孫曉玲， 王 寧

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 合肥 230601）

0 引 言

大學(xué)生綜合素質(zhì)測評是對大學(xué)生的一種評價指標(biāo)，內(nèi)容通常包括德育測評、智育測評、體育測評和能力測評4個方面?？茖W(xué)有效的測評方法不但可以促進高校素質(zhì)教育的發(fā)展，使學(xué)生在素質(zhì)發(fā)展上進一步明確今后努力的方向，還可以有效地促進學(xué)校學(xué)生工作更加規(guī)范化和科學(xué)化。由于大學(xué)生綜合素質(zhì)評價的因素較多，并且大都有一定程度的模糊性，因此已有的關(guān)于大學(xué)生綜合素質(zhì)測評的方法大都是采用以模糊集合為基礎(chǔ)的模糊綜合評判的方法［1－2］。

由于模糊集合存在不能完整描述不確定信息的局限性，已有的評價方法中模糊集的隸屬函數(shù)值只能是一個單一的表示隸屬度的值。但事實上，在對學(xué)生進行綜合測評的過程中，一些作為測評評委的教師或?qū)W生可能對測評對象符合某些評價指標(biāo)的程度不太確定，或者說存在一定程度的猶豫，這個猶豫的信息是以模糊集合為基礎(chǔ)的模糊綜合評價方法所不能描述的。

本文將直覺模糊集合引入到大學(xué)生綜合素質(zhì)測評中，利用直覺模糊集合能充分描述不確定信息的優(yōu)越性，在測評方法中體現(xiàn)評委對評價對象的某些評價指標(biāo)表示支持、反對和猶豫程度的信息，給出基于直覺模糊集合的大學(xué)生綜合素質(zhì)評價方法。

1 直覺模糊集合（IFS）

Atanassov所提出的直覺模糊集合是對扎德所提出的傳統(tǒng)模糊集合的擴展。在實際問題中，常會出現(xiàn)人們對元素a屬于集合A的程度沒有絕對把握的情形，直覺模糊集合正是源于這種情況而產(chǎn)生的。由于它可以描述元素a屬于集合A、不屬于集合A以及不確定的程度，因此直覺模糊集相比于傳統(tǒng)模糊集合在描述不確定信息方面有更強的優(yōu)越性。下面介紹直覺模糊集合的基本定義和定理。

假設(shè)有限非空集合 X＝｛x1，x2，…，xn｝為論域，F(xiàn)（X）為X上的所有模糊集所構(gòu)成的集合。若A∈F（X），x∈X，則A（x）表示元素x對集合A的隸屬度。若A為清晰集，則對任意的x∈X，A（x）只能等于1或0。

直覺模糊集合定義如下。

定義1 假設(shè)X為論域，則X上的直覺模糊集合為：

其中，函數(shù)μA（x）：X→［0，1］和γA（x）：X→［0，1］分別表示集合A的隸屬度函數(shù)和非隸屬度函數(shù)。集合A上每一x∈X，都有0≤μA（x）＋γA（x）≤1。由集合A的隸屬度函數(shù)μA（x）和非隸屬度函數(shù)γA（x）所組成的有序函數(shù)對（μA（x），γA（x））稱作直覺模糊數(shù)［3］。

由該定義可以看出，傳統(tǒng)模糊集合也可寫成直覺模糊集：

若A為清晰集，則對任意的x∈X，一定有μA（x）＝0，γA（x）＝1或者μA（x）＝1，γA（x）＝0。

定義2 對論域X中的任一直覺模糊集A，稱πA＝1－μA（x）－γA（x）為直覺模糊集A 中元素x的直覺指數(shù)，它是元素x對直覺模糊集A的猶豫程度的度量，表示X中的元素x屬于A的不確定程度或猶豫程度。顯然，對任一x∈X，0≤πA（x）≤1，論域X 中的每個傳統(tǒng)模糊子集B，必有：

由此可看出，扎德的傳統(tǒng)模糊集合是直覺模糊集的一個特例［3］。

由定義1和定義2可以看出，對于X中的直覺模糊集A，其隸屬度μA（x）、非隸屬度γA（x）以及直覺指數(shù)πA（x）可分別表示元素x屬于直覺模糊集A的支持、反對、中立3種證據(jù)的程度。

定義3 設(shè)A＝｛〈x，μA（x），γA（x）〉｜x∈X｝，B＝｛〈x，μB（x），γB（x）〉｜x∈X｝為論域 X 上的直覺模糊集，則有以下2種關(guān)系［3］：

