許發(fā)見

摘要：關(guān)鍵詞：教學(xué)改革；離散數(shù)學(xué)；實踐能力；教學(xué)模式

中圖分類號：G420文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1674-4853（2013）03-0104-05

計算機理論教學(xué)的內(nèi)容偏重基礎(chǔ)性、理論性知識，不同于許多計算機課程的實用性，學(xué)生認(rèn)為該課程對專業(yè)的學(xué)習(xí)無用，且又難學(xué)，影響了積極性。例如離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容廣泛知識點還比較分散，包括多個有一定關(guān)聯(lián)的分支，學(xué)生在學(xué)習(xí)時疲于應(yīng)付各種概念定義，難以消化理解，更難以自學(xué)和提高。

其實之所以被稱為計算機專業(yè)基礎(chǔ)課，是因為離散數(shù)學(xué)在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法分析、操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫、網(wǎng)絡(luò)與分布式計算、計算機圖形學(xué)、人工智能自動機、人機交互等許許多多的方面都得到了廣泛的應(yīng)用。[1]這更要求學(xué)生學(xué)好它為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，所以需要針對離散數(shù)學(xué)的特性進行分析，然后在教學(xué)內(nèi)容和模式上依據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗進行教學(xué)改革，希望能夠使得同學(xué)更好得接受和掌握離散數(shù)學(xué)的思想和學(xué)習(xí)方法，提高教學(xué)效果。

一、離散數(shù)學(xué)的特點

“離散數(shù)學(xué)”是計算機相關(guān)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程，課程概念繁多、理論性強、抽象深奧，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高、難以入門和鞏固，教學(xué)效果不很理想。所以在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中重點應(yīng)該是幫助學(xué)生完成“從理論到實際”的轉(zhuǎn)變，使學(xué)生逐步掌握理論過渡到應(yīng)用的方法過程；培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力、歸納構(gòu)造能力和實踐創(chuàng)新能力。在開始的概論里，可以用一首自編的詩來概括離散的特征：

數(shù)學(xué)當(dāng)作語文念，定理定義隨處見；

傳統(tǒng)概念重新建，應(yīng)用模型很關(guān)鍵。

以下具體分析離散數(shù)學(xué)的一些特點、難點。

（一）概念和定理多且前后銜接緊密

每章節(jié)的內(nèi)容都是建立在全新的概念之上，然后推理演繹出新的概念和定理等，接著就是這些定義定理的直接應(yīng)用。經(jīng)常概念就是定理，或者性質(zhì)，甚至概念就是運算法則，所以掌握、理解和運用這些概念和定理是學(xué)好這門課的關(guān)鍵。要特別注意概念之間的聯(lián)系，概念也要和定理、性質(zhì)聯(lián)系起來理解，再結(jié)合各種題型和數(shù)學(xué)模型來記憶。

（二）方法性強

離散數(shù)學(xué)要求的抽象思維和構(gòu)造能力較高。通過對它的學(xué)習(xí)，能大大提高我們本身的邏輯推理能力、抽象構(gòu)造能力和形式化思維能力，從而今后在學(xué)習(xí)任何一門計算機科學(xué)的專業(yè)主干課程時，都不會遇上任何思維理解上的困難。離散數(shù)學(xué)的證明題多，不同的題型會需要不同的證明方法（如直接證明法、反證法、歸納法、構(gòu)造性證明法），同一個題也可能有幾種方法。特殊的題型有特殊的對應(yīng)方法模型，必須專門強化記憶。

（三）入門難，概念的前后關(guān)聯(lián)強

由于是全新的概念或定義，且本身又非常抽象，初學(xué)者往往不能在腦海中建立起它們與現(xiàn)實世界中客觀事物的聯(lián)系，初學(xué)者不容易進入學(xué)習(xí)狀態(tài)。因此一開始必須準(zhǔn)確、全面、完整地記住并理解所有的定義和定理。最好和已有的知識結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，這樣才可能更好適應(yīng)抽象的連綿不斷的概念，并為后續(xù)循序漸進的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。例如，通過與學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的中學(xué)數(shù)學(xué)的比較來進一步分析離散數(shù)學(xué)的特點。其實中學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法、排列組合就是典型的離散數(shù)學(xué)問題。然后進一步利用“面積證明勾股定理“的過程和“著色原理證明世界上任取6人必然有3人相互認(rèn)識或者不認(rèn)識“兩問題進行比較分析，它們共同點都是題目抽象且給出的條件少，通過巧妙借用構(gòu)造特殊的圖形來完成證明；不同點是勾股定理證明是利用計算面積相等來完成，而后者是利用“著色模型“加上“鴿巢原理“再結(jié)合圖形空間結(jié)構(gòu)關(guān)系來完成，總結(jié)出的區(qū)別是離散數(shù)學(xué)的問題一般和圖形的大小、長短、面積等數(shù)值無關(guān)，側(cè)重于考察問題關(guān)聯(lián)、變化、約束等內(nèi)在邏輯關(guān)系。

