上海市寶山區(qū)寶林路寶林六村42號(hào)101室 姜坤崇 （郵編：201999）

本文給出關(guān)于三元a、b、c的一個(gè)猜想不等式及其部分解決.

1 當(dāng)m＝n＝1時(shí)猜想不等式的證明

結(jié)論1 設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù)，則

證明 由二元均值不等式得

2 當(dāng)m＝k，n＝2k（k是正整數(shù)）時(shí)猜想不等式的證明

結(jié)論2 設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù)，k是正整數(shù)，則

證明 由三元均值不等式得

由結(jié)論2可得下面的一些不等式（其中a、b、c是正實(shí)數(shù)）：

3 當(dāng)m＝k＋1，n＝2k（k是正整數(shù)）時(shí)猜想不等式的證明

結(jié)論3 設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù)，k是正整數(shù)，則

由結(jié)論3可得下面的一些不等式（其中a、b、c是正實(shí)數(shù)）：

4 當(dāng)m＝k，n＝2k＋1（k是正整數(shù)）時(shí)猜想不等式的證明

結(jié)論4 設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù)，k是正整數(shù)，則

由結(jié)論4可得下面的一些不等式（其中a、b、c是正實(shí)數(shù)）：

5 當(dāng)m＝1，n＝4；m＝2，n＝3時(shí)猜想不等式的證明

證明 由于所證不等式是關(guān)于a、b、c的5次齊次不等式，故可設(shè)a＋b＋c＝1，即證

當(dāng)x∈ （0，1）時(shí)，因?yàn)?/p>

設(shè)h（x）＝27x3－90x2－99x－32，則h′（x）＝9（9x2－20x－11），由h′（x）在（0，1）上是減函數(shù)且h′（0）＝－99＜0知h′（x）＜0（其中x∈（0，1）），故h（x）在（0，1）上為減函數(shù).

又h（0）＝－32＜0，所以h（x）＜0（其中x∈ （0，1）），所以 ④ 式成立，從而 ③ 式成立，于是

即②式成立，從而原不等式得證.

結(jié)論6設(shè)a、b、c＞0，則a2（b＋c）3＋b2（c＋a）3＋c2（a＋b）3≤（a＋b＋c）5.

證明 由于所證不等式是關(guān)于a、b、c的5次齊次不等式，故可設(shè)a＋b＋c＝1，即證

當(dāng)x∈ （0，1）時(shí)，因?yàn)?/p>

即⑤式成立，從而原不等式得證.

對(duì)于所有的正整數(shù)m、n（m≤n），猜想不等式是否完全成立？若成立，有無統(tǒng)一的證明？這些問題有待進(jìn)一步探究解決.