史麗萍，魏艷波，魏喜雯，張 波，徐艷春，瞿曉東

（黑龍江大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150080）

0 引言

目前廣泛應(yīng)用的壓電陶瓷有鈦酸鋇（Ba－TiO3）、鈦酸鉛（PbTiO3）、鋯鈦酸鉛（PZT）等。利用其制成的壓電陶瓷微位移執(zhí)行器具有許多其它執(zhí)行器沒有的優(yōu)點(diǎn)，克服了以往機(jī)械式、液壓式、氣動式、電磁式等驅(qū)動器慣性大、響應(yīng)慢、可靠性差等不足，具有位移分辨率高、機(jī)電耦合效率高、響應(yīng)快、功耗小、無噪聲等。從而被廣泛應(yīng)用于精密定位技術(shù)中。但它同時也存在著明顯的不足，在電場的作用下輸出的位移會產(chǎn)生遲滯非線性，這樣極大地降低了它在微納米執(zhí)行技術(shù)中的定位精度［1－3］。

壓電陶瓷在電場的作用下有鐵電效應(yīng)、電致伸縮效應(yīng)、逆壓電效應(yīng)。由于壓電陶瓷的電致伸縮效應(yīng)對位移的影響極其微弱，可以忽略不計(jì)［4］，而其逆壓電效應(yīng)又是線性的，所以壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯非線性是由鐵電效應(yīng)產(chǎn)生的。本文通過分析壓電陶瓷在外電場作用下鐵電效應(yīng)對壓電陶瓷執(zhí)行器的位移產(chǎn)生的影響，以確定壓電陶瓷遲滯產(chǎn)生的原因。并提出一種有效的方法對壓電陶瓷位移進(jìn)行誤差補(bǔ)償，以實(shí)現(xiàn)壓電陶瓷執(zhí)行器與控制信號具有較好的線性對應(yīng)關(guān)系。

1 壓電陶瓷的鐵電效應(yīng)

壓電陶瓷是屬于鐵電材料的壓電體，具有一般鐵電材料所具有的共性：遲滯非線性。鐵電材料在外電場為零時，具有自發(fā)極化的現(xiàn)象，壓電陶瓷中單位晶胞的固有偶極矩沿同一方向整齊排列，使壓電陶瓷晶體處于高度極化狀態(tài)。鐵電材料中的自發(fā)極化總是會分裂成一系列極化方向不同的小區(qū)域，使自發(fā)極化在外部空間建立的電場相互抵消，因而整個單晶體對外不顯電性。這些自發(fā)極化相同的小區(qū)域稱為電疇。自發(fā)極化的電疇會在外電場的作用下重新取向，這種在外電場作用下，使壓電陶瓷晶體自發(fā)極化重新取向的狀態(tài)稱為鐵電效應(yīng)［5］。

壓電陶瓷具有類似鐵磁材料磁疇結(jié)構(gòu)的電疇結(jié)構(gòu)，在沒有預(yù)極化處理前，各個電疇在晶體中雜亂分布，它們的極化效應(yīng)被相互抵消，內(nèi)部極化強(qiáng)度為零，見圖1（a），所以壓電陶瓷使用之前要進(jìn)行人工極化。在強(qiáng)直流極化電場作用下，電疇的極化方向以外電場方向充分排列，見圖1（b）。去掉電場后，經(jīng)預(yù)極化處理后電疇會大致沿一個方向，但并沒有完全轉(zhuǎn)向與電場一致的方向，壓電陶瓷內(nèi)部仍存有很強(qiáng)的剩余極化強(qiáng)度，見圖1（c）［6］。

圖1 壓電陶瓷的極化處理Fig.1 Polarization treatment of the piezoelectric ceramic

2 壓電陶瓷的遲滯成因分析

設(shè)極化后的第i個電疇的軸長為li，極化后自發(fā)極化方向與電場方向的夾角為βi。給壓電陶瓷施加驅(qū)動電壓，便會在壓電陶瓷外部產(chǎn)生電場，這時電場作用下自發(fā)極化方向與電場方向之間的夾角為αi，見圖2。電疇在電場作用下轉(zhuǎn)向的相對位移為［7］：

式中l(wèi)i，βi是常量，αi則隨場強(qiáng)變化。

在αi處對cosαi進(jìn)行泰勒展開為：

圖2 壓電陶瓷在電場作用下的位移Fig.2 Displacement of the piezoelectric ceramic under electric field

可見式（2）是非線性的。當(dāng)準(zhǔn)靜態(tài)電壓逐漸升高時，場強(qiáng)變大，αi變小，αi－βi變大，從而電壓——位移的上升曲線呈現(xiàn)較大的非線性，見圖3（HPV 壓電陶瓷驅(qū)動電源提供驅(qū)動電壓，MPT－2MRL103A 納米級精密定位工作臺輸出位移）。

