趙芳燕

（奉化市西塢街道白杜小學(xué)，浙江 奉化 315500）

運(yùn)算是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的一條教學(xué)主線。良好的運(yùn)算能力既是學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的奠基，也是一個人必備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一。課程改革對運(yùn)算教學(xué)提出了很多新的理念，但在實(shí)踐中卻又出現(xiàn)了新的問題，筆者在一項(xiàng)問卷調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，教師普遍對新課程實(shí)施以來學(xué)生的計算技能發(fā)展持不樂觀態(tài)度，集中反映的問題有：計算正確率呈下降趨勢，運(yùn)算能力不穩(wěn)定；基礎(chǔ)運(yùn)算掌握較好，但綜合運(yùn)算的速度大幅下降；班級中部分學(xué)生不能夠靈活運(yùn)算，對運(yùn)算產(chǎn)生厭倦感等等。

不可否認(rèn)，運(yùn)算教學(xué)的終極目標(biāo)不僅僅是讓學(xué)生具有比較熟練的運(yùn)算技能，但這絕不是要放棄對運(yùn)算技能的關(guān)注。運(yùn)算是技能和思考的結(jié)合，運(yùn)算能力含結(jié)果和過程兩個方面。結(jié)果應(yīng)該是正確的，過程應(yīng)該是簡潔合理的。在實(shí)踐課改優(yōu)秀理念的同時，如何最大限度地避免運(yùn)算技能的弱化現(xiàn)象，達(dá)到過程與結(jié)果的和諧統(tǒng)一？這就需要我們更深入地分析學(xué)生運(yùn)算能力的形成過程。從教育心理學(xué)角度來看，運(yùn)算能力的形成一般要經(jīng)過認(rèn)知、分解、組合、自動化四個階段。認(rèn)知階段主要是讓學(xué)生理解算理、明確方法，隨著學(xué)習(xí)的深入，復(fù)雜的運(yùn)算技能又總是可以分解為若干單一的技能，對分解的單一技能進(jìn)行必要的訓(xùn)練并逐漸組合，才能形成復(fù)合型技能，再通過綜合性訓(xùn)練達(dá)到自動化階段。審視這四個關(guān)鍵階段，我們的教學(xué)又缺失了什么？帶著這樣的視角去觀察，我們不難找到其中存在著的幾個“斷層”。

斷層一：運(yùn)算形式與內(nèi)涵思考

模仿學(xué)習(xí)在小學(xué)階段仍占有較高比重，運(yùn)算方法或過程常常也是以規(guī)范的形式展現(xiàn)出來的，然而很多學(xué)生往往是知其然而不知其所以然，其認(rèn)知水平上的運(yùn)算方法與知識結(jié)構(gòu)水平上的算理脫節(jié)，也就特別會出錯。比如在多位數(shù)乘法中，面對每次乘得的積的對位問題，有的學(xué)生只是記住了“階梯狀”的對位形式，可是一旦遇到了因數(shù)中間或末尾有0的情況，錯誤率就會大大增加，因?yàn)閷W(xué)生的認(rèn)知停留在形式模仿上而缺少對算理的理解。

斷層二：新授技能與分解技能

如果我們將小學(xué)階段的運(yùn)算體系看作是一幢大廈，那么基礎(chǔ)的加、減、乘、除一步運(yùn)算無疑是這幢大廈的基石。之后學(xué)習(xí)的運(yùn)算無論有多么復(fù)雜，都可以分解為若干個基礎(chǔ)技能。如除數(shù)是一位數(shù)的除法，其實(shí)就是“除、乘、減”一步運(yùn)算的反復(fù)，三位數(shù)乘兩位數(shù)，就可以分解為多次的乘加運(yùn)算。但在實(shí)際教學(xué)中，教師往往忽視了對復(fù)雜運(yùn)算的分解，將其看作是全新的知識來教學(xué)，這就會導(dǎo)致在算法探究上無法突出主次；再者，對學(xué)生缺乏必要的多樣化分解指導(dǎo)，往往為運(yùn)算而運(yùn)算，為單一方法而方法，不知靈活變通，久而久之，學(xué)生思維趨于僵化，減緩了運(yùn)算技能的形成。

