北京市第八十中學(xué) 索云旺 張啟華 （郵編：100102）

山西長治第二中學(xué) 張銳軍 （郵編：046000）

（續(xù)上期）

4 教學(xué)過程

（1課時.北京市朝陽區(qū)公開課，授課對象：北京市第八十中學(xué)科學(xué)創(chuàng)新實驗班學(xué)生，基礎(chǔ)較好，有一定自學(xué)能力、推理能力和創(chuàng)造能力.點評：第八屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獲獎?wù)?、特級教師張銳軍）

4.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出研究問題

師：利用數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)的眼光研究運動事物或變化現(xiàn)象的著眼點是什么？以公路上勻速行駛的汽車為例.

點評：本問題的提出是為了讓學(xué)生了解函數(shù)概念產(chǎn)生的背景，感受函數(shù)概念源于“現(xiàn)實”的基本思想.但考慮到提的問題太大，教師舉出一個學(xué)生非常熟悉的公路上勻速行駛的汽車，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)探究的欲望.

4.2 學(xué)生探索，推斷依賴關(guān)系

生1：著眼點是汽車行駛里程、汽車行駛時間，行駛里程依賴行駛時間變化而變化的關(guān)系.

師：你的著眼點是變量，以及變量之間的依賴關(guān)系，請再舉幾個例子.

生2：我國人口問題，變量為人口數(shù)、時間（年），人口數(shù)依賴時間（年）的變化而變化的關(guān)系.

生3：每天氣溫依賴時間變化而變化的關(guān)系，變量為氣溫、時間.

師：如果我們?nèi)サ暨@些例子的現(xiàn)實背景，它們的共同點是什么？

生3：都有兩個變量，其中一個變量依賴于另一個變量變化而變化.

師：很好！現(xiàn)實世界中，像這樣涉及兩個變量，且其中一個變量依賴于另一個變量變化而變化的事物或現(xiàn)象的例子多嗎？

眾生：很多！

師：正因為這樣的例子多，值得我們研究.在初中我們曾經(jīng)把前一個變量叫做后一個變量的？

生4：函數(shù).

師：請同學(xué)敘述一下初中學(xué)過的函數(shù)定義？

生5：（初中定義，略）

師：根據(jù)這個定義，要說y是x的函數(shù)，這兩個變量之間必須具備怎樣的關(guān)系？

生6：“對應(yīng)關(guān)系”

4.3 語言變式，識別對應(yīng)關(guān)系

師：與我們剛才說的“依賴關(guān)系”意思一致嗎？

點評：通過語言變式，換一種說法，識別出“對應(yīng)關(guān)系”，為用“對應(yīng)關(guān)系”描述變量之間依賴關(guān)系奠定基礎(chǔ).

4.4 師生交流，歸類對應(yīng)關(guān)系

師：好！兩個變量之間是怎么對應(yīng)的？是一一對應(yīng)嗎？

點評：雖然不少老師并不贊成在“一一對應(yīng)”或“多一對應(yīng)”下工夫，但是，我們的教學(xué)實踐和教學(xué)觀察認(rèn)為：這是學(xué)生逐步認(rèn)識、學(xué)會用“對應(yīng)關(guān)系”刻畫變量之間的依賴關(guān)系不可缺少的必經(jīng)階段！數(shù)學(xué)知識的生長不在于記住一個個抽象的概念和命題，而在于和它之前的背景知識交融在一起形成解決問題的能力.

生7：有些是“一對一”的對應(yīng)關(guān)系，也有“多對一”的對應(yīng)關(guān)系.

師：你能通過舉例說得具體些嗎？（略）.經(jīng)過同學(xué)們的討論，兩個變量滿足的是“一對一”與“多對一”的對應(yīng)關(guān)系，所以，函數(shù)是兩個變量之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系.

請同學(xué)再舉一個自變量x與因變量y是“多對一”對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)例子.

生8：二次函數(shù)y＝x2，是“多對一”的對應(yīng)關(guān)系.

師：非常好！你能用集合語言表示這個函數(shù)中自變量x的取值范圍、因變量y的取值范圍嗎？

生9：x的取值范圍是R，因變量y的取值范圍是｛y｜y≥0｝.

4.5 轉(zhuǎn)換情境，推斷對應(yīng)關(guān)系

對以下三個問題“鑒別”出變量，寫出變量的取值集合，推斷“對應(yīng)關(guān)系”，并判斷變量之間是否是函數(shù)關(guān)系？

問題1、問題2、問題3（略，人教社A版教材第15頁）

生10：三個問題中兩個變量之間都是函數(shù)關(guān)系，因為符合函數(shù)定義.

師：請用集合語言回答三個問題中兩個變量之間都是函數(shù)關(guān)系的理由.

生11：對問題1，對于數(shù)集A中的任意一個時間t，在數(shù)集B中都有唯一確定的高度h和它對應(yīng)，所以h是t的函數(shù).對問題2、問題3（同樣，略）

師：如果我們拋去三個問題的現(xiàn)實背景，要說變量y（y∈B）是變量x（x∈A）的函數(shù)，如何表述呢？

生12：對于數(shù)集A的每一個x，按照“一對一”或“多對一”的“對應(yīng)關(guān)系”，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù).

師：很好！要說y是x的函數(shù)，對于數(shù)集A的有幾個x同時與數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng)重要嗎？

生12：不重要.

師：那請你再概括一下？

生12：對于數(shù)集A的每一個x，按照某種“對應(yīng)關(guān)系”，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù).

