鄒元奕，王 瑩

（上海電力學院，上海 201300）

在非線性科學中最典型的現(xiàn)象之一就是混沌現(xiàn)象，“蝴蝶效應”是其最明顯的特性。它是由確定性方程描述的簡單系統(tǒng)，但產生的結果則是極為復雜的、貌似隨機的無規(guī)則運動現(xiàn)象，其結果主要表現(xiàn)為高度依賴初始條件[1－2]。目前用于觀察混沌現(xiàn)象的實驗裝置中最典型的是由美國Berkeley大學的Leon O Chua提出的蔡氏電路，它是能產生混沌行為的最小、最簡單的三階自治電路[3]。但是，蔡氏非線性電路存在著混沌現(xiàn)象不直觀、定量測量過于簡單或可操作性不強等問題。為了避免上述現(xiàn)有技術所存在的不足，依據非線性動力學混沌理論，采用先進的基于PASCO系統(tǒng)的數據采集技術，開設出適應大學物理實驗教學的基于外力驅動的混沌擺實驗如圖1所示。在本實驗裝置上能夠結合實驗現(xiàn)象、實驗測量數據，直觀地觀察和定量研究該系統(tǒng)周期運動與混沌運動的相互轉換過程，并能夠觀察到初始條件敏感性這一混沌的重要特性[4－6]。

1 實驗原理與方法

1.1 實驗原理

混沌擺的動力學方程[4－6]，為

圖1 磁阻尼混沌擺示意圖

其中轉輪圓盤的轉動慣量I＝MR2／2，（θ表示轉輪的轉角；磁阻尼系數為μ，彈簧的勁度系數為k，Ic為偏心圓柱的轉動慣量。ΔL0是初始位置時的彈簧的伸長，LC，LC0分別為初始時刻和時刻外部策動振幅，Φ0為初始相角，ω為策動力角速度，A為策動振幅，LA和LB表示外部策動力與轉輪的距離。

當外部無策動力和磁場阻尼系數時，該裝置構成保守動力學系統(tǒng)，式（4）簡化為˙θ＝ω˙ω＝系統(tǒng)沒出現(xiàn)混沌，系統(tǒng)對初始值不敏感。當有外部策動力和阻尼存在時，該系統(tǒng)將呈現(xiàn)復雜但有規(guī)律可循的混沌現(xiàn)象，這些性質依賴于驅動振幅AC、振動頻率ω和轉動初始角θ等可調節(jié)實驗參量。

1.2 實驗裝置簡介

PASCO系統(tǒng)是計算機在物理實驗中應用的一個很好的平臺.本實驗由轉動傳感器，見圖2、光電門、750數據接口、計算機各部分組成，其中轉動傳感器可測量旋轉和線性移動，光電門可記錄周期和頻率。

圖2 磁阻尼擺裝置實物圖

1.3 實驗過程與方法

1.3.1 無外驅動力時的非混沌振蕩

扭磁鐵到圓盤直到3mm遠。去掉驅動上的供電，觀察角位置－時間關系圖的形狀，角速度－角位置關系圖，理解相圖的意義。如圖3所示，角位置－時間圖是正弦的，并且在衰減。如角速度－角位置圖呈螺線形，如圖4所示。

圖3 磁鐵離開3mm時的角位置－時間圖

圖4 磁鐵離開3mm時的角速度－角位置圖

1.3.2 有外驅動力時的非混沌振蕩

（1）當驅動臂振幅在3.3cm左右，磁鐵距離大約4mm遠離圓盤，以5.2V的電壓驅動驅動臂。角位置－時間圖為正弦曲線，周期T＝2s，由于供電后驅動臂帶動了彈簧給予了圓盤外力，因此與之前的角位置－時間圖不同沒有衰減，如圖5所示。角速度－角位置圖在振動進行了一定時間后，趨于穩(wěn)定變化，如圖6。

1.3.3 有外驅動力時的混沌振蕩

圖5 振幅3.3cm電壓5.2V磁鐵離開4mm時的角位置－時間圖

圖6 振幅3.3cm電壓5.2V磁鐵離開4mm時的角速度－角位置圖

圖7 電壓4.6V磁鐵最遠時的角位置－時間圖

為了進一步使擺的運動復雜化，將驅動臂設置為最長以增大彈簧的振蕩，將磁鐵調整到離圓盤6mm的距離以減小阻尼量，我們通過改變驅動電壓，尋找混沌現(xiàn)象，當電壓為4.6V時，角位置－時間圖，見圖7、是非正弦的，周期約為40s，顯然與振動臂的轉動周期是不同的，從角速度－角位置圖來看，圓盤產生了混沌的運動狀態(tài)，出現(xiàn)了混沌效應的典型的雙吸引子現(xiàn)象，如圖8。

圖8 電壓4.6V磁鐵最遠時的角速度－角位置圖

在實驗中仔細觀察奇異吸引子相圖，會發(fā)現(xiàn)當相圖存在吸引子現(xiàn)象時，轉向混沌擺的實際運動，銅圓柱時而做小振幅的周期運動時而角度超過一個圓周，有時可以一直不停旋轉多圈，然后再作小振幅周期運動.盡管無法預料軌跡將在何時從一邊跳到另一邊，但是相軌道總不會超出邊界，也絕不會自相重復.而此時對應于雙吸引子的相圖，則是吸引子首先由外向內繞若干圈，轉到圓心附近時將隨機跳躍，繼續(xù)向內繞若干圈后再突然跳回原來的周期。

通過上述實驗的過程，依次改變PASCO混沌擺系統(tǒng)的參量，還可以研究混沌現(xiàn)象對初值的敏感性為，可觀察1周期，或多周期的單吸引子等現(xiàn)象。

2 結 論

實驗裝置克服了目前用于觀察混沌現(xiàn)象的多數物理實驗裝置普遍存在的觀察不直觀、定量研究過于簡單和操作性不強等問題。學生通過本實驗進行觀察、研究混沌運動過程，可以掌握和獲得現(xiàn)代物理學知識，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，達到理想的物理實驗教學效果。

[1]吳本科，肖蘇，朱志峰，等.音叉混沌實驗儀的研制[J].實驗室科學，2010（6）：149－151.

[2]吳本科，蔣涼.音叉弦線受迫振動系統(tǒng)的計算機模擬研究[J].物理實驗，1996（1）：14－16.

[3]Chua L O，Wu Chaiwah，Huang Anshan，et al.A U－niversal Circuit for Studying and Generating Chaospart II：Strange Attractors[J].IEEE Transactions on Circurts and Systems，1993，40（10）：745－761.

[4]朱桂萍，王健.混沌擺系統(tǒng)的動力學分析和數值模擬[J].揚州大學學報：自然科學版，2008，11（3）：27－30.

[5]韓曉茹，傅筱瑩.基于PASCO系統(tǒng)的混沌擺實驗[J].物理實驗，2011（11）：5－9.

[6]張巖義，王鵬飛，喬改星.利用欠阻尼振動測液體粘滯系數實驗研究[J].大學物理實驗，2012（5）：35－37.