斷層三：低級運(yùn)算與高級運(yùn)算

如果我們把學(xué)生在一二年級學(xué)習(xí)的加減乘除一步運(yùn)算稱之為低級運(yùn)算，那么之后在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的運(yùn)算則可稱之為高級運(yùn)算。從低一級運(yùn)算到高一級運(yùn)算的過渡看似循序漸進(jìn)，但如何更好地將技能組合銜接卻至關(guān)重要。高一級運(yùn)算往往需要學(xué)生有嫻熟的“基本功”。如在多位數(shù)乘一位數(shù)的運(yùn)算中，學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)不是運(yùn)算法則或書寫格式，而是進(jìn)位問題，如58乘9，學(xué)生在算到“五九四十五”再加前面進(jìn)上來的7時最容易出錯，什么原因？因?yàn)閷W(xué)生在豎式中，進(jìn)行的運(yùn)算是“不可視”的乘加口算，而在平時的口算練習(xí)中，可視性的乘加口算也很少，更不用說不可視口算了，因此學(xué)生錯誤較多。

斷層四：技能習(xí)得與自動化

運(yùn)算作為小學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的一塊重要內(nèi)容，在每一冊中都有幾個單元的分布，這些單元互相聯(lián)系、互為基礎(chǔ)，共同螺旋構(gòu)成了學(xué)生的運(yùn)算學(xué)習(xí)體系，也是學(xué)生運(yùn)算技能發(fā)展的主要路徑。兩個相關(guān)聯(lián)的運(yùn)算單元間往往隔著其他知識的學(xué)習(xí)，這期間的銜接容易出現(xiàn)斷層；再加上實(shí)驗(yàn)教材中基本運(yùn)算題量減幅較大，運(yùn)算訓(xùn)練的斷續(xù)影響了學(xué)生運(yùn)算技能的自動化水平。

綜上所述，導(dǎo)致學(xué)生運(yùn)算技能弱化的“斷層”在運(yùn)算技能形成的各個階段均有分布。換句話說，如果在技能形成的認(rèn)知和分解階段，教師能夠帶領(lǐng)學(xué)生有效經(jīng)歷“算法探究——算理體悟——分解形成”的全過程，那么無疑為后續(xù)訓(xùn)練奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)；如果在技能形成的組合和自動化階段，教師能夠“胸有全局”“瞻前顧后”，降低運(yùn)算階梯間的跨度、合理孕伏針對性和長效性訓(xùn)練，那么學(xué)生運(yùn)算技能的熟練度、正確性和靈活性就能得到有效保證。基于這樣的思考，筆者以為在當(dāng)前的運(yùn)算教學(xué)中，我們需要及時修復(fù)各個階段的“斷層”，做好關(guān)鍵點(diǎn)的銜接工作，從而最大限度地修正學(xué)生運(yùn)算技能的弱化現(xiàn)象。

一、加深算理體悟，有效銜接算法形式與內(nèi)涵思考

眾所周知，“算理”是學(xué)生走向“算法”的橋梁，過于注重“算法”的形式化模仿，固然可以在短期內(nèi)收到一定效果，卻猶如空中樓閣，很難穩(wěn)固。過多的形式化模仿還會使學(xué)生在運(yùn)算學(xué)習(xí)中偏重結(jié)果的簡單化獲取，偏廢對運(yùn)算過程的內(nèi)涵思考。因此，教師應(yīng)注重在每一次的算法探究階段精心設(shè)計算理體悟環(huán)節(jié)，從而為算法的形成提供有力支撐、為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實(shí)基礎(chǔ)。

如在教學(xué)“筆算除數(shù)是一位數(shù)除法”一課時，一位教師為了讓學(xué)生更好地理解“兩層豎式”的算理，掌握算法，設(shè)計了如下環(huán)節(jié)：

（1）根據(jù)情境操作：48個桃子，平均分給兩只猴子，怎么分呢？用小棒代替桃子分一分，并用數(shù)學(xué)的方式把分的過程表示出來。

（2）反饋方法，并輔以課件演示：

（3）討論：這些方法都能清楚地表示出分桃子的過程嗎？（得出，分層豎式能更清楚）

（4）建立聯(lián)系：分層豎式與第一種橫式在方法上有什么相同的地方？（使用色塊使豎式計算與橫式進(jìn)行對照）

（5）再次演示分小棒的過程，學(xué)生邊說算理邊寫豎式。

在上述環(huán)節(jié)中，教師采用“直觀操作——方法表征——討論深化——聯(lián)系比較——梳理內(nèi)化”的流程，使學(xué)生在“數(shù)形結(jié)合”的具體背景下建構(gòu)起分層豎式的計算模型，在這個過程中，學(xué)生既有對分層豎式的優(yōu)勢感悟，又有對每一層豎式、每一個數(shù)的內(nèi)涵理解，使得學(xué)生的運(yùn)算不再是簡單的形式模仿。

