桂興春， 胡曉平， 李彩花， 陳永波， 薛 迪

(佳木斯大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引言

并聯(lián)機(jī)床與傳統(tǒng)機(jī)床相比具有剛度好、承載能力大、速度快，位置精度高，結(jié)構(gòu)緊湊等特點(diǎn)，在機(jī)械工業(yè)中具有很重要的地位和發(fā)展價(jià)值，很多情況應(yīng)用二、三、四或五自由度的機(jī)構(gòu)就可以滿足使用要求，由于相對(duì)于六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、造價(jià)低等特點(diǎn)，并且在構(gòu)造并聯(lián)機(jī)床、以及各種特殊用途機(jī)器人方面有著廣闊的應(yīng)用前景，近年來倍受關(guān)注并開始成為機(jī)器人領(lǐng)域的一個(gè)新的研究熱點(diǎn).工作空間是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一個(gè)最重要的性能指標(biāo)[1]在機(jī)床結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，往往需要考慮工作空間的形狀對(duì)工作空間的影響，因此工作空間是并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化的主要因素.

1 機(jī)構(gòu)組成及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征

UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)[7]是含有串聯(lián)輸入支鏈的具有兩個(gè)平移和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的新型少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu).該并聯(lián)機(jī)構(gòu)(如圖1)是由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)及連接他們的三條支鏈構(gòu)成，這里，U，P和S分別表示虎克鉸、移動(dòng)副和球副.支鏈UPS、RPS與動(dòng)平臺(tái)之間通過球鉸相連，UPS支鏈與定平臺(tái)通過虎克鉸相連，兩條RPS支鏈通過轉(zhuǎn)動(dòng)副與定平臺(tái)相連，3P內(nèi)副和1R外副為主動(dòng)副，兩條RPS支路結(jié)構(gòu)相同，機(jī)構(gòu)耦合度k=0，具有完全控制解耦性.一條支鏈的主動(dòng)內(nèi)副P與主動(dòng)外副R夠成串聯(lián)輸入.但支路間為并聯(lián)輸入，因此不失并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特性.文獻(xiàn)[7]給出了該機(jī)構(gòu)基于支路單開鏈單元的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)錂C(jī)構(gòu)型綜合的方法.該并聯(lián)機(jī)構(gòu)因含有串聯(lián)輸入支鏈，所以三條運(yùn)動(dòng)支鏈可滿足四自由度要求，使其結(jié)構(gòu)相對(duì)簡單，姿態(tài)調(diào)整能力強(qiáng)，并具有較大的工作空間，制造成本降低并可作為可重構(gòu)模塊.

圖1 UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)器人

2 UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系的建立

如圖2所示，支鏈AiBi(i=1，2，3)一端通過球鉸與動(dòng)平臺(tái)連接，AiBi(i=2，3)通過轉(zhuǎn)動(dòng)副與靜平臺(tái)連接，支鏈AiBi一端通過萬向節(jié)與靜平臺(tái)連接，動(dòng)、靜平臺(tái)的形狀可以是任意的，為了便于理論分析，我們將其視為正三角形.靜坐標(biāo)系OBXBYBZB的原點(diǎn)OB位于下平臺(tái)的幾何中心，其ZB軸垂直于靜平臺(tái)，正方向向上，XB軸正方向過B3點(diǎn)，YB軸的方向由右手定則確定.同理，動(dòng)坐標(biāo)系OA－XAYAZA的原點(diǎn)OA位于動(dòng)平臺(tái)的幾何中心，其ZA軸與動(dòng)平臺(tái)垂直，XA軸與XB軸平行通過A3點(diǎn)，YA軸由右手定則確定.

圖2 UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖

3 UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端姿態(tài)的描述

由機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式[4]可知UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一個(gè)4自由度的機(jī)構(gòu)

式中，F(xiàn)為自由度;n為機(jī)構(gòu)總數(shù);m這運(yùn)動(dòng)副數(shù)目;fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù).