（四）符號、圖形多

離散數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容包括命題邏輯、謂詞邏輯、集合、關(guān)系、代數(shù)系統(tǒng)、圖論等方面的基本知識。每章的概念、定理、證明、推導(dǎo)、解題等全部環(huán)節(jié)都需要用符號、中英文名詞術(shù)語等來表示，或者借助圖形來介紹說明。所以離散數(shù)學(xué)比其他課程要多花時間來記憶各種字符、符號、圖形，弄清楚其內(nèi)在關(guān)系和演繹過程。例如集合、笛卡爾積、關(guān)系、關(guān)系閉包、等價關(guān)系、劃分等一系列的概念是一層層疊加起來的，后面的概念都是建立在前面概念基礎(chǔ)上的，必須弄清楚其來龍去脈，否則你直接說劃分是說不清楚的。當(dāng)然借助對各種符號、圖形的理解也是有利于對概念的記憶。離散數(shù)學(xué)除了教給學(xué)生離散數(shù)學(xué)知識以外，更重要的是通過嚴(yán)格的訓(xùn)練，逐步實現(xiàn)學(xué)生思維方式的數(shù)學(xué)化、符號化、計算機化。對于符號的掌握是非常重要的，因為全部的問題最后都是可以通過符號輸入指揮計算機來解決的。

（五）題型眾多且解題方法奇特

學(xué)數(shù)學(xué)就要做題目，學(xué)習(xí)不僅限于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，更重要的還在于學(xué)習(xí)思維方法和解決問題的能力。數(shù)學(xué)的題目數(shù)量自然是非常多的，但題目的種類卻很有限。尤其是在命題證明的過程中，最重要的是要掌握證明的思路和方法，要善于總結(jié)和歸納，仔細(xì)體會題目類型和解題套路。例如在命題邏輯中判斷推理是否正確有真值表法、直接證法、間接證法或反證法等，需要多作練習(xí)，才可以較快地領(lǐng)悟其本質(zhì)，能夠看出它所屬的類型及關(guān)聯(lián)的知識點，找到對應(yīng)的模型，就不難選用正確的解決方法。例如前綴碼問題對應(yīng)的就是最優(yōu)樹模型，通過不斷積累模型來擴展解題思路。同時在記憶模型的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)的思維訓(xùn)練提高思維變通性，進而提高解決問題的能力。

（六）章節(jié)內(nèi)容差異大且解題思路難尋

集合、關(guān)系、邏輯、圖論和代數(shù)系統(tǒng)各章節(jié)自成體系，各部分內(nèi)容差異很大，從概念到定理到解題方法大不相同。特別是離散數(shù)學(xué)證明題的方法性是很強的，如果知道一道題屬于哪個章節(jié)，該用什么知識點和方法，那離答案就不遠(yuǎn)了。因此在平時的學(xué)習(xí)中，要勤于思考，善于總結(jié)，在離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程里對概念的理解是重中之重。當(dāng)題目很抽象，不能夠很明確找到對應(yīng)概念的時候，一些常規(guī)的解題思路也是需要強化給學(xué)生的，下面介紹幾種方法。

1.嘗試法。這是被運用比較廣泛的啟發(fā)法，使用所有你想到的操作手法，嘗試著看看能不能得到有用的結(jié)論或者邊界點、特例等，盡量離答案近一點，通過窮舉各種允許或不允許的可能性來尋找那些關(guān)鍵的性質(zhì)。窮舉法也是本辦法的一個特例，窮舉法不一定就是最笨的辦法。

2.結(jié)論分析法。結(jié)論往往蘊含著豐富的條件，譬如對什么樣的解才是滿足題意的解的約束。借助結(jié)論中蘊含的內(nèi)容，可以為題目提供更多信息量和縮小思考范圍。

