張 偉，柳 萍，劉青松，張 臻，毛劍琴，周克敏

(1.北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191;2.路易斯安那州立大學(xué) 電氣與計算機工程系，巴吞魯日 70803，美國)

超磁致伸縮作動器具有推進力大、應(yīng)變大以及響應(yīng)速度快等優(yōu)點，用于超精密定位、飛機機翼的精密調(diào)節(jié)以及結(jié)構(gòu)的主動振動控制中，在航空航天、國防以及國民加工等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。然而，超磁致伸縮作動器在輸入輸出關(guān)系上存在著復(fù)雜的遲滯非線性特性，嚴(yán)重影響了系統(tǒng)的控制精度，甚至造成系統(tǒng)的振蕩，因此，對磁致伸縮作動器的遲滯非線性建模具有重要的工程意義。磁致伸縮作動器的遲滯非線性特性與系統(tǒng)的輸入信號的頻率有關(guān)，當(dāng)系統(tǒng)輸入信號的頻率發(fā)生變化時，遲滯環(huán)的形狀也隨之改變，即表現(xiàn)出率相關(guān)性。圖1給出了不同頻率輸入信號下超磁致伸縮作動器的遲滯環(huán)。

圖1 超磁致伸縮作動器在不同頻率下的遲滯環(huán)Fig.1 Rate-dependent hysteresis

傳統(tǒng)的率無關(guān)模型，如 Preisach模型［1］、Prandtl-Ishlinskii(PI)模型［2］，已不再適用。繼而一些學(xué)者在J－A模型［3］和Preisach模型等基礎(chǔ)上提出改進的率相關(guān)建模方法［4－7］，但由于模型的物理機理和結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)難以確定等約束，限制了模型的應(yīng)用范圍。相比之下計算智能方法機理和所建的模型結(jié)構(gòu)簡單，因此尋找基于計算智能的率相關(guān)遲滯建模方法，受到越來越多的學(xué)者的關(guān)注［8－9］。

本文提出一種新的智能化建模方法，用帶有動態(tài)非線性環(huán)節(jié)的Hammerstein-like模型描述超磁致伸縮作動器的率相關(guān)遲滯非線性特性。該方法采用模糊樹擬合非線性環(huán)節(jié)，因為所建模糊樹模型是動態(tài)模型，能夠描述一定的率相關(guān)特性，因此所提模型與傳統(tǒng)Hammerstein模型結(jié)構(gòu)相同，但包含了非線性動態(tài)環(huán)節(jié)，為區(qū)別，所提模型稱為Hammerstein-like模型［10］。

傳統(tǒng)的Hammerstein模型是由一個靜態(tài)無記憶非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)一個動態(tài)線性環(huán)節(jié)G(z)構(gòu)成，其背景是被控對象本身近似線性，但是執(zhí)行機構(gòu)具有近似靜態(tài)非線性的情況。許多實際非線性系統(tǒng)都可以用Hammerstein模型來表示，該模型已被用在很多的領(lǐng)域，例如:非線性濾波，飽和激勵、聲音圖像處理、信號分析、生物系統(tǒng)以及化學(xué)過程等［11－13］。其結(jié)構(gòu)如圖2所示，圖中的u(t)和y(t)分別是測試輸入和系統(tǒng)輸出，v(t)是中間輸入信號，實際過程中是不可測量的。

圖2 Hammerstein非線性動態(tài)模型Fig.2 The structure of Hammerstein model

由于動態(tài)線性系統(tǒng)的辨識算法已經(jīng)較為成熟，Hammerstein模型辨識的研究目前主要集中在非線性環(huán)節(jié)的擬合上，主要有多項式方法［14－16］、正交基函數(shù)［17］、分段線性化［18－19］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［20］、最小二乘支持向 量 機［21－23］，模 糊 聚 類［24－25］等 方 法。 模 糊 樹 方法［26－29］是毛劍琴等提出的基于二叉樹結(jié)構(gòu)的T－S模糊模型辨識方法(FT)，其主要思想是根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)的分布自適應(yīng)劃分輸入空間，然后將輸入空間分段線性化，用隸屬度函數(shù)將各分段線性函數(shù)光滑連接，最后得到一個精度比較高的非線性映射。該方法的優(yōu)點是建模精度高且在很大程度上緩解了“維數(shù)災(zāi)”引起的“規(guī)則爆炸”，能有效處理高維輸入輸出數(shù)據(jù)建模問題。目前，據(jù)我們所知，尚無人采用模糊樹方法擬合Hammerstein模型的非線性環(huán)節(jié)，也尚無人采用Hammerstein模型描述超磁致伸縮作動器的率相關(guān)遲滯非線性特性。