可知UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中3個(gè)移動(dòng)副為其內(nèi)副，一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副為其外副，這三個(gè)移動(dòng)副和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副為該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副，即3個(gè)支鏈中的一個(gè)支鏈(A1B1)包含串聯(lián)輸入，動(dòng)平臺(tái)有4個(gè)活動(dòng)度，動(dòng)平臺(tái)有4個(gè)點(diǎn)位可控自由度，分別為沿Z軸和X軸的移動(dòng)，繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，故UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)是可實(shí)現(xiàn)兩平移兩轉(zhuǎn)動(dòng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu).

4 UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解

動(dòng)平臺(tái)的外接圓半徑為rA，靜平臺(tái)的外接圓半徑為rB.令{Ai}為動(dòng)平臺(tái)的第i個(gè)鉸點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系OA－XAYAZA中的坐標(biāo)，故{Ai}為相對(duì)坐標(biāo);{Bi}為靜平臺(tái)的第i個(gè)鉸點(diǎn)在定坐標(biāo)系OB－XBYBZB中的坐標(biāo);{Ci}為動(dòng)平臺(tái)的第i個(gè)鉸點(diǎn)在定坐標(biāo)系OB－XBYBZB中的坐標(biāo);[R]為由動(dòng)坐標(biāo)系OAXAYAZA到靜標(biāo)系OB－XBYBZB的旋轉(zhuǎn)矩陣則

由于UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的A2B2，A3B3支鏈與靜平臺(tái)是通過轉(zhuǎn)動(dòng)副連接的機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，故上平臺(tái)不能繞定坐標(biāo)ZB軸轉(zhuǎn)動(dòng)，只能繞XB，YB軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度分別為α，β，則移動(dòng)參考系變換到固定參考系的旋轉(zhuǎn)矩陣[R]為

用齊次坐標(biāo)矩陣來表示動(dòng)平臺(tái)的位置姿勢矩陣G

移動(dòng)參考系OA－XAYAZA中的任一點(diǎn)Q=[x'y'z']在固定坐標(biāo)系OB－XBYBZB中為

{P}={PXBPYBPZB}為動(dòng)平臺(tái)中心OA在固定參考系中的絕對(duì)坐標(biāo)，在2UPS－RPS機(jī)構(gòu)的初始分析位型中{P}={00 PZB}.

由(6)式可以得出

當(dāng)給定了動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)(輸出)，即位置矩陣{P}和旋轉(zhuǎn)角度α，β時(shí)，伸縮桿長(輸出)就可以確定為

(8)式即為UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)逆解方程.

5 UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析

5.1 影響工作空間的幾個(gè)因素[5]

a.桿長的限制.并聯(lián)機(jī)構(gòu)的桿長主要是由桿套及伸縮桿的長度決定的.

b.運(yùn)動(dòng)副的限制.虎克鉸即可連接固定平臺(tái)和運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，還可增強(qiáng)驅(qū)動(dòng)桿的運(yùn)動(dòng)靈敏性，受并聯(lián)機(jī)床的機(jī)構(gòu)因素的影響，會(huì)限制虎克鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度范圍;

c.干涉影響.相鄰的驅(qū)動(dòng)桿之間，驅(qū)動(dòng)桿與平行機(jī)構(gòu)的連桿之間、以及驅(qū)動(dòng)桿與平行機(jī)構(gòu)的圓盤之間會(huì)發(fā)生干涉現(xiàn)象，對(duì)工作空間的影響很大;

d.奇異位置，又稱奇異點(diǎn)或死點(diǎn).當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)到該位置時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)將出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)方向的不定性.工作空間的奇異位置一般分為兩種，一是工作空間的邊界，當(dāng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到邊界后，再不能向邊界外運(yùn)動(dòng)，這種邊界位置是一類奇異位置.另一種是發(fā)生在機(jī)器人工作空間內(nèi)部的奇異性，是由于兩個(gè)或兩個(gè)以上關(guān)節(jié)軸線共線而產(chǎn)生的，這時(shí)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣行列式為0.

下面就上述各項(xiàng)對(duì)本文所研究的2UPS－RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)做以下說明:

1)本文所討論的三桿并聯(lián)機(jī)器人的活動(dòng)平臺(tái)位姿在工作中保持不變，這里所討論的工作空間是指實(shí)際作業(yè)空間，選取的參考點(diǎn)為動(dòng)平臺(tái)的型心OA.

