滑系數(shù)進(jìn)行搜索，步長(zhǎng)為10，求得男性和女性最優(yōu)平滑系數(shù)分別約為930和1040。然后，通過(guò)不斷迭代對(duì)模型的其他參數(shù)進(jìn)行求解，圖1給出了P-B模型(unsmothed)和P-P-B模型(smothed)的參數(shù)估計(jì)曲線對(duì)比。

分析圖1后可以得到以下三點(diǎn)結(jié)論：首先，從年齡效應(yīng)曲線看，不管是男性還是女性，P-P-B模型與P-B模型得到的年齡效應(yīng)曲線都完全重合，這表明，P-P-B模型對(duì)年齡效應(yīng)不產(chǎn)生任何影響；其次，從年齡改進(jìn)曲線看，P-P-B模型使年齡改進(jìn)曲線更加平滑，這表明該模型確實(shí)能夠有效降低抽樣誤差，增強(qiáng)預(yù)測(cè)的可信性；最后，從時(shí)間效應(yīng)看，P-P-B模型使時(shí)間效應(yīng)發(fā)生改變，但改變趨勢(shì)不明顯。

圖1 兩種模型得到的參數(shù)對(duì)比

2.3 預(yù)測(cè)未來(lái)死亡率和預(yù)期壽命

預(yù)測(cè)未來(lái)死亡率，一般首先對(duì)時(shí)間效應(yīng)kt進(jìn)行時(shí)間序列建模（Renshaw et al.,2006），從而預(yù)測(cè)時(shí)間效應(yīng)的未來(lái)值，然后再利用Lee-Carter模型預(yù)測(cè)未來(lái)的死亡率。這里，我們首先利用ADF檢驗(yàn)，判斷kt序列為非平穩(wěn)序列，對(duì)kt進(jìn)行一次差分，一次差分后的序列為平穩(wěn)序列，即I（1）。將一次差分后得到的平穩(wěn)序列命名為′t，由eviews軟件觀察，′t的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)并沒(méi)有明顯的不同于0，因此，可以確定原序列為ARIMA（0,1,0）過(guò)程，ARIMA（0,1,0）的參數(shù)估計(jì)結(jié)果為：

將上述模型得到的時(shí)間效應(yīng)預(yù)測(cè)值代入Lee-Carter模型就可以得到各個(gè)年齡段被保險(xiǎn)人在未來(lái)年度的死亡率預(yù)測(cè)值，然后通過(guò)精算換算得到預(yù)期壽命的預(yù)測(cè)值。表1和表2分別給出了各年齡段男性和女性在未來(lái)年份死亡率和預(yù)期壽命的預(yù)測(cè)值。由表1和表2可知，男性和女性都呈現(xiàn)死亡率不斷降低，預(yù)期壽命不斷增加的趨勢(shì)。

表1 死亡率預(yù)測(cè)值（單位：0.001）

表2 預(yù)期壽命預(yù)測(cè)值

3 長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)對(duì)養(yǎng)老金個(gè)人賬戶(hù)的影響

我國(guó)實(shí)行社會(huì)統(tǒng)籌與個(gè)人賬戶(hù)相結(jié)合的養(yǎng)老金模式，其中統(tǒng)分賬戶(hù)受人口出生率、死亡率、贍養(yǎng)比例等較多因素的影響，這里暫不討論。本文只研究預(yù)期壽命的變化對(duì)養(yǎng)老金個(gè)人賬戶(hù)產(chǎn)生的影響。首先假設(shè)職工開(kāi)始工作的平均年齡為a歲，開(kāi)始工作時(shí)的平均工資為wa，工資增長(zhǎng)率為g，個(gè)人賬戶(hù)的繳費(fèi)率為c，投資收益率為i，退休年齡為r。職工在第一年工作的繳費(fèi)為Ca=cwa，該金額累積到退休時(shí)刻為Fa=Ca(1+i)r-a，而職工在第t年(a ≤t≤r-1)的繳費(fèi)率為Ct=cwt=cw(1+g)t-a，該金額累積到退休時(shí)刻為Ft=cwa(1+g)t-a(1+i)r-t，則職工在整個(gè)繳費(fèi)期累積到退休時(shí)刻的累計(jì)值為：

要實(shí)現(xiàn)個(gè)人賬戶(hù)的收支平衡，必須要求職工在退休時(shí)刻繳費(fèi)的累計(jì)值與退休后的領(lǐng)取養(yǎng)老金的現(xiàn)值相等。即有(P VC)r=(P VFB)r，也即

根據(jù)《國(guó)務(wù)院關(guān)于完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的決定》（國(guó)發(fā)[2005]38號(hào)）的規(guī)定：“個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金月標(biāo)準(zhǔn)為個(gè)人賬戶(hù)儲(chǔ)存額除以計(jì)發(fā)月數(shù)，計(jì)發(fā)月數(shù)根據(jù)職工退休時(shí)城鎮(zhèn)人口平均預(yù)期壽命、本人退休年齡、利息等因素確定。”以遼寧省為例，《遼寧省完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的實(shí)施意見(jiàn)》（遼政發(fā)[2006]28號(hào)）規(guī)定，60歲退休人員養(yǎng)老金的計(jì)發(fā)月數(shù)為139個(gè)月。假設(shè)y為計(jì)發(fā)月數(shù)，而每年支付的退休金數(shù)額固定為k，則在基金平衡的條件下有：

