秦建敏 ，遲璐璐

（1. 大連大學(xué) 土木工程技術(shù)研究與開(kāi)發(fā)中心，遼寧 大連 116622；2. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

1 引 言

剪脹現(xiàn)象是由 Reynolds[1]于 1885年首先指出的，他把顆粒材料由剪切應(yīng)變引起體積變形這一特性稱(chēng)為剪脹性。1936年由Casagrande[2]應(yīng)用于土力學(xué)領(lǐng)域，并分析了土體中摩擦角對(duì)體積應(yīng)變的影響。Rowe[3]采用微觀分析方法，基于規(guī)則排列結(jié)構(gòu)的研究，通過(guò)對(duì)內(nèi)功率的無(wú)約束最小化提出了著名的膨脹函數(shù)，得到三維空間的表達(dá)其中，σ1、σ3分別為大、小主應(yīng)力，φu為顆粒間摩擦角，V為顆粒體的體積，和分別為體積和軸向應(yīng)變的變化率。在這一理論中，剪脹性被假設(shè)為應(yīng)力比的單一函數(shù)，推導(dǎo)過(guò)程中顆粒系統(tǒng)被假設(shè)為等效連續(xù)體，不考慮顆粒接觸處?kù)o態(tài)和動(dòng)態(tài)約束條件的限制。文獻(xiàn)[4]中證實(shí)了Rowe的應(yīng)力剪脹理論中的原理，并提出描述顆粒材料各向異性的一個(gè)概念性方法，發(fā)現(xiàn)有關(guān)結(jié)構(gòu)各向異性演化的一些非常重要的事實(shí)，比如大變形后土體接近一個(gè)極限各向異性狀態(tài)。文獻(xiàn)[5]基于光彈材料及圓鋁棒的直剪試驗(yàn)結(jié)果，從顆粒接觸點(diǎn)數(shù)分布變化規(guī)律出發(fā)，推導(dǎo)出滑動(dòng)面上的應(yīng)力剪脹性方程。文獻(xiàn)[6]用離散元方法研究了土體的應(yīng)力剪脹方程。文獻(xiàn)[7]建立了一個(gè)“砂土樣品”的顆粒力學(xué)模型，探討了剪脹性的顆粒力學(xué)影響因素。但室內(nèi)試驗(yàn)資料證明，膨脹性不僅依賴(lài)于應(yīng)力比，還與材料的內(nèi)部狀態(tài)變量有關(guān)，如孔隙比。在同樣的應(yīng)力比條件下，排列密實(shí)的顆粒體發(fā)生剪脹，疏松的顆粒體發(fā)生剪縮。至今，顆粒材料的剪脹性仍未得到充分解釋?zhuān)F(xiàn)有的剪脹理論與試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果仍有顯著背離，關(guān)于顆粒材料剪脹性的演化過(guò)程也鮮有報(bào)道。

由于顆粒材料所表現(xiàn)出來(lái)的變形特性取決于內(nèi)部顆粒之間、顆粒與孔隙及其他邊界之間的相互影響，是其系統(tǒng)內(nèi)部各種材料結(jié)構(gòu)要素共同作用的結(jié)果。因此，本文將從顆粒材料的內(nèi)部結(jié)構(gòu)入手，用孔隙胞元（void cell）描述顆粒材料的最小單元，進(jìn)行雙軸剪切試驗(yàn)，給出剪切過(guò)程中孔隙胞元體積變形的空間分布和演化過(guò)程，探討顆粒材料的膨脹性對(duì)加載過(guò)程中應(yīng)力比與內(nèi)部結(jié)構(gòu)的依賴(lài)關(guān)系，解釋排列密實(shí)顆粒材料在剪切過(guò)程中先壓縮后膨脹的微觀機(jī)制。

2 孔隙胞元系統(tǒng)