2)影響工作空間的因素主要是桿長和虎克鉸的限制，無干涉影響和奇異位形[7].

3)研究該機(jī)構(gòu)工作空間所用的方法為極限邊界搜索算法[2－3]

5.1.1 桿長的限制

一般通過改變桿長來控制平臺(tái)的位姿，因此桿長約束是一個(gè)基本約束條件.其數(shù)學(xué)表達(dá)形式為

式中，lmin為最短桿長，lmax為最長桿長，li為第i個(gè)連桿矢量.

5.1.2 球鉸及虎克鉸許用轉(zhuǎn)角限制

UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的連桿與平臺(tái)之間的連接有球鉸及虎克鉸(除支鏈A2B2，A3B3與靜平臺(tái)連接處外)，球鉸和虎克鉸的轉(zhuǎn)角范圍是有限制的，以球面副為例(如圖3)，球面副的轉(zhuǎn)角θ是由與球面副聯(lián)結(jié)的桿向量U之間的夾角.一般地，θ＜θmax，虎克鉸的轉(zhuǎn)角范圍與球鉸類似.

圖3 球面副轉(zhuǎn)角

圖4 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角約束

圖5 以末端執(zhí)行器頂點(diǎn)為參照的工作空間

若第i個(gè)連桿的兩個(gè)端點(diǎn)用ai和bi表示(圖4)，ai，bi處球鉸 z軸分別表示為 nai，nbi，連桿向量表示為li，球鉸的轉(zhuǎn)角為

式(9)和式(10)中的所有矢量都是相對(duì)于極坐標(biāo)系的.平臺(tái)安裝完畢后，nbi相對(duì)于基坐標(biāo)系{B}的表示為常矢量，nai相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系{A}的表示為常矢量，故式(9)需要變化為

則轉(zhuǎn)角約束可表示為

式中，nai，nbi為安裝球鉸或虎克鉸的基準(zhǔn)矢量.為了最大限度地利用轉(zhuǎn)角范圍，應(yīng)將nai，nbi分別與初始位姿時(shí)的連桿向量重合.

5.1.3 桿間的相互干涉:

對(duì)于UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由于支鏈A2B2，A3B3與定平臺(tái)通過轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，使得任意兩桿在任意時(shí)刻都在同一平面內(nèi)，且動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)半徑rA和rB選取適當(dāng)就不會(huì)發(fā)生連桿之間的干涉，更不會(huì)發(fā)生連桿與平臺(tái)之間的干涉.

5.2 數(shù)值實(shí)例

設(shè)該三桿四自由度并聯(lián)機(jī)床的尺度參數(shù)取值如下[9]:

rA=20cm，rB=60cm，α = β =0.1π，lmin=50cm，lmax= 200cm，θamax= θbmax= 0.25π，－500cm≤x≤500cm，0≤z≤500cm，－0.4π≤φ≤ 0.4π，－ 0.15π ≤ γi≤ 0.15π(i=2，3)式中，φ為支鏈A1B1與定平臺(tái)的夾角，γ為支鏈AiBi(i=2，3)與定平臺(tái)的夾角，其余符號(hào)意義同上.

綜合式(2)～(12)，借助Matlab軟件來實(shí)現(xiàn)該極限邊界搜索算法，從而完成參考點(diǎn)為動(dòng)平臺(tái)的型心OA的工作空間搜索，圖5為搜索出的機(jī)構(gòu)工作空間

6 結(jié)論

(1)分析得出含一串聯(lián)輸入支鏈的UPS－2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有4個(gè)點(diǎn)位可控自由度，分別為沿Z軸和X軸的移動(dòng)，繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，故該機(jī)構(gòu)是可實(shí)現(xiàn)兩平移兩轉(zhuǎn)動(dòng)的少自由度并聯(lián)結(jié)構(gòu).

(2)建立了位置反解方程，充分考慮了并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)約束條件，用邊界搜索法在笛卡爾坐標(biāo)下繪制出了工作空間的邊界圖，為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的合理設(shè)計(jì)和使用提供了理論基礎(chǔ).

(3)該分析方法具有普遍性，適用于構(gòu)型相近的并聯(lián)機(jī)構(gòu).因此，分析過程簡明、通用，且物理意義明晰.

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