江蘇省無錫市第一女子中學 蔡曉華 （郵編：214002）

數(shù)學教育有兩大視角：教學觀和數(shù)學觀.一度認為，教學法是指導數(shù)學課堂教學的重要方針.然而，隨著對數(shù)學課堂的觀察與反思的深入，卻越來越意識到教師對數(shù)學思想的認識在數(shù)學課的設計中的影響也是至關重要的.本文試著從筆者執(zhí)教的一節(jié)公開課《反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)與應用》的教學片段，來闡述這一觀點.

教學片斷

師：我們怎樣畫出反比例函數(shù)y＝的圖象呢？

師：我們學過一次函數(shù)，讓我們用研究一次函數(shù)圖象的方法來試試，那么怎樣畫出一次函數(shù)圖象呢？

生：列表、描點、連線.

師：好的，先列表.首先取x、y的一些對應值，列入表格.可以取原點嗎？為什么？

生：不能.因為分母x≠0.

師：是的.那么，圖象會落在那些象限？為什么？

生：第一、三象限.因為反比例函數(shù)y＝中，x＞0時，y＞0；x＜0時，y＜0.

師：是的.也可以看到反比例函數(shù)y＝中，xy＝6＞0，也就是x、y同號.點（x，y）在第一、三象限.既然x≠0，就分別研究x＞0和x＜0.那么我們先來看第一象限.

師：比如取x＝1，x＝3，則y＝6，y＝2.描出點（1，6）、點（3，2）.然后連線.用什么線相連？

生：直線.

師：我們在x＝1和x＝3之間取x＝2，則y＝3.即點（2，3）.我們把它畫上去，發(fā)現(xiàn)并不在線段上.（停頓了會）那么是否要連成折線？再取x＝1.5得點（1.5，4），發(fā)現(xiàn)還是不在剛才連好的折線上；隨著x的無窮取值，想象一下，各點應連成怎樣的線？

生：曲線.

師：是的，應以光滑曲線順次連接.（在屏幕上逐步投影圖1－4，并在曲線的曲字上加重語氣）

師：這個曲線怎樣向右延伸呢？繼續(xù)取符合反比例函數(shù)y＝的數(shù)組（x，y）即一系列點（4，1.5）、（5，1.2）、（6，1）、（7），描出這些點，怎樣連接？

生：（齊答）光滑曲線.

師：隨著曲線向右延伸，曲線上的點有怎樣的特點？

生：向下延伸.

師：是的，曲線上的點向右、向下延伸.那么它會與x軸相交嗎？

生：會.

生：不會.因為與x軸相交的點的縱坐標為0，而y＝中y≠0.

師：是的，從y＝可知，x＞0時，y總是＞0；而且隨之正數(shù)x的增大，y不斷減小.也就是說，曲線不斷靠近x軸，但不與x軸相交.

（投影結(jié)論，并將“靠近”、“不相交”兩處重點顯示）

生：向上、向左延伸

生：曲線越來越靠近y軸，但不與y軸相交.

師：是的，你能從解析式解釋這一現(xiàn)象嗎？

生：因為x≠0，所以曲線不會與y軸相交.

生：因為y＝中，隨著x的減小，y增大.

師：注意這些點的橫坐標的范圍.（停頓一下）x＞0時，x越小，y越大.也就是說，在第一象限，曲線越來越靠近y軸，但與y軸不相交.

這樣，我們可以概括為一句話：在第一象限，曲線越來越靠近坐標軸，但與坐標軸不相交.（圖5）.（投影結(jié)論，并將“靠近”、“不相交”兩處重點顯示）

師：現(xiàn)在來考慮當x是負數(shù)時，它所對應的y的值也是負數(shù)，點落在第三象限，同樣的方式，可以作出反比例函數(shù)在第三象限的圖象.

（動畫顯示x＜0時相應所取的一組點）同學們用手指著屏幕一起來畫一下.（全體學生一起動手.）

師：不錯，同學們畫得有模有樣的.能不能將圖象畫成“彎彎的月亮，兩頭翹”？（邊說邊用手指演示，形如圖6，但不投影在屏幕上）為什么？

生：不能.因為曲線是越來越靠近坐標軸.

師：能不能把第一、三象限的兩支曲線連接起來，（邊說邊用手指演示，形如圖7，但不投影在屏幕上）為什么？

生：不能.因為x≠0，y≠0，所以不能與x軸有交點.