顆粒體系的宏觀變形和力學(xué)特性，通常不是單個(gè)顆粒對(duì)外荷載的反應(yīng)，而是顆粒在空間排列起來(lái)對(duì)外荷載的反應(yīng)。因此，在研究顆粒材料的剪脹性之前，必須先明確顆粒體系內(nèi)部的微觀結(jié)構(gòu)。為了描述顆粒體系的分布特性，需要根據(jù)顆?？臻g的幾何信息、粒間接觸關(guān)系將其劃分成幾何系統(tǒng)。二維顆粒體的微觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以由顆粒（頂點(diǎn)）、接觸（邊）和孔隙胞元（面）構(gòu)成。顆粒系統(tǒng)劃分成微元存在一定的任意性，以二維情況為例，點(diǎn)a和b是以O(shè)為中心的顆粒的兩個(gè)接觸點(diǎn)，如果點(diǎn)a和b處顆粒表面的切線相交，則接觸點(diǎn)a和b稱(chēng)作是一組關(guān)聯(lián)接觸。a和b以及顆粒中心O形成一個(gè)半開(kāi)放的子平面 a-O-b，相鄰顆粒的子平面連接形成一個(gè)閉合空間，如顆粒O、P、Q和R的子平面形成的閉合空間為OaPcQdRbO，稱(chēng)為孔隙胞元，如圖1中陰影所示。以4 000個(gè)圓形顆粒為例，對(duì)顆粒體系中所有顆粒進(jìn)行循環(huán)，生成孔隙胞元系統(tǒng)（void cell system），如圖2(b)所示。

從孔隙胞元的構(gòu)建過(guò)程看出，孔隙胞元的邊界提供了傳遞接觸力的連續(xù)路徑，因此，孔隙胞元是承受外部應(yīng)力時(shí)保持穩(wěn)定的最小單元[8]。將顆粒材料視為具有不同特性孔隙胞元的集合，顆粒材料的力學(xué)響應(yīng)可從孔隙胞元在承受外載時(shí)的響應(yīng)來(lái)研究。

圖1 孔隙胞元的構(gòu)建Fig.1 Construction of void cell

圖2 4 000個(gè)隨機(jī)排列的密實(shí)顆粒體模型Fig.2 Initial arrangement of dense granular assembly of 4 000 particles

為了方便說(shuō)明，以圖3所示的二維等徑顆粒體的規(guī)則排列為例進(jìn)行分析，假設(shè)顆粒為剛性體，單個(gè)顆粒的變形通過(guò)接觸點(diǎn)變形來(lái)刻畫(huà)，不考慮顆粒的破碎。研究規(guī)則排列的等徑顆粒體，有助于揭示顆粒介質(zhì)力學(xué)行為的內(nèi)在機(jī)制。對(duì)于規(guī)則排列，其力學(xué)特性可通過(guò)分析代表性孔隙胞元（如圖中陰影區(qū)域所示）來(lái)展開(kāi)討論。記其豎直方向和水平方向的長(zhǎng)度分別為l1和l2，它們的比值l1/l2稱(chēng)為孔隙胞元的形狀因子，定義 α= arctan(l1/l2)以描述周期性結(jié)構(gòu)的幾何特征，β表示接觸點(diǎn)發(fā)生滑動(dòng)時(shí)的角度。作用于試樣邊界的力與內(nèi)部接觸力平衡，接觸力包括法向和切向分量，F(xiàn)11、F22以及F12、F21分別為作用在顆粒上的法向、切向力。顆粒間的摩擦力提高了顆粒體系在承受外荷載時(shí)保持穩(wěn)定的能力。規(guī)定以周期性結(jié)構(gòu)受壓為正，豎直方向?yàn)榇笾鲬?yīng)力方向，記為σ11；水平方向?yàn)樾≈鲬?yīng)力方向，記為σ22。

圖3 二維規(guī)則排列的顆粒體Fig.3 Two dimensional granular assembly with regular arrangement

