金世欣,李莉,李彥敏

(1.商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 商丘 476000;2.商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院,河南 商丘 476000)

時間尺度是實數(shù)集上的任意非空閉子集.時間尺度上力學(xué)系統(tǒng)動力學(xué)理論統(tǒng)一和拓展了連續(xù)和離散力學(xué)系統(tǒng)理論,不僅能夠揭示連續(xù)和離散系統(tǒng)動力學(xué)之間的差別與聯(lián)系,而且更準(zhǔn)確地刻畫復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)的本質(zhì),有效地避免了出現(xiàn)差分方程和微分方程這兩種結(jié)果[1].考慮時間尺度的影響,研究非完整系統(tǒng)動力學(xué)特性,不僅可以更深入認(rèn)識系統(tǒng)本身,而且對相關(guān)領(lǐng)域的研究起到促進(jìn)作用.時間尺度上的微積分理論是由Hilger引入[2],其思想是統(tǒng)一和拓展連續(xù)和離散理論分析,其目的是將微分和差分理論融合一起進(jìn)行研究,分析它們之間的區(qū)別與聯(lián)系,避免了許多連續(xù)和離散問題的重復(fù)工作,同時也為研究微分和差分提供強有力的理論依據(jù).近年來,隨著時間尺度理論的發(fā)展和完善,使得時間尺度理論在科學(xué)和工程的很多領(lǐng)域(如數(shù)學(xué),最優(yōu)控制學(xué),物理學(xué),經(jīng)濟學(xué),力學(xué)等)得到越來越廣泛應(yīng)用[3-7].

2004年Bohner[8]、Hilscher和Zeidan[9]討論了時間尺度上動力學(xué)系統(tǒng)的變分問題.關(guān)于時間尺度上動力學(xué)系統(tǒng)的Noether守恒量有兩種類型.第一種類型是Bartosiewicz和Torres[10]建立的時間尺度上動力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理,并利用時間重新參數(shù)法給出了Noether定理的證明.此后,Bartosiewicz[11,12]等建立了時間尺度上動力學(xué)系統(tǒng)的第二Euler-Lagrange方程,并基于第二Euler-Lagrange方程給出了時間尺度上Noether定理的另一證明方法.近年來,在Bartosiewicz和Torres等研究工作的基礎(chǔ)上,關(guān)于時間尺度上動力學(xué)系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量理論問題得到了進(jìn)一步的完善和發(fā)展[13-24].第二種類型是Cresson[25]團隊提出的時間尺度上動力學(xué)系統(tǒng)的Noether型定理,并用直接法給出了時間尺度上Noether定理的證明.zhɑng[26,27]等給出并證明了時間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理,揭示了時間尺度上Noether對稱性與守恒量之間的聯(lián)系,并推廣到了分?jǐn)?shù)階時間尺度上的Noether定理,給出了時間尺度上分?jǐn)?shù)階Noether守恒量的數(shù)值分析,并進(jìn)一步討論了時間尺度上廣義Chaplygin系統(tǒng)的攝動與絕熱不變量和時間尺度上非遷移動力學(xué)系統(tǒng)的Mei對稱性[28,29].本文基于Cresson 團隊和zhɑng的工作,進(jìn)一步研究時間尺度上非完整系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對稱性與守恒量,將時間尺度上Noether對稱性方法應(yīng)用于時間尺度上非完整系統(tǒng),分別基于時間尺度上Birkhoff框架、Lagrange框架和Hamilton框架,建立時間尺度上Noether準(zhǔn)對稱性和Noether等式,并用直接法證明時間尺度上的Noether守恒量.

1 時間尺度上Lagrange框架下的Noether守恒量

設(shè)在時間尺度上Lagrange框架下,時間尺度上非完整系統(tǒng)動力學(xué)方程可化為相應(yīng)的時間尺度上一般完整系統(tǒng)的Lagrange方程

(1)

引入時間變換的無限小群變換

(2)

其中,ξ0,ξs是生成元.