3.縮放條件法（如刪除、增加、改變條件）。有時候通過調(diào)整題目的條件，我們往往迅速能夠發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間是如何聯(lián)系的。通過扭曲問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，我們能發(fā)現(xiàn)原本結(jié)構(gòu)里面重要的東西。

4.抽象具體法。求解一個抽象的題目先解決一個類似的具體題目，或者由具體到抽象。將問題泛化，并求解這個泛化后的問題。類似的題目也許有類似的結(jié)構(gòu)，類似的性質(zhì)，類似的解決方案。通過考察或回憶一個類似的題目是如何解決的，也許就能夠借用一些重要的點子。

5.對立面法或反證法。實在沒有辦法了，還可以列出所有可能跟問題有關(guān)的概念、定理或性質(zhì)，來尋找和題目的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)思路，這是一種經(jīng)常被使用的方法。

通過以上五個方面的特點分析和一些經(jīng)驗對策的介紹，已經(jīng)可以說明離散數(shù)學(xué)的教學(xué)難點和需要改進加強的環(huán)節(jié)。在教學(xué)中還可以進一步總結(jié)突出離散數(shù)學(xué)，其可以被看作是數(shù)學(xué)的前傳、是符號的語言，與一般的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法大不相同。

二、教學(xué)內(nèi)容改革和模式變化

離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)重點是為進一步學(xué)習(xí)其他計算機課程打基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生計算機模式的思維推理能力，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識和模型解決實際問題的能力。所有這些需要優(yōu)化理論教學(xué)，重視實踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成形式化思維和解決問題能力，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)其他計算機應(yīng)用課程時，遇上困難知道如何去理解問題、歸納推理、尋求解決方法。要以教師為主導(dǎo)來組織、引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，特別是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自主學(xué)習(xí)能力。所以教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該更豐富、媒體形式更多樣、手段更科學(xué)、理念更先進，模式更新穎。例如網(wǎng)絡(luò)教學(xué)、多媒體教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)、發(fā)現(xiàn)式教學(xué)、案例教學(xué)、游戲式教學(xué)等。

要達到上述要求，就需要拓展教學(xué)內(nèi)容和空間，加強與后續(xù)專業(yè)課程的聯(lián)系與銜接。多結(jié)合實踐案例和游戲模型來提高興趣，多留些趣味、應(yīng)用型的思考題，“積小錯為大錯、以游戲換經(jīng)驗”，因為游戲多是有數(shù)學(xué)模型的，通過思考題來發(fā)現(xiàn)問題，積累分析解題的經(jīng)驗，此外還需要突出重點，強調(diào)特點。由于補充了大量課外內(nèi)容，所以在教學(xué)課時不夠的情況下可以舍棄一些次要內(nèi)容以保障重點內(nèi)容的教學(xué)質(zhì)量，并且對簡單點的內(nèi)容安排自學(xué)不做重點考核，這樣也可以提高自主學(xué)習(xí)能力。

（一）教學(xué)內(nèi)容的組織和更新

離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容比較“散”，而且難。講課時盡可能結(jié)合一些實際問題，特別是與計算機有關(guān)的問題，突出重點，強調(diào)前后聯(lián)系和概念關(guān)聯(lián)性。這樣既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又使得學(xué)生更好地體會離散數(shù)學(xué)對研究計算機科學(xué)的重要性。例如圖論和集合論為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)表示理論奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也為許多問題從算法角度如何加以解決提供了進行抽象和描述的重要方法。在講解圖論中通路與回路概念時，給出它們在研究操作系統(tǒng)是否存在死鎖，自動機的初始狀態(tài)和結(jié)束狀態(tài)是否可達，程序設(shè)計語言中一個過程是否遞歸等方面的應(yīng)用。數(shù)理邏輯是研究推理的學(xué)科，在人工智能、數(shù)據(jù)庫理論等的研究中有著重要的應(yīng)用。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，進一步加強學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力。