當(dāng)孔隙胞元受豎直方向的剪切荷載時(shí)，即σ11/ σ22＞ 1，l1/l2減小，孔隙胞元體積發(fā)生改變。僅僅從幾何上考慮，當(dāng)孔隙胞元為各向同性時(shí)，其面積最大；各向異性越強(qiáng)，面積越小。以四邊形為例，孔隙胞元的面積為，當(dāng)α=45°時(shí)，即l1=l2為正方形，面積最大。因此，受剪切荷載作用（ σ11/σ22＞1）時(shí)，在基本構(gòu)型不變的前提下，對(duì)于l1/l2>1的孔隙胞元，面積增大，孔隙胞元呈膨脹性；而對(duì)l1/l2<1的孔隙胞元，接觸點(diǎn)的滑動(dòng)導(dǎo)致孔隙胞元面積的減小，為壓縮的。圖3中陰影部分孔隙胞元的剪切過(guò)程如圖4所示，即從圖4(a)～(c)經(jīng)過(guò)先膨脹后壓縮的過(guò)程。圖4(a)和圖 4(c)為相同孔隙比條件下孔隙胞元的兩種最基本狀態(tài)，對(duì)于α＞45°時(shí)的狀態(tài)圖4(a)，大主應(yīng)力方向與孔隙胞元的方向平行，結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定，需要承受較大的主應(yīng)力比才能使原有結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞，演變?yōu)閳D4(b)的狀態(tài)，孔隙胞元面積增大；而在α＜45°的圖 4(c)狀態(tài)，孔隙胞元的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，只需要較小的主應(yīng)力比就能使α繼續(xù)減小，孔隙胞元的孔隙比也減小。因此，孔隙胞元的體積變化與所受應(yīng)力比和形狀因子都有關(guān)系?？紫栋男螤钜蜃硬荒茉黾拥綗o(wú)窮大，當(dāng)形狀因子太大時(shí)，孔隙胞元可能不能承受外部荷載。在持續(xù)的剪切荷載作用下，孔隙胞元的構(gòu)型發(fā)生改變，這時(shí)在豎向有新的接觸形成，接觸力的傳遞路徑因而發(fā)生改變，微觀結(jié)構(gòu)重新排列。

圖4 四邊形孔隙胞元的剪切變形Fig.4 Shear deformation of quadrangular void cell

3 離散元雙軸剪切試驗(yàn)

本文采用基于孔隙胞元的離散元方法，對(duì)顆粒體試樣進(jìn)行雙軸剪切試驗(yàn)，詳細(xì)理論介紹見(jiàn)文獻(xiàn)[9]，限于篇幅，本文不再重復(fù)介紹。高質(zhì)量的顆粒體試樣必須滿足以下3個(gè)條件：①顆粒體須滿足統(tǒng)計(jì)上的各向同性和均勻性；②顆粒體初始狀態(tài)時(shí)的重疊量不宜過(guò)大；③在初始狀態(tài)，必須保證顆粒體處于平衡。本文采用壓縮邊界法生成顆粒體集合：首先，將顆粒體邊界范圍按照一定的倍數(shù)放大，根據(jù)顆粒的級(jí)配曲線生成一系列的顆粒；然后，將周?chē)吔鐗嚎s，得到設(shè)定的孔隙比；最后，使顆粒在非平衡力的作用下自由運(yùn)動(dòng)，并在給定的邊界范圍內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)。取如圖2中排列致密的4 000個(gè)粒徑不等的圓形顆粒體為研究對(duì)象，對(duì)該試樣進(jìn)行雙軸剪切試驗(yàn)。試樣為高、寬度均為60 mm的正方形，顆粒的粒徑在（0.45～1.40）D50之間隨機(jī)分布，其中D50=1.1 mm，為顆粒體的中值粒徑，表示當(dāng)小于某粒徑的土粒質(zhì)量累計(jì)百分比為50%時(shí)的粒徑。不均勻系數(shù)Cu=1.69。試樣的初始狀態(tài)為緊密、隨機(jī)、各向同性排列，初始孔隙比為0.154，顆粒的初始重疊量為 1.01×10-2D50。顆粒體四周均采用周期性邊界，顆粒重度為20 kN/m3，顆粒之間的摩擦系數(shù)為0.5（顆粒間摩擦角φ=26.57°），法向接觸剛度為2.5×108N/m，切向剛度與法向剛度的比值為0.25，時(shí)間步長(zhǎng)取 1×10-6s。在雙軸加載過(guò)程中，顆粒體試樣的高度以恒定的速度減小，采用伺服應(yīng)力控制原理使水平應(yīng)力σ22保持常數(shù)值。