以女性為例，假設(shè)其55歲退休，由式（15）可知，為了實(shí)現(xiàn)養(yǎng)老金個(gè)人賬戶(hù)基金平衡。養(yǎng)老金的投資收益率應(yīng)該達(dá)到6.7%。然而，由于投資渠道等因素的限制，我國(guó)養(yǎng)老金的投資收益率一直偏低，有數(shù)據(jù)顯示，近幾年來(lái)養(yǎng)老金的名義收益率不到2%。較低的投資收益率使養(yǎng)老金存在一定的缺口，而且隨著未來(lái)預(yù)期壽命的不斷增加，缺口的規(guī)模也會(huì)不斷擴(kuò)大。因此，積極地進(jìn)行資產(chǎn)負(fù)債管理，提高投資收益率是我國(guó)養(yǎng)老金的當(dāng)務(wù)之急。如果基金投資收益率無(wú)法提高到收支平衡的水平，也可以通過(guò)推遲退休年齡的方式實(shí)現(xiàn)基金的收支平衡。假設(shè)投資收益率保持在2%的水平上，根據(jù)式（15），只需將退休年齡提高到大約62歲就可實(shí)現(xiàn)收支平衡?？梢?jiàn)，在基金平衡條件下，投資收益率與退休年齡存在一定的替代關(guān)系（見(jiàn)圖2）。

圖2 投資收益率與退休年齡的關(guān)系

圖3 投資收益率與替代率的關(guān)系

圖4 退休年齡與替代率的關(guān)系

下面討論在基金平衡條件下，投資收益率和退休年齡對(duì)替代率的影響，首先對(duì)相關(guān)的參數(shù)進(jìn)行校正，根據(jù)《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》，我國(guó)城鎮(zhèn)職工的平均工資在1992年為2711元，2008年29229元，16年間職工工資的增長(zhǎng)率為16%（g=16%），個(gè)人賬戶(hù)繳費(fèi)比例為個(gè)人工資的8%（c=8%），假設(shè)工人參加工作的平均年齡為20歲（a=20）。通過(guò)式（14）可以求出不同投資收益率與退休年齡組合的替代率水平。圖3、圖4給出了基金平衡條件下替代率與投資收益率和退休年齡的關(guān)系，從圖3、圖4可以得到以下兩點(diǎn)結(jié)論：首先，替代率與投資收益率正相關(guān)，當(dāng)投資收益率為2%時(shí)，退休替代率僅為5.8%，當(dāng)投資收益率為6.7%時(shí)，退休替代率提到8.9%；其次，替代率與退休年齡反相關(guān)，當(dāng)退休年齡為55歲時(shí)，替代率為8.9%，當(dāng)退休年齡增加到為62.5歲時(shí)，替代率降低到5.4%。可見(jiàn)，雖然推遲退休年齡也能夠?qū)崿F(xiàn)個(gè)人賬戶(hù)的平衡，但也降低了退休替代率，因此，提高養(yǎng)老金的投資收益率是實(shí)現(xiàn)個(gè)人賬戶(hù)收支平衡，達(dá)到目標(biāo)替代率的最有效的途徑。

4 結(jié)論

本文首先對(duì)我國(guó)人口的死亡率狀況構(gòu)建了帶有懲罰的泊松對(duì)數(shù)雙線模型，然后使用該模型對(duì)未來(lái)死亡率和預(yù)期壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后對(duì)養(yǎng)老金個(gè)人賬戶(hù)面臨的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了分析。本文得到以下結(jié)論：

首先，由參數(shù)估計(jì)的結(jié)果可知，帶有懲罰的泊松對(duì)數(shù)雙線模型（P-P-B模型）的年齡改進(jìn)效應(yīng)βx具有更加光滑的特征，與傳統(tǒng)P-B模型相比，由該模型得到的殘差項(xiàng)滿(mǎn)足獨(dú)立同分布假設(shè)，因此該模型能夠更好的擬合我國(guó)人口的死亡率變化。

其次，通過(guò)模型預(yù)測(cè)發(fā)現(xiàn)，我國(guó)各年齡段人口的死亡率會(huì)不斷下降，人口未來(lái)的預(yù)期壽命呈逐年上升的趨勢(shì)，而現(xiàn)有生命表對(duì)未來(lái)人口死亡率改進(jìn)估計(jì)不足。這導(dǎo)致養(yǎng)老金機(jī)構(gòu)面臨非常顯著的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。

最后，在現(xiàn)有支付機(jī)制下，壽命的增加會(huì)使養(yǎng)老金個(gè)人賬戶(hù)產(chǎn)生虧空，而且隨著時(shí)間的推移，虧空的程度會(huì)不斷增加。通過(guò)提高養(yǎng)老金的投資收益率或延遲退休年齡可以使個(gè)人賬戶(hù)實(shí)現(xiàn)收支平衡。

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