在組織教學(xué)內(nèi)容時注重離散數(shù)學(xué)與前后的計算機課程結(jié)合。即在課堂講解時，盡可能多地介紹離散數(shù)學(xué)與相關(guān)課程的銜接，讓學(xué)生清楚地認(rèn)識到離散數(shù)學(xué)不是一門普通的公共數(shù)學(xué)課。例如，在數(shù)理邏輯部分講解命題聯(lián)結(jié)詞時，考慮到學(xué)生在先修課數(shù)字邏輯中動手設(shè)計過邏輯電路圖，以此為切入點進行類比講解。在集合論部分講解二元關(guān)系時，以后續(xù)選修課數(shù)字圖像處理中的二維直方圖為例進行講解。在圖論部分講解最小生成樹、最短路徑時，講清該知識點與后續(xù)必修課數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中相關(guān)知識點的關(guān)聯(lián)性。還可以介紹學(xué)科前沿的最新動態(tài)，直接體會課程的“實用性”，激發(fā)科研熱情、提高自主學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)內(nèi)容革新方面特別要注重與實際應(yīng)用或可動手操作的相關(guān)實例的結(jié)合。包括各種游戲、案例、實際應(yīng)用等，可以作為介紹概念時的引例或參照物，也可以作為課后趣味題、應(yīng)用題、拓展題。還可以穿插結(jié)合心理學(xué)、人生觀、價值觀、挫折教育等方面的生活勵志故事，拓展教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)思路，開拓學(xué)生視野，增強他們理解、推理能力和參與社會實踐能力。同時考慮到學(xué)生基礎(chǔ)、學(xué)時限制等，適當(dāng)降低傳統(tǒng)理論教學(xué)內(nèi)容的難度，側(cè)重于基本概念、原理的應(yīng)用。為保持課程教學(xué)體系的完整性，偏難的理論性內(nèi)容選講、少講或簡單介紹，適當(dāng)增加與計算機應(yīng)用密切相關(guān)的實踐上機學(xué)時，對學(xué)生較感興趣或應(yīng)用性較強的內(nèi)容增設(shè)課外實踐環(huán)節(jié)，以興趣小組的形式延續(xù)課堂教學(xué)內(nèi)容。（見表1）

（二）教學(xué)模式的選擇

教學(xué)模式是教學(xué)活動的基本結(jié)構(gòu)，科學(xué)合理地選擇教學(xué)模式有助于優(yōu)化教學(xué)過程、提高教學(xué)質(zhì)量，常常能起到事半功倍的教學(xué)效果。

范例教學(xué)模式是指遵循人的認(rèn)知規(guī)律，從個別到一般、從具體到抽象，從范例分析入手，逐步提煉、歸納和總結(jié)。例如通過幾個有趣的例子分別展示課程的4大模塊，即以“理發(fā)師悖論”為例引導(dǎo)出集合論模塊；以“警察斷案”為例引導(dǎo)出數(shù)理邏輯模塊；以“七橋問題”為例引導(dǎo)出圖論模塊；以“布爾邏輯電路”為例引導(dǎo)出代數(shù)系統(tǒng)模塊。但是僅僅請學(xué)生根據(jù)常識知識給出答案還不夠，還要通過這些例子生動地介紹離散數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，然后才引出主題。并且在后續(xù)講解中保持類似的教學(xué)模式，利用上表里列舉的各種游戲、案例、實際應(yīng)用、趣味數(shù)學(xué)和編程題目來講述一些知識難點，避免了一般理論性介紹的枯燥，能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

1.啟發(fā)式模式。以問題解決為中心，設(shè)定情境、提出問題，然后組織學(xué)生猜想或做出假設(shè)性的解釋，進而驗證并總結(jié)規(guī)律。例如，以“一筆畫”為出發(fā)點，啟發(fā)學(xué)生思考其特點，進一步總結(jié)出歐拉圖的定義和性質(zhì)；在代數(shù)系統(tǒng)部分，以小學(xué)的加減乘除法為出發(fā)點，啟發(fā)學(xué)生思考這些運算的異同，從而引申出代數(shù)系統(tǒng)的一般性基本概念；以“九連環(huán)”游戲的重復(fù)操作過程來比擬對二叉樹的遍歷等等。用一個具體可見的模型或者問題來說明抽象復(fù)雜的新概念，這樣學(xué)生易于接受，并且不會因為一下子迷惑而產(chǎn)生抵觸情緒。

2.上機實踐模式。拓展編程，提高設(shè)計實踐能力和興趣。例如編寫程序?qū)线M行定義和操作，求兩個集合的交集，或求兩個集合的笛卡爾乘積；“八皇后”問題的程序設(shè)計，或者用做好的“八皇后”程序來分析其內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法；結(jié)合參加數(shù)學(xué)建?；駻CM競賽，這樣同學(xué)們就更重視了。