圖5給出了排列密實(shí)的顆粒體在雙軸加載過(guò)程中應(yīng)力比（ q=σ11/σ22）、孔隙比與軸向應(yīng)變之間的關(guān)系曲線。從圖 5(a)可以看出，加載過(guò)程分為如下幾個(gè)階段，即：硬化階段（A- B- C）、峰值狀態(tài)（點(diǎn)C）、軟化階段（C- D）、臨界狀態(tài)。在加載初期，顆粒體的力學(xué)性能接近于彈性，隨著加載的進(jìn)行，應(yīng)力比逐漸增大，達(dá)到峰值后發(fā)生軟化，軟化現(xiàn)象的發(fā)生是由于密實(shí)顆粒之間有咬合力，剪切過(guò)程中咬合力被破壞，強(qiáng)度降低。隨著加載的進(jìn)一步進(jìn)行，應(yīng)力比達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)保持不變。從圖5(b)發(fā)現(xiàn)：在初始加載階段，顆粒體的孔隙比首先發(fā)生輕微的下降，然后隨著變形的增大，排列致密的顆粒體發(fā)生膨脹，并且剪脹現(xiàn)象一直伴隨在隨后的加載過(guò)程中（硬化－達(dá)到峰值－軟化），直至達(dá)到穩(wěn)定態(tài)，孔隙比變化率很小，即達(dá)到臨界狀態(tài)。為了說(shuō)明加載過(guò)程中顆粒材料的體積變化不僅與應(yīng)力比有關(guān)，選出圖5(a)應(yīng)力比-應(yīng)變關(guān)系曲線中應(yīng)力比相同的B和D兩點(diǎn)作為比較，詳細(xì)討論見(jiàn)第4部分。

4 剪脹性演化過(guò)程

下面詳細(xì)討論顆粒材料在細(xì)觀尺度上，即單個(gè)孔隙胞元尺度上的變形情況。對(duì)顆粒材料應(yīng)變張量的微觀定義具有多樣性，大致分為兩類(lèi)：①基于等效幾何圖形的應(yīng)變定義，即顆粒體系可以視為等效連續(xù)體，假設(shè)相應(yīng)顆粒中心的位移集中發(fā)生在接觸點(diǎn)處，在均勻場(chǎng)的假設(shè)下，建立位移梯度張量與顆粒位移以及相關(guān)幾何量的關(guān)系；②基于最優(yōu)擬合的應(yīng)變（best-fit strains），即基于平均位移梯度（應(yīng)變）擬合出顆粒體系的位移場(chǎng)，尋找位移場(chǎng)與顆粒體系的特征位移偏差最小的平均位移梯度。在這里，特征位移可以選取顆粒中心的平動(dòng)位移或接觸點(diǎn)處的相對(duì)平動(dòng)位移。理論和計(jì)算結(jié)果表明，基于等效幾何圖形和顆粒平動(dòng)位移的細(xì)觀應(yīng)變定義與基于材料邊界變形的應(yīng)變更為接近。本文用Kruyt等[10]提出的基于Satake的圖形系統(tǒng)定義的適用于二維顆粒物質(zhì)的表達(dá)式。

圖5 應(yīng)力比和孔隙比與軸向應(yīng)變的關(guān)系曲線Fig.5 Stress ratio and void ratio vs. axial strain

二維顆粒體區(qū)域S的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以分成n個(gè)多邊形子結(jié)構(gòu) Si的集合，每個(gè)子結(jié)構(gòu)表示由接觸顆粒的接觸支鏈圍成的孔隙胞元，如圖6所示。整個(gè)顆粒體區(qū)域S的變形率可由速度梯度L表示，L為位置x的函數(shù)，L在宏觀尺度上是均勻的，而微觀尺度（即每個(gè)孔隙胞元）上的有較大的變化。整個(gè)區(qū)域的平均速度梯度與每個(gè)孔隙胞元的平均速度梯度有如下關(guān)系：

