范宇超，李 強，魏永庚，畢永利

（黑龍江大學 機電工程學院，哈爾濱 150080）

0 引言

3自由度并聯(lián)機構在加工生產線上大量使用，并聯(lián)機構與串聯(lián)機構相比有著獨特的優(yōu)越性，如它具有機械結構簡單、精確度高、響應速度快、適應能力強等特點。近些年，由于并聯(lián)機構［1］的實用性非常強，正被國內外許多企業(yè)重視。而且并聯(lián)機構運動學又是描述各關節(jié)與結構之間的運動關系，是設計過程中的基本環(huán)節(jié)。本文將以3UPU 型并聯(lián)機構為例，對其進行運動學分析［2］和仿真。

1 并聯(lián)機構的位置分析

這里研究3UPU 的并聯(lián)機構是由動平臺、靜平臺和3 條腿組成的。U 代表胡克鉸（universal pair），P 代表移動副（prismatic pair）。其運動形式是通過每條腿上的兩個胡克鉸和一個可伸縮的連桿（由兩個連桿和一個移動副組成）協(xié)調配合的，使得動平臺在規(guī)定的空間平動。而其中位置運動的正解和逆解又是運動學研究的核心內容。

1.1 運動學逆解

已知動平臺的空間位置［3－4］和姿態(tài)，求解靜平臺的3個控制電機的旋轉角度，也就是3個驅動臂相對于定平臺的張角或連桿的長度這叫做位置逆解。通過解析法求出3UPU 并聯(lián)機構位置逆解的解析解。

1.1.1 位置矢量方程的建立

如圖1所示建立笛卡爾坐標系?；鶞首鴺讼禐镺－XYZ，O點為ΔA1A2A3的外接圓圓心，X軸與OA同方向，Z軸垂直于XOY面，方向向上。用右手螺旋定則判斷縱坐標指向。運動坐標系以P點為原點并且在XOY的投影與點O重合，并且與Z軸方向一致，P為ΔB1B2B3的外接圓的圓心，X′軸與PB1同方向。動平臺和靜平臺的相似比為t，Δr為動靜平臺的半徑之差。

圖1 3UPU 并聯(lián)機構坐標系Fig.1 3UPU parallel mechanism coordinate system

由于動平臺和靜平臺相似，所以有：

分別用n1，n2，n3表示單位向量；OA1、OA2、OA3表示靜平臺的3 個方向向量；PB1、PB2、PB3表示動平臺的3個方向向量，則每個支鏈的向量圖見圖2。

由圖2可得：

圖2 分支向量圖Fig.2 Vector diagram of branch

1.1.2 位置反解分析

位置反解定義：位置反解就是已知機構的執(zhí)行器末端的位置和姿態(tài)，求解輸入裝置的位置和姿態(tài)的過程。

由式（2）可得：

將式（3）進行表量化可得：

將單位向量帶入式（3），可得到各個桿件長度的計算式：

如果已知x、y、P的值，由式（3）、式（4）、式（5）直接求出每個連桿的長度，即可求出3UPU 并聯(lián)機構位置逆解的解析解。所以，動平臺中心坐標點P（x，y，z）的求解至關重要，如果它確定了，那么每個連桿的長度也就唯一確定了。

以半徑為100mm 高為200mm 的運動空間為研究對象，且動平臺的高度為800～1 200mm，利用Matlab［5］編寫程序即可得出在這個范圍內的所有桿長的實際值。

1.2 運動學正解

已知3個驅動臂相對于定平臺的張角或連桿的長度，求動平臺的空間位置和姿態(tài)叫做位置正解。由于已確定工作空間的運動范圍，所以不用再求解運動學正解。

2 運動學仿真研究

Adams是由Mechanical Dynamics Inc.公司開發(fā)的是集仿真建模、求解、可視化技術于一體的虛擬樣機軟件。使用這套軟件可以產生機構繁瑣的機械模型的建模仿真，真實地復現(xiàn)其運動過程，通過分析與計算可快速地提出方案的制定，縮短研制周期和節(jié)省經費。

2.1 模型的建立

由于Adams軟件中內部Solver模塊具有強大的功能，能通過其進行非常方便的位置求解。但是Adams［6－8］的建模功能在精度上稍差一些，尤其是越復雜的機構，其精度也就越差。本文中采用其他軟件來進行彌補，最終實現(xiàn)無誤差輸入和仿真，達到最優(yōu)控制。首先通過ProE 建立機構模型，再將其以Parasolid 文件格式導入到Adams／View 中，準確完成模型輸入，為下一步工作奠定基礎。實體建模、準確模型分別見圖3、圖4。

圖3 實體建模Fig.3 Solid modeling

模型導入后，在View 中對構件與構件之間添加運動約束關系。在Tools工具Model Verify中最后一頁查看自由度是否為3，如果不是，說明運動副添加錯誤；反之，模型建立正確，進行下一步分析。

