陳社明，盧文喜，羅建男，康 柱

1.吉林大學(xué)地下水資源與環(huán)境教育部重點實驗室，長春 130021

2.中國建筑材料工業(yè)地質(zhì)勘查中心吉林總隊，長春 130033

0 引言

干旱是世界上代價最高的自然災(zāi)害，每年在全球能夠造成60～80億美元的經(jīng)濟損失，它所影響的人口數(shù)量超過其他任何一種自然災(zāi)害［1］。各個部門或?qū)W科對干旱概念的定義不盡相同，一般把干旱分為氣象干旱、水文干旱、農(nóng)業(yè)干旱和社會經(jīng)濟干旱，氣象干旱是其他各類干旱發(fā)生的主要原因［2］。

目前，關(guān)于氣象干旱指標(biāo)已有大量的研究。根據(jù)建立途徑的不同可以把干旱指標(biāo)歸納為2類：一類是通過研究干旱機理，力圖細致地反映干旱涉及的各個物理過程，以干旱監(jiān)測指數(shù)（Palmer drought severity index，PDSI）［3］、KBDI（Keetch－Byram drought index）［1］和 WAWAHAMO（Wald Wasser Haushalts Modell）［4］等為代表；另一類則是通過氣象學(xué)方法研究降水量的統(tǒng)計分布規(guī)律，以反映干旱的強度和持續(xù)時間，代表性模型是McKee等在評估美國科羅拉多干旱狀況時提出的基于降水量的標(biāo)準(zhǔn)化降水指標(biāo)（standardized precipitation index，SPI）［5］。由于SPI能夠非常好地反映干旱的強度和持續(xù)時間，同時具有多時間尺度應(yīng)用的特性，使得用同一個干旱指標(biāo)反映不同時間尺度和不同方面的水資源狀況成為可能，因而得到廣泛應(yīng)用［6］。

相對于干旱指標(biāo)來說，國內(nèi)外對干旱分析方法的研究還比較薄弱，當(dāng)前的研究方法主要集中在游程理論、隨機模擬及非參數(shù)方法［7］。由于干旱可以視作時間軸上的點狀事件，所以干旱災(zāi)害的發(fā)生十分類似于典型的康托爾集（cantor），即局部與整體之間在一定標(biāo)度域內(nèi)具有自相似特征［8］。從數(shù)學(xué)的角度講，自相似性意味著標(biāo)度不變性［9］。20世紀(jì)70年代興起的分形理論能夠?qū)⒉煌叨认碌乃淖兞客ㄟ^標(biāo)度變換聯(lián)系起來，因此運用分形的理論和方法，對不同尺度下干旱的變化規(guī)律進行研究，具有重要的理論意義和實用價值。目前，分形理論已經(jīng)在我國多個地區(qū)的干旱特征分析中被應(yīng)用：馮平等［10］介紹了分形理論的基本概念及其分維值的計算方法，探討了干旱要素在一定標(biāo)度范圍內(nèi)的統(tǒng)計時間分形特征；朱曉華等［11］基于分形理論對中國旱澇災(zāi)害研究方面所存在的問題進行了分析；郭毅等［12］采用標(biāo)度變換法對隴中地區(qū)1368-1948年（明代至新中國建立前）各等級干旱災(zāi)害及旱季序列的時間分維值進行測算，并深入討論了各旱災(zāi)序列時間分維與其線性特征之間的關(guān)系。上述研究均側(cè)重于運用單重分形理論對干旱的分維值進行計算。然而，在實際研究中，人們發(fā)現(xiàn)自然界的分形結(jié)構(gòu)是極其復(fù)雜的，僅用一個分形維數(shù)來描述其精細結(jié)構(gòu)是不夠的。為了準(zhǔn)確反映這種復(fù)雜性，人們引入了多重分形的概念，多重分形也稱作多標(biāo)度分形。

筆者以標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)作為氣象干旱指標(biāo)，通過引入多標(biāo)度分析理論，運用乘法級聯(lián)模型對吉林西部地區(qū)氣象干旱的標(biāo)度性質(zhì)進行研究，了解其空間分布特征，以期為有效的干旱預(yù)測提供幫助，為干旱的研究提供新的途徑。