Kuhn假設(shè)速度沿著孔隙胞元的邊是線性變化的，推導(dǎo)出具有m條邊的多邊形孔隙胞元Si的的表達(dá)式如下[11]：

圖6 粒子圖和對(duì)應(yīng)第i個(gè)孔隙胞元的矢量圖Fig.6 Particle graph and the vectors in the corresponding i th void cell

圖7給出了初始排列為密實(shí)狀態(tài)的顆粒體在雙軸剪切過(guò)程中，孔隙胞元及其內(nèi)部體積變形的演化過(guò)程。圖中ε22為軸向應(yīng)變，q為應(yīng)力比。從圖7中的離散元數(shù)值結(jié)果可以看出，局部孔隙胞元的變形具有明顯的非均勻性，這從圖中的顏色差異可以體現(xiàn)出來(lái)。以藍(lán)色填充的孔隙胞元代表其中的 Φi為正，表示該胞元內(nèi)的變形為膨脹；以紅色填充的孔隙胞元中的變形率為負(fù)，該孔隙胞元內(nèi)的變形為壓縮。比較圖7中各個(gè)不同加載階段發(fā)現(xiàn)，在雙軸加載過(guò)程中，顆粒體內(nèi)部孔隙胞元的形狀發(fā)生改變，并存在由體積變化較大的孔隙胞元形成的窄帶。在初始加載狀態(tài)，孔隙胞元的形狀基本為各向同性，顆粒材料內(nèi)部幾乎所有的孔隙胞元內(nèi)體積應(yīng)變都是壓縮的（如圖7(a)、(b)所示），這與前面圖5(b)中相同軸向應(yīng)變時(shí)孔隙比的變化一致。結(jié)合圖4中四邊形孔隙胞元的3種基本狀態(tài)，在加載初期，圖4(a)狀態(tài)的孔隙胞元保持不變，而處于圖 4(c)狀態(tài)的孔隙胞元發(fā)生變化，持續(xù)加載使α變小，從而孔隙胞元面積變小，即孔隙比變小。初始狀態(tài)越密實(shí)的顆粒材料，處于圖4(c)狀態(tài)的孔隙胞元對(duì)于加載初期的剪縮現(xiàn)象的貢獻(xiàn)就越大，這就是在加載初期排列密實(shí)的顆粒材料會(huì)發(fā)生剪縮現(xiàn)象的原因。隨著加載的進(jìn)行（如圖7(c)所示），孔隙胞元在豎直壓縮方向上變大，孔隙胞元的幾何形狀出現(xiàn)各向異性；接觸力較大的力鏈沿著近似平行于大主應(yīng)力的方向（即豎直方向）排列，形成柱狀結(jié)構(gòu)，荷載沿著相對(duì)較強(qiáng)的力鏈傳遞，此時(shí)孔隙胞元結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定，總體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線為硬化狀態(tài)（對(duì)應(yīng)圖5(a)）；孔隙胞元內(nèi)部體積變形大部分為壓縮（對(duì)應(yīng)圖5(b)中孔隙比與軸向應(yīng)變關(guān)系曲線中也為壓縮），由壓縮變形大的孔隙胞元組成窄帶，窄帶中的局部孔隙胞元內(nèi)壓縮變形略微大于周?chē)紫栋膲嚎s性。隨著加載的進(jìn)行，顆粒體內(nèi)部孔隙胞元的結(jié)構(gòu)進(jìn)一步改變，由于顆粒體在水平方向上持續(xù)膨脹，顆粒材料發(fā)生剪脹，孔隙胞元內(nèi)部體積變形大部分為膨脹，由膨脹性大的孔隙胞元組成了窄帶（如圖7(d)所示），持續(xù)剪脹使內(nèi)部很多孔隙胞元解體，顆粒體的力學(xué)響應(yīng)進(jìn)入軟化狀態(tài)。比較圖7(b)和圖7(d)，雖然顆粒體所處的應(yīng)力水平相同，但是由于在加載過(guò)程中，顆粒體內(nèi)部孔隙胞元的幾何結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大的變化，微觀尺度上體積變形也有很大的不同，其對(duì)應(yīng)的宏觀尺度上力學(xué)響應(yīng)也有明顯的區(qū)別。