再如《乘法分配律》，很多老師往往比較強(qiáng)調(diào)對于（a+b）×c=a×c+b×c的形式，然而若遇到 64×36+64×64或者64×99+64的題時，就有很大一部分學(xué)生無所適從，無法靈活運(yùn)用簡算。究其原因就在于學(xué)生缺乏對算法內(nèi)涵的思考，如果在運(yùn)算定律探究中能夠緊密結(jié)合具體情境或線段圖，引導(dǎo)學(xué)生通過情境聯(lián)系、數(shù)形結(jié)合的方式整體著眼，想清楚是“幾個64”加（減）“幾個64”，并且加強(qiáng)此類訓(xùn)練，那么學(xué)生對于乘法分配律的結(jié)構(gòu)理解就能更深刻清晰。

當(dāng)然，要想切實(shí)加深學(xué)生對算理的感悟，我們還要根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和教學(xué)內(nèi)容選擇合適的策略。如學(xué)習(xí)退位減法時直觀的動手操作、學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時的數(shù)形結(jié)合、學(xué)習(xí)運(yùn)算定律時的舉例歸納等等，在算理理解的同時要關(guān)注學(xué)生思維的同步和外化（語言表述），從而在手、口、腦等感官的協(xié)作參與下立體地感悟算理，為技能的形成奠基。

二、注重靈活分解，有效銜接新舊運(yùn)算技能

運(yùn)算教學(xué)的關(guān)鍵一點(diǎn)就是要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)建構(gòu)特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生把新知分解成若干個基本技能，降低學(xué)習(xí)難度，納入自己的已有技能體系之中。

以《多位數(shù)乘一位數(shù)》為例，我們首先要明確的是：不要把這節(jié)課作為全新的知識去教學(xué)，因?yàn)閺倪\(yùn)算過程來看，它其實(shí)可以分解成多次乘加。換言之，只要學(xué)生有了這種“分解”的意識，那么算法的形成也就不存在多大的困難。為此，我們可以在學(xué)生理解算理、初步形成算法后引導(dǎo)學(xué)生思考：“在計算多位數(shù)乘一位數(shù)時，我們用到了哪些過去的知識？”“如果第一個因數(shù)有5位、6位甚至更多，我們怎樣去運(yùn)算？”從而讓學(xué)生認(rèn)識到多位數(shù)乘一位數(shù)時，不管其中一個因數(shù)有幾位，都可以分解成幾次簡單的乘加，從而將其更快地納入到舊有的技能體系中。

當(dāng)然，上例只能作為運(yùn)算分解的第一層次，我們姑且稱之為通法，即按標(biāo)準(zhǔn)程序運(yùn)算。其實(shí)，學(xué)生的技算技能強(qiáng)弱歸根到底還與自身的數(shù)感有著密切的聯(lián)系。擁有良好數(shù)感的學(xué)生在運(yùn)算時往往能夠擺脫固有模式，善于從不同的角度思考問題，重建思維模式，且對數(shù)的大小、結(jié)果正確與否有著敏銳的直覺。因此，在教學(xué)中，教師更要充分關(guān)注學(xué)生對數(shù)的靈活分解，倡導(dǎo)算法多樣化，增強(qiáng)學(xué)生的“數(shù)感”。如“252×4”的運(yùn)算中，除按標(biāo)準(zhǔn)程序筆算外，學(xué)生還可以有如下個性化算法：

允許和鼓勵學(xué)生通過對數(shù)的具體拆分，將新知靈活地分解為較簡單的幾步，使新舊技能進(jìn)行充分的融合，使學(xué)生在一次次的分解中積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，提高運(yùn)算技能。要做到這一點(diǎn)，就需要教師吃透教材，厘清各種運(yùn)算間的聯(lián)系，在教學(xué)中不僅關(guān)注對算理的感悟和理解，更要時時滲透“轉(zhuǎn)化”意識、“靈活運(yùn)算”意識，由繁及簡，通過對新知的靈活分解更快地消化新知。

三、重視基本功訓(xùn)練，有效銜接低高級運(yùn)算

“基本功”是指學(xué)習(xí)某一個知識點(diǎn)、解決某一個問題策略所需要的基礎(chǔ)，對這些基本功，宜采取“早期孕伏、提前訓(xùn)練”的方法，有意識地滲透在前期有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中。小學(xué)各階段學(xué)生運(yùn)算學(xué)習(xí)呈螺旋上升狀態(tài)，從口算到筆算到混合運(yùn)算，從一步運(yùn)算到兩、三步運(yùn)算，每一次的技能提升都必須以之前技能為基礎(chǔ)，許多學(xué)生往往是沒有具備一定的基本功，構(gòu)成了高一級運(yùn)算技能形成的“絆腳石”。