1 數(shù)據(jù)來源

吉林西部地區(qū)位于我國濕潤的東部季風(fēng)區(qū)和干旱內(nèi)陸之間的過渡帶，為半干旱半濕潤的大陸季風(fēng)氣候區(qū)。干旱是這一地區(qū)的主要氣候特征，部分區(qū)域干旱幾乎年年發(fā)生［13］。為了研究氣象干旱的標(biāo)度特征，本次研究共收集到研究區(qū)內(nèi)6個氣象站點1957年1月-2010年10月的月降水量數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來自于中國氣象科學(xué)數(shù)據(jù)共享服務(wù)網(wǎng)。6個站點的位置及其降水量序列見圖1，各站點降水統(tǒng)計結(jié)果見表1。

2 研究方法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)

McKee等1993年提出了標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)（SPI），用來確定有降水量記錄地區(qū)特定時間尺度的降水異常事件，其時空尺度反映區(qū)域不同持續(xù)時間的水資源特征［14］。SPI是根據(jù)降水量的概率分布計算累積概率，然后再轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。該指數(shù)具有優(yōu)良的計算穩(wěn)定的特性。根據(jù)Guttman等［15］提出的計算SPI過程，第一步是尋找能夠描述降水隨不同尺度分布的概率密度函數(shù)。在降水分析中，常采用伽馬函數(shù)作為概率密度函數(shù)，其概率分布為Γ分布，具體的計算過程見文獻［16］。

圖1 研究區(qū)范圍及降水量測站位置Fig.1 Location of study area and precipitation stations

表1 研究區(qū)各氣象站點基本特征Table1 Meteorological stations used in this study and their basic properties

根據(jù)SPI的大小，干旱可以分為4個等級。輕度干旱為－0.99～＜0；中度干旱范圍為－1.49～＜－0.99；嚴重干旱范圍為－1.99～＜－1.49；＜－1.99為極端干旱。

2.2 多標(biāo)度分形理論

定義隨機變量Yx，腳標(biāo)x為測量的尺度。根據(jù)分形理論，如果對任一個常數(shù)λ＞0，設(shè)Yλx為與尺度λx對應(yīng)的隨機變量，若存在一個關(guān)于λ的函數(shù)Cλ＝λθ使

則稱Y滿足標(biāo)度不變性，或具有標(biāo)度性質(zhì)。其中：P為概率；θ稱為標(biāo)度指數(shù)。θ可為與P無關(guān)的常數(shù)，此時稱為單標(biāo)度；也可與P有關(guān)，此時稱為多標(biāo)度［17］。

筆者通過分析不同尺度下干旱時間（負SPI月數(shù)）來分析各站點的標(biāo)度性質(zhì)。首先將負的SPI序列以時間尺度s分為相互不重疊的N 個時段。對不同的尺度s，分別計算各個時段內(nèi)的干旱月數(shù)F（s，i）；然后計算F（s，i）的q階矩，并對i求和，得到統(tǒng)計矩K（s，q）：

式中：N 是時段數(shù)，與研究時段長度有關(guān)；F（s，i）為時間尺度s下，i時段的干旱月數(shù)；s為時間尺度，月；q是階數(shù)，一般取值范圍在0到4之間。對于具有標(biāo)度性質(zhì)的變量，統(tǒng)計矩K（s，q）可以用尺度s和標(biāo)度指數(shù)τ（q）來表示［18］：

如果τ（q）為階數(shù)q的線性函數(shù)，則數(shù)據(jù)序列稱為單標(biāo)度分形；若為非線性函數(shù)，則稱為多標(biāo)度分形。當(dāng)數(shù)據(jù)為多標(biāo)度分形時，需要一個能夠描述τ（q）與q關(guān)系的函數(shù)形式。Over和 Gupta［19］提出的倍增串級模型能夠很好地反映兩者間的相互關(guān)系。因此，筆者采用文獻［19］中介紹的β－對數(shù)正態(tài)串級模型進行擬合，其具體形式如下：

式中，參數(shù)β和σ是擬合參數(shù)。其中：β表示數(shù)據(jù)的間歇程度（0≤β≤1）；σ2用來量化數(shù)據(jù)的標(biāo)度特征（σ≥0），σ2越大表明多標(biāo)度分形越明顯。因此，研究區(qū)干旱的多尺度特征分析，主要是計算參數(shù)σ2的大小。