于是,有

(3)

則該系統(tǒng)存在如下形式的時間尺度上的Noether守恒量

(4)

證明 將式(4)兩邊對t同時求Δ導(dǎo)數(shù),并利用式(3)和方程(1),可得

(5)

因此,式(4)是時間尺度上Lagrange框架下的Noether守恒量.

2 時間尺度上Hamilton框架下的Noether守恒量

若令

(6)

則時間尺度上Lagrange框架下的動力學(xué)系統(tǒng)就化為了時間尺度上Hamilton框架下的動力學(xué)系統(tǒng).則時間尺度上非完整系統(tǒng)動力學(xué)方程可化為時間尺度上相空間中一般完整系統(tǒng)的Hamilton方程,有

(7)

引入時間變換的無限小群變換

(8)

其中,ξ0,ξs和ηs是生成元.

于是,有

(9)

則該系統(tǒng)存在如下形式的時間尺度上的Noether守恒量

(10)

證明 將式(10)兩邊對t同時求Δ導(dǎo)數(shù),并利用式(9)和方程(7),可得

(11)

故式(10)是無限小群變換(8)下的時間尺度上Hamilton框架下的Noether守恒量.

3 時間尺度上Birkhoff框架下的Noether守恒量

若取

(12)

則時間尺度上Hamilton框架下動力學(xué)系統(tǒng)為時間尺度上Birkhoff框架下的動力學(xué)系統(tǒng)特例.則時間尺度上非完整系統(tǒng)動力學(xué)方程可化為相應(yīng)時間尺度上廣義Birkhoff方程,有

(13)

引入時間變換的無限小群變換

(14)

其中,ξ0,ξs是生成元.

于是,有

(15)

則該系統(tǒng)存在如下形式的時間尺度上的Noether守恒量

(16)

證明 將式(16)兩邊對t同時求Δ導(dǎo)數(shù),并利用式(15)和方程(13),可得

(17)

因此,式(16)是時間尺度上Birkhoff框架下的Noether守恒量.

4 討 論

若T=P,則σ(t)=t,μ(t)=0,則時間尺度上非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)運動微分方程(1),(7)和(13)就成為[30,31]

(18)

(19)

(20)

其中Rω=Rω(t,aρ)是Birkhoff函數(shù)組,B=B(t,aρ)是Birkhoff函數(shù),Λω=Λω(t,aρ)為附加項.

定理1、定理2和定理3就成為:

(21)

則該系統(tǒng)存在如下形式的Noether守恒量

(22)

推論2對于非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)(19),如果無限小群變換下的生成元和規(guī)范函數(shù)G=G(t,qs,ps),滿足如下等式

(23)

則該系統(tǒng)存在如下形式的Noether守恒量

IN=psξs-Hξ0+GN=const.

(24)

推論3對于非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)(20),如果無限小群變換下的生成元和規(guī)范函數(shù)G=G(t,aω),滿足如下等式

(25)

則該系統(tǒng)存在如下形式的Noether守恒量

IN=Rωξω-Bξ0+GN=const.

(26)

若T=hZ時,σ(t)=t+h,μ(t)=h,則時間尺度上非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)運動微分方程(1),(7)和(13)就成為

(27)

其中,L=L(t,qs(t+h),Δtqs)為離散Lagrange函數(shù),Qs=Qs(t,qs(t+h),Δtqs)為非勢廣義力.

(28)

(29)

其中,Rω=Rω(t,av(t+h))是Birkhoff函數(shù)組,B=B(t,av(t+h))是Birkhoff函數(shù),Λω=Λω(t,av(t+h))為附加項.