圖7 顆粒體孔隙胞元內(nèi)的體積變形Fig.7 Volume deformation in individual void cell of particulate assembly

5 結(jié) 論

以單個(gè)孔隙胞元描述顆粒材料的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，分析了承受剪切荷載時(shí)其體積變化與孔隙胞元形狀、所受應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系。對(duì)排列致密的顆粒材料進(jìn)行離散元雙軸剪切試驗(yàn)，得到了不同加載階段孔隙胞元系統(tǒng)的演化過(guò)程。

（1）微觀尺度上孔隙胞元內(nèi)體積存在先壓縮后膨脹、形狀上先各向同性后沿主應(yīng)力方向變長(zhǎng)的現(xiàn)象，體積變形同時(shí)受孔隙胞元形狀及所受應(yīng)力狀態(tài)二者的影響。

（2）在剪切過(guò)程中，孔隙胞元的體積變形存在局部化現(xiàn)象，由體積變形較大的孔隙胞元組成傾斜的窄帶。

（3）綜合孔隙胞元的受力分析和離散元數(shù)值結(jié)果表明，致密排列顆粒材料的剪脹性與微觀尺度上孔隙胞元的幾何結(jié)構(gòu)及其內(nèi)部的力鏈傳遞方式密不可分。

[1]REYNOLDS O. On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact, with experimental illustrations[J]. Philosophical Magazine (Series 5), 1885,20: 469－481.

[2]CASAGRANDE A. Characteristics of cohesionless soils affecting the stability of slopes and earth fills[J]. Journal of the Boston Society of Civil Engineers, 1936, 23(1):257－276.

[3]ROWE P W. The stress dilatancy relation for static equilibrium of an assembly of particles in contact[J].Proceedings of the Royal Society of London (Series A):Mathematical and Physical Sciences, 1962, 269: 500－527.

[4]HOME M R. The behavior of an assembly of rotund, rigid,cohesionless particles[J]. Proceedings of the Royal Society of London (Series A): Mathematical and Physical Sciences, 1965, 286: 62－97.

[5]MATSUOKA H. A microscopic study on shear mechanism of granular materials[J]. Soils and Foundations, 1974, 14(1): 29－43.

[6]LIU S H, MATSUOKA H. Microscopic interpretation on a stress-dilatancy relationship of granular materials[J].Soils and Foundations, 2003, 43(3): 73－84.

[7]常在, 楊軍, 程曉輝. 砂土強(qiáng)度和剪脹性的顆粒力學(xué)分析[J]. 工程力學(xué), 2010, (4): 95－104.CHANG Zai, YANG Jun, CHENG Xiao-hui. Granular mechanical analysis of the strength and dilatancy of sands[J]. Engineering Mechanics, 2003, 43(3): 73－84.

[8]秦建敏, 張洪武. 顆粒材料的微觀臨界狀態(tài)理論模型[J]. 巖土力學(xué), 2010, 31(12): 3697－3703.QIN Jian-min, ZHANG Hong-wu. Microscopic theoretical model of critical state for granular materials[J].Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(12): 3697－3703.

[9]張洪武, 秦建敏. 基于非線性接觸本構(gòu)的顆粒材料離散元數(shù)值模擬[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2006, 28(11): 1964－1969.ZHANG Hong-wu, QIN Jian-min. Simulation of mechanical behaviors of granular materials by discrete element method based on mesoscale nonlinear contact law[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2006, 28(11): 1964－1969.

[10]KRUYT N P, ROTHENBURG L. Micromechanical definition of the strain tensor for granular materials.ASME[J]. Journal of Applided Mechanics, 1996, 63(3):706－711.

[11]KUHN M R. Deformation measures for granular materials[C]//Mechanics of Deformation and Flow of Particulate Materials. New York: American Society of Civil Engineers, 1997: 91－104.