3 計算結(jié)果的分析與討論

3.1 標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)的計算結(jié)果分析

根據(jù)研究區(qū)6個站點1957年1月-2010年12月的月降水資料，利用Visual Basic語言編制的計算程序包，計算出各站點的月SPI序列。為了驗證計算結(jié)果的穩(wěn)定性，以扶余站為例，將該站點10月份和5月份的降水量從小到大進行排序，并在表2中列出了降水量和SPI值排序前10的年份。根據(jù)表2數(shù)據(jù)對比可以看出，SPI較好地體現(xiàn)了降水量大小的變化趨勢，也反映了干旱程度的強弱。

表2 扶余站部分年份10月和5月降水量和SPI值排序結(jié)果Table2 Precipitation and SPI values for the October and May partial years in Fuyu station

由于本次主要研究干旱問題，因此，在分析中根據(jù)干旱分級表，只考慮月SPI為負數(shù)的月份。根據(jù)月SPI值大小，對研究時間段內(nèi)不同等級干旱發(fā)生的月份數(shù)進行統(tǒng)計，從而了解不同站點干旱程度，統(tǒng)計結(jié)果見表3。由表3中看出：在相同的研究時段內(nèi)，各個站點總的干旱月數(shù)近似相等，其中白城的干旱月數(shù)最多，為326個月；極端干旱中，通榆和長嶺月數(shù)最多，為14個月；嚴重干旱中，乾安月數(shù)最多，為25個月。

表3 不同干旱級別的月干旱統(tǒng)計結(jié)果Table3 Statistical results for monthly drought in different drought categories

3.2 干旱的標(biāo)度性質(zhì)分析

描述研究區(qū)各站點干旱的標(biāo)度性質(zhì)步驟如下：1）將以上計算得到的各站點SPI序列，去除正值后得到新的干旱序列。2）以不同的時間尺度s（s＝4i，i＝1，2，…，8）為單位，在整個統(tǒng)計時間域上劃分互不重疊的N個時段，計算各個時段內(nèi)干旱月數(shù)并計算其q階矩，將計算結(jié)果代入公式（3）得到統(tǒng)計矩K（s，q）。3）將各站點統(tǒng)計矩 K（s，q）和不同階數(shù)s繪制在雙對數(shù)坐標(biāo)中，確定不同階數(shù)下階矩與尺度曲線的斜率；當(dāng)階數(shù)為q時，根據(jù)公式（3）可以看出斜率的大小對應(yīng)標(biāo)度指數(shù)τ（q）；用β－對數(shù)正態(tài)串級模型擬合系列的q和τ（q）點，并用相關(guān)系數(shù)的平方來衡量擬合效果。4）根據(jù)擬合最好的曲線，確定β和σ2。

由圖2可以看出，在不同階距下，統(tǒng)計矩K（s，q）與尺度s在雙對數(shù)坐標(biāo)內(nèi)呈線性關(guān)系，說明各氣象站點氣象干旱具有標(biāo)度性質(zhì)。根據(jù)不同階數(shù)q對應(yīng)的斜率，可以計算出一系列的τ（q）－q散點，將各離散點繪制在平面坐標(biāo)內(nèi)，見圖3中圓點。根據(jù)散點分布可以看出τ（q）與q不是一條直線。因此，各站點干旱的發(fā)生在時間尺度上可以視為具有多標(biāo)度分形特征。將β－對數(shù)正態(tài)串級模型計算的曲線與觀察數(shù)據(jù)進行擬合。選取回歸系數(shù)（R）平方最大時對應(yīng)的β及σ2作為最終計算結(jié)果（表4）。

圖2 各站點0～4階統(tǒng)計矩與尺度的雙對數(shù)關(guān)系圖Fig.2 Double－logarithmic relationship diagram with statistical moments of 0－4order with the scale in all stations

圖3 各站點標(biāo)度指數(shù)與階數(shù)的擬合曲線Fig.3 Fitting curve with the scaling exponent and the order in all stations

從表4看出，σ2范圍從0.056 9到0.077 4，β范圍從0.016 4到0.034 5。σ2在各站點均不為0，這說明研究區(qū)內(nèi)各站點的干旱具有多標(biāo)度分形特征。依據(jù)參數(shù)σ2的大小，各站點多標(biāo)度分形特征的強弱排序為：長嶺＜通榆＜白城＜前郭＜扶余＜乾安。其中，乾安多標(biāo)度分形特征最強，長嶺多標(biāo)度分形最弱。