本文所提建模方法在一個給定的頻率范圍內(nèi)建立一個統(tǒng)一的模型，使之不僅適用于單一頻率輸入信號，也同樣適用于復(fù)合頻率輸入信號。建模仿真結(jié)果表明，建模精度能滿足工程要求。另外，基于所提Hammerstein-like模型，設(shè)計一種前饋逆補償+PID反饋控制策略，實現(xiàn)了超磁致伸縮作動器的跟蹤控制實驗，實驗結(jié)果表明了該控制策略的有效性。

1 模糊樹方法

模糊樹方法［26－29］根據(jù)數(shù)據(jù)樣本的分布情況自適應(yīng)劃分輸入空間且對輸入數(shù)據(jù)維數(shù)不敏感。輸入空間的劃分情況可以與一棵二叉樹T來對應(yīng)。在每一個葉節(jié)點t對應(yīng)的子空間上，用n維超平面yt(x)=(ct)Tx^逼近非線性函數(shù)，其中=［1，xT］T∈Rn+1。如果逼近誤差滿足要求，則停止對該子空間的劃分。對子空間劃分的判別函數(shù)取為超平面gt(x)=(ct)Tx^－θt=0，其中θt為該子空間上輸出數(shù)據(jù)的重心。模糊樹辨識方法根據(jù)gt(x)≥0和gt(x)≤0，可以將該子空間劃分為兩個更精細的子空間，并在gt(x)≈0的區(qū)域定義模糊帶，最終完成對輸入空間的模糊劃分。

模糊空間劃分完畢，即可得到如下一組規(guī)則:

Rl:如果x是Ntl，那么tl∈為葉節(jié)點集合，其中~ctl］T∈Rn+1為線性參數(shù)，Ntl是模糊子空間χtl上定義的模糊集合，對應(yīng)的隸屬度函數(shù)記為Ntl(x)。若將Ntl(x)的歸一化隸屬度函數(shù)記為 μtl(x)，即 μtl(x)=，則得到模糊樹模型的輸出表達式:

二叉樹每個節(jié)點上的隸屬度函數(shù)按如下方式定義:(1)對于根節(jié)點，

(2)對于非根節(jié)點t，

具體的模糊樹模型的建模步驟見文獻［26－29］。

2 基于模糊樹的Hammerstein-like模型對超磁致伸縮作動器的建模

2.1 建模步驟

所提Hammeratein-like建模方法采用模糊樹擬合模型中的非線性環(huán)節(jié)，所建Hammerstein-like模型能統(tǒng)一描述一定頻率范圍內(nèi)的遲滯環(huán)。建模步驟如下:

算法1:

Step 1)任意給定某單一頻率為f的正弦輸入信號，所得GMA的輸入輸出數(shù)據(jù)為(x(k)，y(k)，k=1，2，…，M。采用該數(shù)據(jù)用模糊樹方法對GMA建模，用所建動態(tài)模型代替Hammerstein-like模型中的非線性部分。Step 2)采用Matlab命令idinput產(chǎn)生一定頻率范圍內(nèi)的正弦掃描信號作為GMA的輸入信號，用步驟1)中所建模糊樹模型計算出中間變量v(k)，用v(k)作為線性動態(tài)部分的輸入，用正弦掃描信號對應(yīng)的GMA輸出數(shù)據(jù)作為線性動態(tài)部分的輸出，辨識線性動態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)。

注釋1:為了解決遲滯環(huán)的多值性問題，建立如下超磁致伸縮作動器的離散動態(tài)模型:

其中:x(k)和y(k)是作動器在時刻k的輸入和輸出，y^(k+1)表示k+1時刻模型的輸出。m和n表示輸入和輸出的動態(tài)階數(shù)。該模型的本質(zhì)使用作動器當(dāng)前時刻和歷史時刻的輸入與輸出信息，來預(yù)測下一時刻的輸出。式(5)表示的動態(tài)模型的輸入向量包含了歷史時刻的輸入輸出，所以實際上隱含了作動器輸入從一個狀態(tài)到達另一個狀態(tài)的過程信息，因而可以唯一地確定出當(dāng)前時刻的輸出。仿真實驗表明動態(tài)階數(shù)m和n對建模誤差和檢測誤差都有影響。折衷考慮建模精度和檢測誤差，選動態(tài)階數(shù)m=n=3。建立動態(tài)模型為:

注釋2: 步驟1)中的單一頻率f可以在正弦掃描信號的頻率范圍內(nèi)任意選取。所提Hammerstein－like模型建模的主要思想是:采用某一單一頻率下的遲滯環(huán)不能很好地描述其他頻率下的遲滯環(huán)，采用該單一頻率下的遲滯環(huán)串聯(lián)辨識得到的線性系統(tǒng)共同描述其他頻率的遲滯環(huán)。值得指出的是，采用模糊樹方法建立的單一頻率的遲滯環(huán)模型是動態(tài)模型，能夠描述一定的率相關(guān)遲滯特性。這點正是所建Hammersteinlike模型與傳統(tǒng)Hammerstein模型的不同之處。