圖3 壓電陶瓷電壓－位移上升曲線Fig.3 Voltage－displacement rising curve of piezoelectric ceramic

經(jīng)預(yù)極化處理的壓電陶瓷內(nèi)一端出現(xiàn)正束縛電荷，一端出現(xiàn)負(fù)束縛電荷，由于束縛電荷的作用，會在壓電陶瓷內(nèi)產(chǎn)生附加電場E1，見圖4（a）。設(shè)外部準(zhǔn)靜態(tài)電壓每增加10V 產(chǎn)生的場強(qiáng)為ΔE1，因此合成場強(qiáng)為ΔE＝ΔE1＋E1。電疇之所以能在外電場的作用下重新取向，其自身必定存在一個自發(fā)電場，設(shè)第i個電疇的自發(fā)電場為Ei，此時陶瓷內(nèi)部所受電場見圖4（b）。在準(zhǔn)靜態(tài)電壓增加的過程中，只考慮第i個電疇產(chǎn)生的電場與外加電場的作用，合成的場強(qiáng)E1i見圖4（c），電疇因此會朝向E1i方向轉(zhuǎn)動，準(zhǔn)靜態(tài)電壓再增加10V 后，電疇的轉(zhuǎn)向會沿ΔE＝ΔE1＋E1和E1i的合成場強(qiáng)E2i方向轉(zhuǎn)動，見圖4（d），以此類推。因此，壓電陶瓷輸出的位移就如圖3所示的過程，具有較大的非線性。

當(dāng)準(zhǔn)靜態(tài)電壓達(dá)到最大值開始減小時，相當(dāng)于給壓電陶瓷施加一個與極化方向相反的電壓或電場，每減小10V，產(chǎn)生的電場與增加過程的電場大小相等，方向相反，由于這種電荷不像導(dǎo)體中的自由電荷那樣可以自由移動，所以束縛電荷產(chǎn)生的電場保持不變，垂直方向總電場為ΔE′＝ΔE1′－E1，E1起著削弱外電場的作用。因此在圖4（d）的基礎(chǔ)上ΔE′＝ΔE1′－E1和E2i的合場強(qiáng)為E1′i，電疇沿E1′i轉(zhuǎn)向，見圖4（e）。由此可知準(zhǔn)靜態(tài)電壓減小與準(zhǔn)靜態(tài)電壓增大到同一電平時產(chǎn)生的合場強(qiáng)不同，相對于電場增加的過程中，減小過程電場轉(zhuǎn)向要比同一電平時電場增加過程更偏向施加的外電場方向，電疇偏離的要小，因此輸出的位移大于同一電平時電場增加時的輸出位移，從而壓電陶瓷的電壓——位移曲線產(chǎn)生嚴(yán)重的遲滯現(xiàn)象。壓電陶瓷執(zhí)行器的靜態(tài)位移特性曲線見圖5（HPV 壓電陶瓷驅(qū)動電源提供驅(qū)動電壓，MPT－MRL103A 納米級精密定位工作臺輸出位移）。

圖4 壓電陶瓷中電疇所受電場分析Fig.4 Analysis on electric field of domain in piezoelectric ceramic

圖5 壓電陶瓷執(zhí)行器的靜態(tài)位移特性曲線Fig.5 Static displacement characteristic curves of piezoelectric actuator

同時，由于電疇在電場下的極化轉(zhuǎn)向或重新定位通過疇壁的移動和新疇壁的產(chǎn)生及運(yùn)動來完成。疇壁的運(yùn)動和新疇壁的產(chǎn)生必定產(chǎn)生熱量，使壓電陶瓷溫度發(fā)生變化，自發(fā)極化強(qiáng)度隨著溫度的升高而下降，由于離子間距和鍵角發(fā)生變化，這時被自發(fā)極化束縛在表面的自由電荷就有一部分可以恢復(fù)自由釋放出來，使晶體呈現(xiàn)帶電狀態(tài)，產(chǎn)生與原電場相反的電場?？偟碾妶鰷p小，壓電陶瓷的電壓——位移曲線產(chǎn)生遲滯現(xiàn)象，也是引起曲線最終不能回到零點(diǎn)的原因。

3 壓電陶瓷執(zhí)行器遲滯非線性的改善方法

壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯非線性補(bǔ)償控制方法主要可分為：逆補(bǔ)償和閉環(huán)控制。逆補(bǔ)償控制方法是指對遲滯特性建立逆模型對遲滯系統(tǒng)進(jìn)行解耦，以降低設(shè)計(jì)控制器的難度。遲滯模型一般分為兩種：①基于機(jī)理的物理模型，如Maxwell模型，Jiles－Atherton模型，Duherm 模型等；②基于現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，或稱唯象數(shù)學(xué)模型，如Preisach 模型，Prandtl－Ishlinskii模型等。閉環(huán)控制無需建立遲滯非線性逆模型進(jìn)行補(bǔ)償，而是在控制器的執(zhí)行器設(shè)計(jì)過程中直接考慮遲滯非線性對系統(tǒng)性能的影響［8］。