仍以乘除法筆算為例，學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本的加減乘除口算，正確率也較高，但為什么一到筆算，即便老師講清了算理與算法，學(xué)生還是頻頻出錯呢？顯然并不是因?yàn)樗麄儾粫?，而是在筆算乘除法之間需要兩項(xiàng)“基本功”：筆算乘法中的進(jìn)位需要在頭腦中進(jìn)行乘加兩步運(yùn)算；筆算除法則需要在頭腦中完成試商、調(diào)商的過程。抓住了這兩點(diǎn)，也就為學(xué)生口算和筆算的順利過渡鋪好了臺階。有些老師雖然考慮到了這點(diǎn)，在口算練習(xí)中也有乘加、（ ）里最大能填幾等練習(xí)，但訓(xùn)練不夠到位，不妨在練習(xí)乘加口算時，增加“不可視”的口算，比如聽算練習(xí)；在練習(xí)（ ）里最大能填幾時，尤其加強(qiáng)諸如48×（ ）＜150之類的方法指導(dǎo)和練習(xí)，這樣一來就為打通不同運(yùn)算類型、不同運(yùn)算難度之間的壁壘做好了充足準(zhǔn)備，有利于提高運(yùn)算的正確率和速度。

正所謂“磨刀不誤砍柴功”。一般來說，在不同形式和類型的運(yùn)算學(xué)習(xí)前，都需要教師分析學(xué)生需要的基礎(chǔ)和掌握情況，提前進(jìn)行針對性的基本功訓(xùn)練。如學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”之前對通分的訓(xùn)練、“小數(shù)除法”之前對小數(shù)點(diǎn)移動的訓(xùn)練等等。在訓(xùn)練時，要特別關(guān)注前置性、有效性和針對性，而不是臨時抱佛腳。

四、合理規(guī)劃訓(xùn)練，有效銜接技能習(xí)得與自動化

課標(biāo)修訂稿指出：“教師應(yīng)把握技能形成的階段性，根據(jù)內(nèi)容的要求和學(xué)生的實(shí)際，分層次落實(shí)?！边\(yùn)算技能的形成和鞏固需要有足夠的練習(xí)次數(shù)和時間，同時注重訓(xùn)練的實(shí)效性。對學(xué)生運(yùn)算技能的訓(xùn)練既需要一定的集中訓(xùn)練，也需要細(xì)水長流式的分散性、過渡性訓(xùn)練，從當(dāng)前現(xiàn)狀來看，教師往往能夠較好地關(guān)注前者，而對后者則缺乏關(guān)注。

基于此，我們在教學(xué)中不妨采取“集中訓(xùn)練”與“分散訓(xùn)練”交錯進(jìn)行的方法。比如在“小數(shù)除法”學(xué)習(xí)初期，安排學(xué)生每天進(jìn)行6～8題的集中訓(xùn)練，接下來每周做3～4次運(yùn)算練習(xí)，每次2～4道，分散到其他單元學(xué)習(xí)中作為補(bǔ)充，并依次拉長練習(xí)的距離。在分散訓(xùn)練期間，既要突出重點(diǎn)，加強(qiáng)對小數(shù)除法的運(yùn)算訓(xùn)練，也要統(tǒng)籌兼顧，穿插小數(shù)乘法、整數(shù)四則運(yùn)算、簡便運(yùn)算等內(nèi)容；還要做到“動態(tài)調(diào)整”，即根據(jù)學(xué)生運(yùn)算中的易錯類型設(shè)計訓(xùn)練內(nèi)容。這樣細(xì)水長流式的練習(xí)負(fù)擔(dān)不重，持之以恒必將提高運(yùn)算的正確率和速度，加快學(xué)生從運(yùn)算技能的“習(xí)得”向“自動化”轉(zhuǎn)變的進(jìn)程。

總之，學(xué)生運(yùn)算技能的形成依賴于每個階段的有效落實(shí)，我們不能將學(xué)生運(yùn)算技能的弱化簡單地歸結(jié)于個體差異、教材編排等因素，而要著眼于學(xué)生運(yùn)算技能的發(fā)展變化過程，細(xì)致修復(fù)其間可能出現(xiàn)的“斷層”，有效做好銜接工作，才能更好地幫助學(xué)生形成良好的運(yùn)算技能。

[1]唐少雄.注重探究過程形成運(yùn)算技能http://bcy.shuren100.com/wwrs/170435.shtml.2008（12）.

[2]江義英.對運(yùn)算技能訓(xùn)練的思考[OL]http://www.doc88.com/p-29755424166.html.2010（18）.

[3]張?zhí)煨?.小學(xué)新思維數(shù)學(xué)研究[M].浙江大學(xué)出版社2011（07）.