定義4 假設(shè)A、B都是論域X上的直覺模糊集合，則有以下2種運算：

2 大學(xué)生綜合素質(zhì)評價模型

大學(xué)生綜合素質(zhì)的評價指標(biāo)比較多，可分為一級評價指標(biāo)和二級評價指標(biāo)。其中一級評價指標(biāo)包括德、智、體、能4個方面，針對一級指標(biāo)可以建立二級評價指標(biāo)集，從而構(gòu)成二級直覺綜合評價體系，評價體系如圖1所示［4］。

圖1 大學(xué)生綜合素質(zhì)評價體系

若用直覺模糊集合作為載體，評價對象（某大學(xué)生）Ai關(guān)于評價指標(biāo)xj的評價結(jié)果可以表示為［μAi（xj），γAi（xj）］。其中，μAi（xj）表示評價對象Ai符合評價指標(biāo)xj的程度；γAi（xj）表示評價對象Ai不符合評價指標(biāo)xj的程度；πAi（xj）＝1－μAi（xj）－γAi（xj）表示評價對象Ai符合評價指標(biāo)xj的猶豫程度，其中，μAi（xj）∈［0，1］，γAi（xj）∈［0，1］，且μAi（xj）＋γAi（xj）≤1。

例如，20位學(xué)生和教師評委對學(xué)生Ai關(guān)于“遵守校規(guī)校紀(jì)”這個評價指標(biāo)進行評測，為方便起見，只需各位評委對學(xué)生Ai“符合”或“不符合”進行投票即可，投票的結(jié)果是投“符合”票的12人，投“不符合”票的6人，還有2人棄權(quán)，則對學(xué)生Ai關(guān)于評價指標(biāo)“遵守校規(guī)校紀(jì)”的測評結(jié)果可以表示為（0.6，0.3），其中1－0.6－0.3＝0.1可以視為評委關(guān)于該項評價指標(biāo)的猶豫程度。

2.1 TOPSIS算法

模糊TOPSIS是由Hwang和Yoon最早提出的多指標(biāo)決策方法，又稱作理想解法。該方法是根據(jù)評價指標(biāo)與其理想解和負(fù)理想解之間的距離來評價對象符合該評價指標(biāo)程度的［5］。在本文中，理想解和負(fù)理想解可分別記作x＋和x－。

在直覺模糊集合中，評價指標(biāo)xj的理想解x＋可寫作｛（xj，1，0）｜xj∈X｝，其中評價對象 Ai對于評價指標(biāo)xj的隸屬度和非隸屬度分別為1和0。類似地，任何評價指標(biāo)xj的負(fù)理想解x－可記作｛（xj，0，1）｜xj∈X｝，這時，評價對象Ai對于評價指標(biāo)xj的隸屬度和非隸屬度分別為0和1［6－7］。

設(shè)（μAi（xj），γAi（xj））是評價對象 Ai關(guān)于評價指標(biāo)xj的評價結(jié)果的直覺模糊集，其中μAi（xj）表示評價對象Ai符合評價指標(biāo)xj的程度，而γAi（xj）表示評價對象Ai不符合評價指標(biāo)xj的程度，則評價對象Ai關(guān)于評價指標(biāo)xj分別與其理想解x＋與負(fù)理想解x－之間的距離為：

根據(jù)（1）式、（2）式，可計算出評價對象Ai關(guān)于評價指標(biāo)xj與其理想解的相對貼近度為：

由于d（Ai，x＋）≥0，d（Ai，x－）≥0，因此，顯然Di∈［0，1］。

計算出各個評價對象與理想解的相對貼近度后，可以通過對這些相對貼近度進行排序，從而得出評價對象的排名，Di值越大，評價對象Ai越優(yōu)秀。

2.2 大學(xué)生直覺綜合素質(zhì)評價

基于直覺模糊集合的TOPSIS大學(xué)生直覺綜合素質(zhì)測評步驟如下：

（1）建立評價指標(biāo)體系。首先根據(jù)層次化的方法對影響評價的各個指標(biāo)進行分類，建立評價指標(biāo)體系，如圖1所示，其中，xi（i＝1，2，…，m）為一級評價指標(biāo)，xij（j＝1，2，…，ni）為一級指標(biāo)xi下所屬的二級評價指標(biāo)。