還可以演示某些手機在拍照的同時將GPS信息記錄的過程，通過這個過程來介紹數(shù)字水印、MD5、GPS和電子證據(jù)等計算機相關(guān)理論知識。然后利用計算機、數(shù)碼相機以及相關(guān)軟件進行模擬實驗驗證該過程。并且通過實驗課讓學(xué)生動手來制作數(shù)碼照片的數(shù)字水印、計算MD5值，利用數(shù)字隱藏軟件在數(shù)碼照片里隱藏數(shù)字信息。這一系列實驗即結(jié)合應(yīng)用了信息安全技術(shù)，又增加了對電子證據(jù)證明力的理解。這樣的教學(xué)實驗過程簡單易懂又靈活多變，最主要是通過簡單的操作卻能夠馬上看見復(fù)雜的操作結(jié)果，又能夠幫助理解抽象的理論知識。這樣的的教學(xué)手段更能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，進而增強學(xué)生解決實際問題的能力。

3.換位教學(xué)模式，可以讓學(xué)生備課、講課和點評，產(chǎn)生新鮮感和責(zé)任感，體會老師工作辛勞。通過換位可以站在對方的角度思考，體驗對方的想法，產(chǎn)生互動、共鳴。學(xué)生參與備課，在查閱材料的過程中去理解、深化內(nèi)涵，拓寬外延，體驗“再發(fā)現(xiàn)”過程；分組備課、制作課件、講課，鼓勵各種新想法及創(chuàng)意，培養(yǎng)學(xué)生動手能力和團隊協(xié)作精神；同學(xué)間的補充、點評和考核，讓學(xué)生在實踐中吸取經(jīng)驗教訓(xùn)，更容易發(fā)現(xiàn)自己平時易忽視易錯的知識點；老師也可以站在學(xué)生的角度思考如何講解讓學(xué)生更容易接受，最后通過點評和總結(jié)起到畫龍點睛的作用。另外給敢于表現(xiàn)的學(xué)生加分鼓勵，因為“十次說教不如一次表揚，十次表揚不如一次成功。”對這種形式的換位，可以加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的獨立思考能力、語言表達能力，成為學(xué)習(xí)的主人。營造一種人人參與的氛圍，還能活躍課堂氣氛、拉近老師和學(xué)生的距離，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識和解決問題的能力。

構(gòu)建多維、多層、多方位教學(xué)手段，將課堂講授、專題討論、上機實習(xí)、課外自學(xué)等有機結(jié)合，鼓勵學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。同時，打破一考定勝負(fù)的傳統(tǒng)考核機制，綜合考察學(xué)生在各種教學(xué)形式中的表現(xiàn)，課程考核采用總成績=筆試（50%）+平時成績（20%）+上機實踐（20%）+創(chuàng)新能力（10%）的形式，打造多維教學(xué)模式和評價體系。

三、總結(jié)

計算機科學(xué)的理論教學(xué)抽象程度高，需要進一步探索課程的教學(xué)改革，合理組織教學(xué)內(nèi)容、有效選擇教學(xué)模式、高效運用教學(xué)手段、適當(dāng)增加實踐環(huán)節(jié)，達到滿意的教學(xué)效果。以提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣、培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力為突破口，進行教學(xué)革新，對學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)具有較強的現(xiàn)實意義。

另外，也要提高對教師的要求，教師不僅要有較深厚的計算機專業(yè)理論基礎(chǔ)，能把離散數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)專業(yè)理論課程和其他課程結(jié)合，合縱連橫，講深講透，還要精心準(zhǔn)備、收集選擇好的教學(xué)案例和素材，結(jié)合合適的教學(xué)方法和教學(xué)規(guī)律，有針對性選用啟發(fā)式教學(xué)方式。我院計算機專業(yè)自實施離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革以來，以培養(yǎng)學(xué)生實踐動手能力和抽象思維推理能力為目標(biāo)，教學(xué)內(nèi)容的更新和多種教學(xué)模式激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，增強了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和解決實際問題的能力。

參考文獻：

[1]吳濤，閔笛，關(guān)心. 離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索[J]. 計算機教育，2010（18）：44-47.

（責(zé)任編輯：王小麗）