2.2 仿真分析

圖4 準確模型Fig.4 Accurate model

通過位置逆解可知，只要知道動平臺中心位置P點的運動軌跡［9－10］，通過式（5）即可得出每個連桿的長度。但是在工作空間給定的前提下，如果通過手工計算，則計算量非常大，而且不準確，這樣直接導致后續(xù)工作實物加工及控制不準確。這時可以考慮利用Adams軟件進行非?？焖俣啽愕那蠼?。具體步驟如下：①對機構定義材料：若選用鋼材，這樣系統(tǒng)就會自動在每個構件上出現(xiàn)質心坐標；②分別對動靜平臺的質心坐標進行參數化設計，這樣有利于后續(xù)的測量和捕捉；③對動平臺的中心位置P加上一般點運動，由于已知工作空間為直徑200mm 高200mm 的圓柱體，工作平臺的加速度為2m／s2。分別對點P的3個方向進行定義一般點的驅動函數：

需要說明的是XOY面，工作平臺做的是半徑是100mm 的圓周運動，而Z軸方向做的是加速度為2m／s2的加速運動，其驅動是通過繪制樣條曲線給出的。

通過Adams后處理模塊得出的點P位置軌跡見圖5，通過點P的X、Y、Z軸的坐標與逆解式（5）聯(lián)立，即可得到3個桿的長度變化曲線，這部分可由Matlab軟件來完成。其作用是通過軟件求解在仿真狀態(tài)下的桿長，與實際范圍內的桿長值進行對比，結果表明與實際計算的桿長相符合。

上下連桿間移動副的速度、加速度變化曲線見圖6，通過其值可以算出電機的輸出扭矩。

圖7表示整個3自由度并聯(lián)機構搭接完成后，通過設置仿真時間為20s和步長500而運行出來的軌跡截圖，其中上面的螺旋線為動平臺中心P點的運動軌跡。

圖7 動平臺整體運行軌跡圖Fig.7 Moving platform overall trajectory diagram

根據以上信息和運動軌跡曲線，可以通過前面得出的實際桿長與仿真結果進行對比，觀察結果是否一致。如果不一致，查找原因并繼續(xù)修改參數。反之，符合標準即達到所期望的軌跡曲線。

3 結語

通過對3UPU 并聯(lián)機構的分析，可由建立笛卡爾坐標系和坐標變換來建立矢量方程，求出符合要求的位置逆解方程組。再利用Matlab進行求解實際桿長，通過Adams仿真建立仿真模型，最終驗證并聯(lián)機構與理論是否一致。此方法縮短了設計周期，提高了工作效率，為該機構的進一步研究打下基礎。

［1］黃秀琴，辛秀梅，沈惠平，等.一種新型3自由度并聯(lián)機構的設計和運動學分析［J］.機械設計，2010，7（27）：4－9.

［2］Arrouk K A，Bouzgarrou B C，Gogu G.CAD based techniques for workspace analysis and representation of the 3CRS parallel manipulator［J］.Robotics in Alpe－Adria－Danube Region（RAAD），2010，23－25：155－160.

［3］李寧寧，趙鐵石.并聯(lián)式四自由度定位平臺性能優(yōu)化［J］.機器人，2008，30（2）：130－137.

［4］曹永剛，張玉茹，馬運忠.6－RSS型并聯(lián)機構的工作空間分析與參數優(yōu)化［J］.機械工程學報，2008，44（1）：20－25.

［5］宋志安，朱緒力，谷青松，等.MATLAB／Simulink與機電控制系統(tǒng)仿真［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2011.

［6］陳 軍.MSC.ADAMS技術與工程分析實例［M］.北京：中國水利水電出版社，2008.

［7］趙武云.ADAMS 基礎與應用實例教程［M］.北京：清華大學出版社，2012.

［8］馮志友，張 燕，楊延力，等.基于牛頓歐拉法的2UPS－2PS并聯(lián)機構逆動力學分析［J］.農業(yè)機械學報，2009，40（4）：193－197.

［9］張 紋，施 琴.3－RUC 并聯(lián)機構的運動分析［J］.機械傳動，2011，35（2）：57－59.

［10］郝秀清，孫 磊，郭宗和，等.一種新型三自由度并聯(lián)機構及其運動學分析［J］.機床與液壓，2008，36（9）：17－19.

［11］Bergmann A，Huebne A，Loeser T.Experimental and numerical research on the aerodynamics of unsteady moving aircraft［J］.Aerospace Sciences，2008，44（2）：121－137.

［12］HAN Dong，WANG Haowen，GAO Zheng.Influences of pitch or roll of ship on transient areoelastic response of rotor blade［J］.Helicopyer Technique，2007，（3）：34－38.

［13］WU Yunjie，LIU Xiaodong，TIAN Dapeng.Research of compound controller for flight simulator with isturbance observer［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2011，（24）：613－621.