2.2 模型驗證

本文采用如圖3所示的由北京航空航天大學(xué)材料學(xué)院研制的超磁滯伸縮作動器［30］。圖中主要的部件分別為:

TbDyFe桿:超磁致伸縮作動器的核心部件，提供輸出力與位移;

預(yù)壓裝置:緊固螺釘和彈簧，通過調(diào)整緊固螺釘11的位置，可以調(diào)整彈簧2的預(yù)壓力，從而獲得較好的性能。超磁致伸縮材料在不同預(yù)壓條件下，其伸長變化線性區(qū)間的長度和斜率都不同，其趨勢為壓力增加則曲線斜率增加。為獲得較大的線性段，在作動器中考慮預(yù)壓裝置實現(xiàn)對磁致伸縮材料的預(yù)壓;

激勵線圈:為超磁致伸縮芯棒產(chǎn)生交變的驅(qū)動磁場;

永磁體:為TbDyFe芯棒提供一個附加偏置磁場。

建模的訓(xùn)練輸入數(shù)據(jù)和檢測輸入數(shù)據(jù)均來自于實驗。用GF－20放大器驅(qū)動GMA，用電渦流傳感器測量得到GMA的位移，dSPACE(DS1103)是用來產(chǎn)生輸入信號和確定輸出數(shù)據(jù)采樣時間的，采樣頻率為10 kHz。

圖3 超磁滯伸縮作動器Fig.3 Giant magnetostrictive actuator

選取建模步驟1)中的單一頻率 f=5 Hz，測得8 000對輸入輸出數(shù)據(jù)對，記式(6)中模型的輸入為uk=［x(k);x(k－1);x(k－2);y(k);y(k－1);y(k－2)］T∈R6，輸出為k=y(k+1)，這樣可由實驗得到的8 000對數(shù)據(jù)對產(chǎn)生7 997 對訓(xùn)練樣本(uk，y^k)，k=3，4，…，7 997，將該訓(xùn)練樣本作為模糊樹方法建模的輸入輸出數(shù)據(jù)。取模糊規(guī)則數(shù)為4，模糊帶的寬度α=0.01。步驟2)中正弦掃描信號的頻率范圍為0～150 Hz。辨識得到的動態(tài)線性系統(tǒng)為:G(z) =，所建Hammerstein-like模型如圖4所示。

圖4 GMA的Hammerstein-like模型Fig.4 The constructed Hammerstein-like system of GMA

為檢驗所建Hammerstein－like模型的有效性，采用一定頻率范圍內(nèi)的GMA的輸入輸出數(shù)據(jù)來檢驗。輸入信號為正弦信號，頻率分別為10 Hz，30 Hz，…，150 Hz共計8個單一頻率和5個復(fù)合頻率:20/40 Hz，20/40/60 Hz，20/40/60/80 Hz，20/40/60/80/100 Hz和10 ～100 Hz(10 Hz，20 Hz，…，100 Hz的復(fù)合)。其中復(fù)合頻率信號是由若干個不同頻率和幅值的正弦信號疊加形成，該信號驅(qū)動功率放大器作用于GMA上。對于率相關(guān)的遲滯非線性系統(tǒng)，在一個頻率段的復(fù)合頻率的信號可以激勵其在一個頻率段的率相關(guān)特性。采用均方根誤差(RMSE)和相對誤差(RE)作為評價指標(biāo)。表1給出所建模型對不同頻率的遲滯環(huán)的檢驗結(jié)果。從表1可以看出單一頻率下的均方根誤差的最大值為0.904 4，相對誤差均小于7.7%。所建模型能有效地描述0～150 Hz范圍內(nèi)的單一頻率下的遲滯環(huán)和復(fù)合頻率下的遲滯環(huán)。圖5為建模所得的遲滯環(huán)與實驗數(shù)據(jù)所得到的遲滯環(huán)的比較圖。而圖6給出的是不同頻率輸入信號下Hammerstein-like模型的中間變量與實驗數(shù)據(jù)所得的遲滯環(huán)的比較圖，檢驗僅僅采用所建立的單一頻率下的遲滯模型，即Hammerstein-like模型的非線性部分，描述其他頻率下的遲滯環(huán)的效果。從圖5和圖6可以看出，采用單一頻率的遲滯模型無法很好地描述其他頻率下的遲滯環(huán)，而所提Hammerstein-like模型可以很好地描述。