表4 各站點多標(biāo)度分形參數(shù)的擬合結(jié)果Table4 Fitting results of multifractal parameters in all stations

旱澇的發(fā)生在時間上表現(xiàn)為不連續(xù)的點過程，它不是簡單的直線，亦非可微分的曲線，而且從周期的角度出發(fā)，不同時間跨度的周期相互嵌套，長周期中包含短周期，短周期中又有更短的周期［10］。干旱的發(fā)生存在多時間尺度特征。在所受影響因素越復(fù)雜的地區(qū)，其干旱的多時間尺度越明顯，分布的層次結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，相應(yīng)的多標(biāo)度分形特征就越明顯［20］。因此，研究區(qū)不同站點多標(biāo)度分形特征在空間上的強弱不同，反映了各地區(qū)不同尺度或者周期氣候條件對干旱在時間上的影響。

根據(jù)前人研究結(jié)果，干旱的物理成因不僅與大氣圈有關(guān)，而且與水圈、巖石圈、生物圈、冰雪圈有關(guān)，其中大氣圈和水圈關(guān)系最為密切；其次與陸面過程有關(guān)，生物過程影響最?。?1］?？紤]研究區(qū)6個站點所處的大氣候條件相似，海拔高程也相差不大，因此，引起干旱多重分形特征不同的主要因素為海洋和陸地的熱狀況的影響，如具有一定周期特征的厄爾尼諾、南方濤動等中尺度氣候活動的影響。對于干旱趨向于單標(biāo)度特征的站點，干旱的發(fā)生受這種中尺度氣候的影響較為強烈和持續(xù)，表現(xiàn)出顯著的周期性；相反，對于趨向多標(biāo)度特征的站點，干旱的發(fā)生受這種氣候的影響相對較弱，從而導(dǎo)致干旱沒有顯著的周期。顯然，研究區(qū)內(nèi)扶余和乾安干旱的多標(biāo)度分形特征更加明顯，長嶺和通榆則趨向于單標(biāo)度分形。趨向于單標(biāo)度分形也就意味著干旱的發(fā)生具有一致性，隨尺度不同，干旱發(fā)生有規(guī)律的變動。多標(biāo)度性質(zhì)越明顯意味著干旱的發(fā)生受到的影響因素比較復(fù)雜，干旱發(fā)生的周期性不斷發(fā)生變化。

干旱的多重分形特征分析可為干旱的研究提供新的途徑，其分析結(jié)果有助于區(qū)分不同地區(qū)干旱特征在空間尺度上的差異性，為干旱預(yù)測模型的參數(shù)推斷提供參考。同時，分析結(jié)果還能夠指導(dǎo)不同地區(qū)干旱的分維值計算，評價哪些地區(qū)需要用多個分維值來反映干旱的分形特征。

4 結(jié)論

1）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)（SPI）的計算過程了解到，利用SPI作為干旱指數(shù)具有計算簡單、資料容易獲取、計算結(jié)果穩(wěn)定的特點。通過對研究區(qū)內(nèi)6個氣象站點1957年1月-2010年10月標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)的計算和分析表明，乾安縣發(fā)生的嚴重干旱月數(shù)最多，通榆和長嶺發(fā)生極端干旱的月數(shù)最多。

2）吉林西部氣象干旱的發(fā)生在時間尺度上均具有多標(biāo)度分形特征，但在不同站點多標(biāo)度分形的強度不同，表現(xiàn)出一定的空間差異性。其強弱次序為：長嶺＜通榆＜白城＜前郭＜扶余＜乾安。

3）由于多標(biāo)度分形能夠反映時間序列的奇異性，越復(fù)雜的事物，分布的層次結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，其多標(biāo)度分形特征就越明顯。研究區(qū)不同站點多標(biāo)度分形特征在空間上的強弱不同，反映了各地區(qū)不同尺度或者周期氣候條件對干旱在時間上的影響。越趨向于多標(biāo)度說明其干旱發(fā)生的規(guī)律性越弱，越趨向于單標(biāo)度說明其干旱發(fā)生的規(guī)律性越強。

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