（2）給各個評價指標(biāo)賦予權(quán)值。由于在評價指標(biāo)體系中，各個評價指標(biāo)對于評價結(jié)果的重要性有所不同，需賦予不同的權(quán)值。賦權(quán)的方法較多，常用的有模糊熵權(quán)法、德爾菲法和層次分析法等，這里可以采用文獻［8］中給出的模糊熵權(quán)法確定各二級評價指標(biāo)的權(quán)重 w1，w2，…，wn，其中＝1，n為所有二級指標(biāo)的個數(shù)。

（3）構(gòu)造直覺模糊集合（IFS）評價矩陣。根據(jù)測評小組給出的評價對象Ai關(guān)于評價指標(biāo)xj的評價結(jié)果（μAi（xj），γAi（xj）），構(gòu)造直覺模糊集合（IFS）評價矩陣。

（4）計算距離、相對貼近度。根據(jù)TOPSIS方法中的（1）式、（2）式計算評價對象分別與其理想解和負(fù)理想解的距離，再根據(jù)（3）式計算評價對象與其理想解的相對貼近度。

（5）得出結(jié)論。對步驟（4）中所得的相對貼近度進行排序，相對貼近度大者所對應(yīng)的評價對象為優(yōu)。

3 實 例

采用基于直覺模糊集合的TOPSIS大學(xué)生直覺綜合素質(zhì)測評方法對某師范大學(xué)的學(xué)生進行綜合測評，為簡便起見，僅選擇3位大學(xué)生A1、A2、A3作為評價對象，步驟如下。

（1）根據(jù)層次化方法針對該校大學(xué)生建立圖1所示的綜合測評指標(biāo)體系。

（2）為各個二級評價指標(biāo)賦予權(quán)值。根據(jù)文獻［7］中所提供的模糊熵權(quán)法分配給12個二級評價指標(biāo)的權(quán)值分別為：

（3）構(gòu)造IFS評價矩陣。根據(jù)測評小組中所有成員的意見，得到IFS評價矩陣，見表1所列。

表1 IFS評價矩陣

（4）計算距離、相對貼近度。評價對象A1、A2、A3分別與其理想解和負(fù)理想解的距離以及與其理想解的相對貼近度可利用Matlab軟件進行仿真計算，計算結(jié)果見表2所列。

表2 距離、相對貼近度

（5）得出結(jié)論。由表2可以看出，3位大學(xué)生綜合素質(zhì)測評的排名為A3＞A2＞A1，表明第3位學(xué)生的綜合素質(zhì)水平最高，第2位學(xué)生次之。

4 結(jié)束語

本文以直覺模糊集合為工具，根據(jù)評價對象分別與其理想解、負(fù)理想解之間的距離，評價對象與理想解的相對貼近度以及TOPSIS方法，有效地計算出大學(xué)生綜合素質(zhì)直覺模糊測評值。由于可利用Matlab軟件進行仿真計算，因此與模糊綜合評價方法相比，計算過程更加高效，測評結(jié)果更加科學(xué)合理。

［1］孫 艷，蔡志丹.模糊綜合評判法在學(xué)生考試成績評價中的應(yīng)用［J］.長春理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，34（4）：178－179.

［2］梅家斌，曹劍文，王 麗.大學(xué)生專業(yè)素質(zhì)現(xiàn)狀調(diào)查及模糊綜合評價［J］.武漢科技學(xué)院學(xué)報，2009，22（4）：38－40.

［3］Yager R R.Level sets and the representation theorem for intuitionistic fuzzy sets［J］.Soft Comput，2010，14：1—7.

［4］王 寧，孫曉玲，梁 艷.綜合素質(zhì)評價的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及Simulink實現(xiàn)［J］.合肥師范學(xué)院學(xué)報，2011，29（6）：15－19.

［5］陳 奎，張?zhí)煸?，閆 娜，等.理想解法的改進及其在工程材料綜合評價中的應(yīng)用［J］.機械工程材料，2012（2）：96－99.

［6］Baki A，Guveli E.Evaluation of a web based mathematics teaching material on the subject of functions［J］.Computers＆Education，2008，51：854－863.

［7］Marriott P.Students’evaluation of the use of online summative assessment on an undergraduate nancial accounting module［J］.British Journal of Educational Technology，2009，40：237－254.

［8］陳慶偉.應(yīng)用直覺模糊熵權(quán)法評價醫(yī)療質(zhì)量［J］.數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志，2010，23（4）：485－486.