本文采用壓電陶瓷執(zhí)行器平臺 MPTMRL103A，此平臺內(nèi)部安裝電阻應(yīng)變傳感器，采用HPV 壓電陶瓷驅(qū)動電源提供驅(qū)動電壓，測試壓電陶瓷執(zhí)行器的靜態(tài)、動態(tài)輸出位移特性。在分析執(zhí)行器輸出特性的基礎(chǔ)上建立執(zhí)行器制動模型，并利用此模型＋PID 反饋控制來校正壓電陶瓷的遲滯非線性。

3.1 廣義非線性Preisach模型

為了解決壓電陶瓷執(zhí)行器輸出遲滯給控制系統(tǒng)帶來的誤差，采用廣義非線性Preisach 模型建立壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯模型。經(jīng)典Preisach 模型的一般表達(dá)式為［9］：

式中f（t）為函數(shù)在t時刻的遲滯輸出；u（t）為t時刻的輸入電壓；γαβ［u（t）］為基本遲滯算子；μ（α，β）為Preisach函數(shù)，α，β分別為其上升和下降閾值。

壓電陶瓷的遲滯特性很好地滿足了擦除特性，但是在極大值和極小值相同的兩組電壓下所得到閉合回線不相等，不能直接應(yīng)用經(jīng)典Preisach 模型對壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯特性進(jìn)行建模。在經(jīng)典Preisach模型的基礎(chǔ)上，Mayergoyz提出了非線性Preisach模型［10］，針對壓電陶瓷的輸入輸出特性對非線性Preisach 模型進(jìn)行修改，可得到應(yīng)用于描述壓電陶瓷特性的廣義非線性Preisach 模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

在輸入上升過程中，所有具有上升閾值α：α＜u（t）的遲滯算子γαβ（u（t））的輸出值均變?yōu)?。因此，上式可簡化為：

廣義非線性Preisach 模型中需要利用一階和二階回轉(zhuǎn)曲線進(jìn)行辨識，定義F（α′，β′，u（t））為輸入電壓為u（t）時一階回轉(zhuǎn)曲線上的位移和二階回轉(zhuǎn)曲線上的位移之差，即：

對上式兩邊求二次導(dǎo)數(shù)，再經(jīng)過進(jìn)一步推導(dǎo)，可得壓電陶瓷執(zhí)行器遲滯環(huán)的上升曲線和下降曲線的廣義非線性Preisach模型的離散數(shù)學(xué)公式［11］：

利用廣義非線性Preisach 模型離散表達(dá)式對壓電陶瓷遲滯特性進(jìn)行建模，其模型見圖6。模型的理論曲線與圖5 的執(zhí)行器輸出特性曲線基本吻合。

圖6 廣義非線性Preisach遲滯模型仿真曲線Fig.6 Simulation curves of generalized nonlinearity Preisach model

3.2 基于廣義非線性Preisach模型前饋＋PID 反饋控制

基于廣義非線性Preisach模型的前饋控制極大地改善了壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯非線性，減小了實(shí)際輸出與預(yù)期輸出之間的偏差。PID 控制策略具有較好的魯棒性和無需精確建模的特點(diǎn)，在精密定位控制系統(tǒng)中被廣泛采用。為了實(shí)現(xiàn)壓電陶瓷執(zhí)行器既快速又高精度的定位，引入閉環(huán)反饋和基于廣義非線性Preisach 模型的前饋控制環(huán)節(jié)。根據(jù)經(jīng)典控制理論，合適的前饋控制環(huán)節(jié)可提高系統(tǒng)的控制響應(yīng)能力，但不影響系統(tǒng)的最終控制精度。圖7為帶前饋的PID 閉環(huán)控制的結(jié)構(gòu)框圖［12］。

圖7中Uin為要求的輸出位移Xin對應(yīng)的電壓信號；Xout為執(zhí)行器的實(shí)際輸出位移；u1為與要求的輸出位移對應(yīng)的遲滯非線性Preisach 模型的前饋環(huán)得到的控制電壓；u2為PID 算法將Xin與輸出值Xout的差值進(jìn)行比例、積分和微分運(yùn)算后得到的控制電壓。u1和u2相加得到最終的控制電壓u送數(shù)據(jù)采集卡，經(jīng)D／A 轉(zhuǎn)換后產(chǎn)生一個低電壓信號，經(jīng)驅(qū)動電源使壓電驅(qū)動器產(chǎn)生伸縮變形。通過A／D 轉(zhuǎn)換其讀取微位移傳感器的值再與設(shè)定值進(jìn)行比較，進(jìn)行下一次PID 控制，直至滿足指定控制精度要求［13］。

經(jīng)廣義非線性Preisach 模型前饋和PID 反饋控制校正后，壓電陶瓷執(zhí)行器的靜態(tài)位移特性曲線見圖8。

4 結(jié)語

壓電陶瓷遲滯特性是影響壓電陶瓷執(zhí)行器位移輸出精度的主要因素。本文通過分析壓電陶瓷的鐵電效應(yīng)的微觀極化機(jī)理，解釋了壓電陶瓷遲滯非線性產(chǎn)生的原因：①電疇的轉(zhuǎn)向理論；②由束縛電荷產(chǎn)生的電場。并采用廣義非線性Preisach模型前饋＋PID反饋控制，改善壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯特性，提高其控制精度。

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