定理1、定理2和定理3就成為:

推論4對于非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)(27),如果無限小群變換下的生成元和規(guī)范函數(shù)G=G(t,qk(t+h),Δtqk),滿足如下等式

Qs(ξs(t+h)-Δtqs(t+h)ξ0(t+h))+ΔtGN=0

(30)

則該系統(tǒng)存在如下形式的離散Noether守恒量

(31)

推論5對于非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)(28),如果無限小群變換下的生成元和規(guī)范函數(shù)G=G(t,qs(t+h),ps),滿足如下等式

(32)

則該系統(tǒng)存在如下形式的離散Noether守恒量

IN=psξs-Hξ0+GN=const.

(33)

推論6對于非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)(29),如果無限小群變換下的生成元和規(guī)范函數(shù)G=G(t,aω(t+h)),滿足如下等式

BΔtξ0+Λυ(ξυ(t+h)-Δtaυ(t+h)ξ0(t+h))+ΔtGN=0

(34)

則該系統(tǒng)存在如下形式的離散Noether守恒量

IN=Rωξω-Bξ0+GN=const.

(35)

5 例 題

例1時間尺度上勻質(zhì)圓球純滾動問題.時間尺度上動力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(36)

系統(tǒng)所受約束為

(37)

試討論該系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量.

相應(yīng)完整系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)和非勢廣義力為

(38)

(39)

由式(3),可得

(40)

方程(40)有解

ξ0=0,ξ1=1,ξ2=ξ3=0,G=0

(41)

由式(4),得到守恒量

(42)

若T=P時,則σ(t)=t,μ(t)=0,則守恒量(42)就成為

(43)

若T=hZ時,σ(t)=t+h,μ(t)=h,則守恒量(42)就成為

(44)

例2時間尺度上Duffing方程為

qΔΔ+qσ+(qσ)3=0

(45)

試討論該系統(tǒng)時間尺度上Noether對稱性與守恒量.

方程(45)可化為相空間中一般完整系統(tǒng)的時間尺度上Hamilton方程,有

(46)

由式(9),可得

(47)

方程(47)有解

ξ0=0,ξ=1,G=-qΔ

(48)

由式(10)可得

I=p-qΔ=const.

(49)

例3時間尺度上非線性耦合振子方程為

(50)

其中,ω1,ω2和α為常數(shù),試研究該系統(tǒng)時間尺度上Noether對稱性與守恒量.

令

a1=x,a2=y,a3=xΔ,a4=yΔ

(51)

方程(50)可化為時間尺度上廣義Birkhoff方程,有

(52)

由式(15),可得

(52)

方程(52)有解

(53)

由式(16)可得系統(tǒng)的守恒量為

(54)

6 結(jié) 論

文章通過分析時間尺度上Noether準(zhǔn)對稱討論時間尺度上非完整系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對稱性及其守恒量.基于時間尺度上Lagrange框架、Hamilton框架和Birkhoff框架,將非完整系統(tǒng)動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)一般完整系統(tǒng)的運動微分方程,建立了無限小群變換下的時間尺度上Noether準(zhǔn)對稱性和廣義Noether等式,給出并用直接法證明了時間尺度上的Noether守恒量(定理1-定理3).結(jié)果表明:時間尺度上Lagrange框架下的Noether守恒量與時間尺度上Hamilton框架下的Noether守恒量等價,而時間尺度上Hamilton框架下的Noether守恒量是時間尺度上Birkhoff框架下的Noether守恒量的特例.當(dāng)T=P時,時間尺度上Noether守恒量就成為了經(jīng)典動力學(xué)系統(tǒng)的Noether守恒量(推論1-推論3).當(dāng)T=hZ時,時間尺度上Noether守恒量就成為離散動力學(xué)系統(tǒng)的Noether守恒量(推論4-推論6).本文的方法和結(jié)果具有普遍性,可進(jìn)一步推廣應(yīng)用于含有兩個及以上小參數(shù)的或含有多個獨立變量的時間尺度上非完整動力學(xué)系統(tǒng)、時間尺度上的最優(yōu)控制系統(tǒng)等.