師：是的，兩支曲線是不連的，間斷的.從曲線的延伸方向看，當x＞0時，曲線在x軸上方，y軸右側(cè)，并向右、向下延伸不斷靠近x軸；向左、向上延伸不斷靠近y軸.當x＜0時，曲線在x軸下方，y軸左側(cè)，并向左、向上延伸不斷靠近x軸；向右、向下延伸不斷靠近y軸的.兩支曲線與坐標軸不斷靠近而不相交.

師：反比例函數(shù)y＝圖象是分布在第一、三象限的兩支曲線，這樣的圖象叫做雙曲線.（圖8）

曲線越來越靠近坐標軸，與坐標軸不相交.讓我們再用手指著屏幕畫一次.（圖8）

教后反思

1 以無限逼近的數(shù)學思想為立意，揭示數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的過程

反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是繼一次函數(shù)之后，學生第二次接觸對函數(shù)的研究.因此，對于反比例函數(shù)圖象的研究過程，應類比于一次函數(shù)圖象的研究，這體現(xiàn)了函數(shù)學習的一般方法.從描點作圖——觀察圖象 —— 分析圖象特征 ——確定函數(shù)中變量x、y之間的“變化規(guī)律”，從而得出函數(shù)的“特性”的過程，是學習初等函數(shù)時不可或缺的，也是后續(xù)研究二次函數(shù)等其他函數(shù)所采用的研究“模式”.同時，在運用“類比”的方法研究時，還有一個“對比”的問題，也就是反比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的“差異性”，如“直”與“曲”，“連續(xù)”與“間斷”，“和坐標軸相交”與“漸近”.這些在方法上、結(jié)論上的異同就是教學設計時考慮如何實現(xiàn)突破的關鍵點.

另一方面，盡管對于用列表描點畫函數(shù)圖象的方法，學生已經(jīng)學過，但因當時處于函數(shù)學習的初始階段，學生只是了解了用描點法畫函數(shù)圖象的“三步曲（列表、描點、連線）”，學生對每步要求的理解并不深刻.畫反比例函數(shù)時，常遇到如下的問題：

（1）“列表”時，選取x時數(shù)量太少，難以發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的特點，有時易忽略x≠0的條件；

（2）“連線”時，學生容易受一次函數(shù)的影響而產(chǎn)生負遷移，把反比例函數(shù)圖象畫成折線；

（3）對雙曲線與x軸、y軸“越來越靠近（但不相交）”的趨勢不易理解.

因此教學時，就特別注意進行有針對性的引導，注意從解析式的分析入手，讓學生先進行“數(shù)”（x≠0，y≠0，k≠0）、“式”（解析式中x、y的反比例關系）的分析，進而過渡到對“形”（圖像）的認識.這就是貫穿這一課時始終的“數(shù)形結(jié)合”.分析x、y的對應關系，從2個點所連線段到第3個點、第4個點的檢驗，即通過兩點的中間點始終不在線段上的事實，促使學生的思維發(fā)生第一次跳躍 ——從“直”到“曲”.再分析x、y的對應關系，由于x≠0，因此自變量x在x＝0處會發(fā)生跳躍，那么圖象也就要分別在x＜0，x＞0兩個方向去逼近x＝0，由自變量的無窮取值，促使學生的思維發(fā)生第二次跳躍 ——從“連續(xù)”到“間斷”，從“一條直線”到“兩支曲線”.這就是貫穿上述案例的“由有限到無限”的逼近思想.即列有限個數(shù)組，描有限個點，然后分析趨勢，借助對無限的合理想象，生動地展示了函數(shù)圖象的“再創(chuàng)造”.這個過程中，學生完成對反比例函數(shù)圖象的兩次突破就顯得順理成章，合情合理了.

