方鐘波，孫 璐

（中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）

1 引言及主要結(jié)果

本文考慮帶奇異系數(shù)擬線性拋物型不等式柯西問(wèn)題

非負(fù)非平凡整體弱解在某些帶參數(shù)的函數(shù)空間中的非存在性，其中加權(quán)函數(shù)a（x，

上述雙重退化拋物型不等式（1）出現(xiàn)于流體力學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)及生物群體力學(xué)等諸多領(lǐng)域中［1－2］。從流體力學(xué)角度來(lái)說(shuō)，描述多孔體介質(zhì)中非牛頓滲流現(xiàn)象，可描述氣體或液體在多孔體介質(zhì)中的流動(dòng)，其中a（x，t）up為正時(shí)叫“熱源”項(xiàng)，負(fù)時(shí)叫“冷源”項(xiàng)。

Fujita［3］研究半線性拋物型方程ut＝Δu＋up柯西問(wèn)題的整體解的非存在性時(shí)提出了臨界指數(shù)pc＝1＋（稱為Fujita臨界指數(shù)），并受到許多學(xué)者的高度重視。非線性偏微分方程整體解的不存在性是一類非線性Liouville定理，可以用它證明有界域上的解的某些性質(zhì)，還是爆破理論或奇點(diǎn)理論的一種本質(zhì)體現(xiàn)［4］。

近年來(lái)，圓錐區(qū)域及整體空間上帶變系數(shù)或不帶變系數(shù)的橢圓型方程、不等式（組）的Liouville型定理及整體解的非存在性方面有許多結(jié)論，見［5－10］等相關(guān)文獻(xiàn)。比如，文獻(xiàn)［5］中，Gidas and Spruck（在無(wú)窮遠(yuǎn)處沒(méi)有任何條件的情況下）證明了次臨界橢圓型方程解的Liouville定理（不存在非平凡C2解）且用它得到了先驗(yàn)估計(jì)。

最近，拋物型方程或不等式（組）中Liouville定理的研究也引起了許多學(xué)者的興趣。方程（1）中，當(dāng)σ＝0，m＝0且加權(quán)函數(shù)為a（x，t）≥ （｜x｜2＋t）－γ時(shí)魏公明等［11］利用試驗(yàn)函數(shù)法得到了非負(fù)非平凡整體弱解的非存在性結(jié)論。Fang Z B等［12］利用試驗(yàn)函數(shù)法得到了變系數(shù)慢擴(kuò)散不等式柯西問(wèn)題

在圓錐區(qū)域中的非線性Liouville型定理。其它關(guān)于帶加權(quán)函數(shù)的慢擴(kuò)散方程柯西問(wèn)題中解的非存在性結(jié)論方面參考了文獻(xiàn)［13］。

由此啟發(fā)，本文研究帶變系數(shù)和加權(quán)函數(shù)的擬線性拋物型不等式（1）的非負(fù)非平凡整體弱解在帶參數(shù)的函數(shù)空間中的非線性Liouville定理。目的在于找到變系數(shù)指數(shù)與加權(quán)函數(shù)的指數(shù)對(duì)非負(fù)非平凡整體弱解的非存在性影響，且具有無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)任何條件、對(duì)初始值沒(méi)有作任何正則性假設(shè)（導(dǎo)致初值在超平面t＝0上可能沒(méi)有很好的‘跡’）、不用比較原理和極值原理等特點(diǎn)。通過(guò)適當(dāng)構(gòu)造試驗(yàn)函數(shù)來(lái)建立Universal估計(jì)值（不依賴于初始值），從而得出在適當(dāng)?shù)呐R界指數(shù)范圍內(nèi)非負(fù)非平凡整體弱解非存在性結(jié)論。詳細(xì)結(jié)論如下：定理1（Liouville定理）成立，且

在（18）式兩端令R→∞就得到

因?yàn)棣鞘侨我獾模栽赟上幾乎處處成立u＝0。

［1］ Bebernes J，Eberly D.Mathematical Problems from Combustion Theory［M］.New York：Springer－Verlag，1989.

［2］ Wu Z，Zhao J，Yin J.Nonlinear Diffusion Equations［M］.Singapore：World Scientific，2001.

［3］ Fujita H.On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut＝Δu＋u1＋α［J］.J Fac Sci Univ Tokyo Sect 1AMath，1966，13：119－124.

［4］ Galaktionov V A，Vazquaez J L.Continuation of blowup solutions of nonlinear heat equations in several space dimensions ［J］.Comm on Pure and Appl Mat，1997，50（1）：1－67.

［5］ Gidas B，Spruck J.Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations［J］.Comm on Pure and Appl Mat，1981，24：525－598.

［6］ Gidas B，Spruck J.A priori bounds for positive solutions of nonlinear elliptic equations［J］.Comm in P D E，1981，6（8）：883－901.

［7］ Kondrat’ev V A.Boundary value problems for elliptic equations in domains with conic and angular points［J］.Trans Moscow Math.Soc，1967，16：209－292.

［8］ Hayakawa K.On nonexistence of global solution of some semilinear parabolic differential equations［J］.Proc Japan Acad Ser A，1979，49：503－505.

［9］ Mitidieri E，Pohozaev S L.A priori estimates and blow－up of solutions to non－linear partial differential equations and inequalities［J］.Proc Steklov Inst Math，2001，234：3－383.

［10］ Laptev G G.The absence of global positive solutions of systems of semilinear elliptic inequalities in cones［J］.Izv Math，2000，64（6）：1197－1215.

［11］ 魏公明.具奇系數(shù)發(fā)展型p－laplace不等方程整體解的不存在性［J］.數(shù)學(xué)年刊 A輯，2007，28A（2）：387－394.

［12］ Fang ZhongBo，F(xiàn)u Chao，Zhang LinJie.Liouville theorems of slow diffusion differential inequalities with variable coefficients in cone［J］.J.of KSAIM，2011，15（1）：43－55.

［13］ Lian Songzhe，Liu Changchun.On the existence and nonexistence of global solutions for the porous medium equation with strongly nonlinear sources in a cone［J］.Arch Math，2010，94：245－253.

［14］ Kartsatos A G，Kurta V V.On a comparison principle and the critical Fujita exponents for solutions of semilinear parabolic inequalities［J］.J London Math Soc，2002，66（2）：351－360.