表1 所建Hammerstein-like模型的均方根誤差和相對誤差Tab.1 RMSE and RE of Hammerstein-like system

圖5 模型檢驗(實線:建模得到的遲滯環(huán);虛線:實驗測得的遲滯環(huán))Fig.5 Model validation(solid:the output of the Hammerstein-like model;dashed:GMA output)

圖6 模型檢驗(實線:Hammerstein-like模型的中間變量;虛線:實驗測得的遲滯環(huán))Fig.6 Model validation(solid:the internal variable of the constructed Hammerstein-like model;dashed:GMA output)

為說明步驟1)中的單一頻率f可以任意選取，圖7給出了采用不同f時所得Hammerstein-like模型在不同單一頻率下的遲滯環(huán)的檢驗均方根誤差和相對誤差曲線。

圖7 不同單一頻率f下的均方根誤差和相對誤差曲線Fig.7 The influence of f to the RMSE and RE at different single frequencies

從圖5可以看出，模型的輸出與實驗測得的輸出基本上重合，說明所建的Hammerstein-like模型能較好地反映作動器對單一頻率和復(fù)合頻率輸入信號的遲滯非線性特性。同時，步驟1)中單一頻率f的任意選取對建模結(jié)果的影響不大。

3 控制器的設(shè)計

基于所建模型，采用前饋逆補償+PID反饋控制的控制策略進行正弦輸入信號的跟蹤控制實驗，圖8為控制框圖，其中N－1表示非線性部分的逆模型，其建模方法仍采用模糊樹。G^是辨識出的動態(tài)線性部分G的近似逆，因為G是最小相位系統(tǒng)，因此我們?nèi)^=z－1G－1(z)。

圖8 控制框圖Fig.8 Block diagram of controller

跟蹤控制實驗系統(tǒng)示意圖如圖9所示，實物圖如圖3所示，超磁致伸縮作動器固定于大質(zhì)量基座上，電渦流傳感器用以測定作動器的輸出端位移，GF－20型功率放大器用以為超磁致伸縮作動器提供放大能源，控制程序下載于dSPACE1103控制卡中，并同時實現(xiàn)輸入輸出信號的采集功能，系統(tǒng)參數(shù)的調(diào)試由安裝于上位機的Controldesk實現(xiàn)，實驗采樣時間為10 kHz。

跟蹤效果檢驗:跟蹤信號為正弦信號，頻率為10 Hz，20 Hz，…，150 Hz共計15個單一頻率和4個復(fù)合頻 率:10/30 Hz，10/30/50 Hz，20/40/60/80 Hz，20/40/60/80/100 Hz。PID控制器的參數(shù)為kp=1.1，ki=0.5，kd=0.000 01，其中 Kp為比例系數(shù)，kt為積分時間常數(shù)，kd為微分時間常數(shù)。圖10給出了頻率為40 Hz和100 Hz，幅值為10 μm的正弦參考信號的跟蹤實驗結(jié)果。圖11給出了復(fù)合頻率為10/30/50 Hz和20/40/60/80/100 Hz，幅值為10 μm的復(fù)合頻率參考信號的跟蹤實驗結(jié)果。表2給出了四次獨立實驗結(jié)果相對誤差的平均值。圖12是四次獨立實驗結(jié)果單一頻率輸入信號跟蹤結(jié)果的相對誤差曲線趨勢。從跟蹤結(jié)果可以看出，實際輸出能有效跟蹤參看輸入信號，相對誤差均小于15%，跟蹤精度令人滿意，滿足實際工程要求。

圖9 控制系統(tǒng)示意圖Fig.9 Control system

圖10 單一頻率正弦信號的跟蹤結(jié)果(實線:參考輸入信號;虛線:實際輸出)Fig.10 Tracking control results of single frequency(solid:input;dashed:output)

圖11 復(fù)合頻率參考信號的跟蹤結(jié)果(實線:參考輸入信號;虛線:實際輸出)Fig.11 Tracking control results of multiple frequencies(solid:input;dashed:output)

表2 跟蹤結(jié)果的相對誤差Tab.2 RE of tracking control results

圖12 單一頻率下相對誤差曲線Fig.12 The curves of RE at different single frequencies

4 結(jié)論

本文提出一種模糊樹的Hammerstein－like模型建模新方法。在給定的頻率范圍內(nèi)的單一頻率和復(fù)合頻率，只需要建立一個統(tǒng)一的模型。所提方法具有很好的精度?；谒崮Ｐ驮O(shè)計前饋逆補償+PID反饋控制策略，能較好地跟蹤頻率范圍為1～150 Hz的參考輸入信號，跟蹤精度令人滿意，滿足工程要求，為在線建模和主動振動控制提供了一條可供選擇的途徑。

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