2 以豐富的表象操作經(jīng)驗為依托，實現(xiàn)數(shù)學概念從“過程”到“對象”的轉(zhuǎn)化

數(shù)學概念具有二重性，即作為“過程”的概念和作為“對象”的概念.在過程階段表現(xiàn)為一系列的步驟，有操作性，相對直觀，容易仿效.比如反比例函數(shù)圖象的作圖過程.但是由于步驟的前后次序以及每一步中包含不少細節(jié)，如果停留在過程階段，思維所考慮的因素呈序列動態(tài)，就不易全面掌握，較難抓住要害和實質(zhì).當概念進入對象狀態(tài)時，便呈現(xiàn)一種靜態(tài)結(jié)構關系，易于整體把握性質(zhì)，并可轉(zhuǎn)變?yōu)榭杀徊僮鞯摹皩嶓w”.只有在此時，一個完整的理解才真正成型.數(shù)學思維、理解的認知過程都是要經(jīng)由“過程”到“對象”的先后順序，而要實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)變，離不開學生的數(shù)學實踐與體驗.

在上述教學片段中，首先是對第一象限中一個個點的具體操作，分析出函數(shù)圖象的一些特征；然后在第三象限中用手指畫示意圖，同時完成一些典型錯誤的辨析，最后是概括出整體性質(zhì).這樣的教學設計，讓學生經(jīng)歷了布魯納所說的抽象概念依次發(fā)展的3個階段：動作操作（列表描點）、表象操作（手指描草圖）、符號操作（看到反比例函數(shù)就想到雙曲線），強調(diào)了學習經(jīng)驗的積累，促進了學生對反比例函數(shù)圖象作為一個整體對象的建構.

眾所周知，正例有利于建立概念，反例有利于辨別概念.因此，當做出第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象之后，學生已有了“正例”，類比地，不難在第三象限描出正確圖象.繼而，再構造兩個“反例”，演示而不投影，既可達到辨析概念的目的又盡量不留負面印象.這樣，通過豐富學生對數(shù)學概念的表象操作，可以促進學生對數(shù)學的理解.

3 以函數(shù)各種表示形式的溝通為橋梁，建構和完善良好的數(shù)學知識結(jié)構

函數(shù)的表示形式有三種：解析式、表格、圖象，這三者是等價的，分別從式、數(shù)、圖三個方面對函數(shù)進行描述.然而，無論教、學，往往重視解析式與圖象，而輕視表格，上述教學片段也明顯地重視解析式與圖象的相互印證，而將表格只是作為作圖的準備工具而已，這是基于執(zhí)教者對函數(shù)各表示形式之間的孤立、片面的理解.現(xiàn)在想來，函數(shù)的表格形式也是大有教學價值的.一是描點之前的列表，正是將解析式“翻譯”為表格，作圖只是將表格中的數(shù)對“翻譯”為坐標系中的點；二是觀察分析函數(shù)性質(zhì)時，除了分析函數(shù)解析式、觀察函數(shù)圖象外，當然也可以從表格的數(shù)據(jù)中得到呼應.

比如，針對學生對雙曲線與x軸、y軸“越來越靠近（但不相交）”的趨勢不易理解的這個問題，就可以充分利用函數(shù)的表格形式.讓學生觀察最終所得的表格（表格一），提出一組問題：

表格一

（1）x＞0時，函數(shù)值的符號怎樣？x＜0呢？你能用一句話概括嗎？

這個現(xiàn)象與圖象的什么性質(zhì)相一致？

（2）x＞0時，隨著x的增大，函數(shù)值怎樣變化？隨著x的減小，函數(shù)值怎樣變化？

這個現(xiàn)象與圖象的什么性質(zhì)相一致？

（3）x＜0時，上述（2）的問題怎樣回答？能用一句話概括嗎？

通過這組問題的回答與分析，學生得以從“數(shù)”的角度直觀地體會反比例函數(shù)的增減性.

遺憾的是，由于筆者在教學設計階段尚未認識到函數(shù)的表格形式的價值，而錯失了這一對反比例函數(shù)增減性進行數(shù)值的直觀的描述的機會.

從這節(jié)公開課中，筆者深深地體會到，執(zhí)教者對相關數(shù)學內(nèi)容的理解越深刻，他（她）的數(shù)學課堂才能更有數(shù)學味，更悠遠、更簡練.插上數(shù)學思想的翅膀，令數(shù)學課堂更有活力.

1 劉金英，李慶.“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”（第一課時）教學設計與反思［J］.中國數(shù)學教育，2011，1、2合訂本

2 李士锜.熟能生巧嗎？［J］數(shù)學教育學報，1996，（8）

3 黃興豐，湯炳興，龔玲梅等.經(jīng)驗教師數(shù)學課堂教學策略的個案研究.數(shù)學教育學報［J］.2012，（1）