4.6 師生交流，評論對應(yīng)關(guān)系

師：要說變量y是變量x的函數(shù)，數(shù)集A、數(shù)集B、“對應(yīng)關(guān)系”你認(rèn)為哪個因素更重要些呢？

眾生：“對應(yīng)關(guān)系”

師：很好！兩個數(shù)集中兩個變量之間的“對應(yīng)關(guān)系”是“初中定義”中y是x函數(shù)的關(guān)鍵要素，在它們的“對應(yīng)關(guān)系”下是函數(shù)關(guān)系，與是否用變量x表示出變量y有關(guān)系嗎？

眾生：無關(guān).

師：請舉例說明.

生13：前面公路上勻速行駛汽車的例子中兩個變量s、t滿足“一對一”的對應(yīng)關(guān)系，用變量t可以表示出s，即s＝80t（設(shè)汽車行駛的速度是80千米／每小時），問題1中的兩個變量h、t滿足多“對一”的對應(yīng)關(guān)系，用變量t亦可以表示出h，即h＝130t－5t2（課前準(zhǔn)備曾讓學(xué)生求解過解析式）.但是，同學(xué)2、同學(xué)3所舉的例子及問題2、問題3中的兩個變量在它們的“對應(yīng)關(guān)系”下，卻無法用一個變量表示出另一個變量，所以兩個數(shù)集中的兩個變量在它們的對應(yīng)關(guān)系下是函數(shù)關(guān)系，與是否用變量x表示出變量y無關(guān).

4.7 創(chuàng)設(shè)問題，產(chǎn)生引入f的可能

師：在用圖象、表格表示的“對應(yīng)關(guān)系”下的兩個變量，如果也能用變量x表示出變量y的話，那么我們就可以把在三種類型（解析式、圖象、表格）“對應(yīng)關(guān)系”下的兩個變量，一般地用變量x表示出變量y來，實現(xiàn)統(tǒng)一和諧之美！

點評：制造強烈的、合乎自然邏輯的認(rèn)知沖突，提出高認(rèn)知水平的問題，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)習(xí)的動機與探究的欲望，也有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

生14：引入一個符號就行.

師：你怎么想到引入一個符號呢？

生14：我們剛才為了表達(dá)變量的取值范圍用了集合符號，最近學(xué)過的集合內(nèi)容，引入了符號“∈”、“?”，用a∈A表示元素a屬于集合A；用A?B表示集合A是集合B的子集.

師：你太棒了！“∈”、“?”這些符號就是為了用來表達(dá)兩個數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系而引入的.其實，數(shù)學(xué)總是這樣，為了精確和清晰表達(dá)內(nèi)容與問題，總是創(chuàng)造性地引入一些數(shù)學(xué)符號.那么，要表示兩個數(shù)集中變量之間的“對應(yīng)關(guān)系”你覺得用什么數(shù)學(xué)符號合適呢？（生沉默）.

4.8 喚醒經(jīng)驗，啟發(fā)設(shè)計方案

師：以前學(xué)習(xí)中，你有為表達(dá)兩個數(shù)集變量之間的“對應(yīng)關(guān)系”而引入數(shù)學(xué)符號的經(jīng)驗嗎？

點評：笛卡爾曾說：“我們解決的每一個問題都將成為一個范例用于解決其他問題”.面對一時難以解決的困惑，不妨從“歷史經(jīng)驗”中尋找啟發(fā).“歷史是最好的啟發(fā)式”.［1］

師：那么，要表示兩個數(shù)集變量之間的“對應(yīng)關(guān)系”，你們覺得應(yīng)引入一個什么樣的數(shù)學(xué)符號呢？

生16：受生15同學(xué)的啟發(fā)，引入一個符號就可以，并且y可以用引入的符號表示出來.

師：你太棒了！教師板書：符號“Δ”：x→y，且y可以用“Δ”表示出來，師生討論后引入f：x→y（當(dāng)然，f也可以用g，p，h等表示）.

剛才，生16同學(xué)說y可以用f表示出來，而我們前面提出的要研究的問題是變量x表示出變量y來，兩者結(jié)合起來，下面我們要研究的問題是什么？

點評：數(shù)學(xué)符號要便于進(jìn)行數(shù)學(xué)思維才有生命力，反過來，為了進(jìn)行數(shù)學(xué)思維必須使用數(shù)學(xué)符號，必須學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)語言（由符號表達(dá)）.［2］

眾生：用x，f表示出變量y來.

生17：太抽象了（眾生笑）.

4.9 師生交流，啟發(fā)尋找思路

師：那怎么辦？遇到抽象的問題如何處理呢，你有想法嗎？

點評：教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探索解決問題的方法.波利亞指出：類比提供了一種可能的解題模式.即在解決某個問題之前，先“選出一個類似的、較易的問題，去解決它，改造它的解法以便用作一個模式，然后利用剛剛建立的模式，以達(dá)到原來問題的解決.”

生18：研究一下問題1中是如何用x，f表示出變量y的，因為問題1中的函數(shù)有具體“解析式”.

師：好！那請你具體說一說吧！

生18：

4.10 轉(zhuǎn)換表征，建構(gòu)f的涵義

師：為了更直觀、清晰表達(dá)你寫的兩個數(shù)集A、B之中變量x與y之間的“對應(yīng)關(guān)系”，你還有其它方法嗎？

點評：多元表征理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)往往隱含在豐富多彩的表現(xiàn)形式中.概念的表征形式常見有：語言表征、符號表征、圖形表征、操作表征、情景表征等.教學(xué)中需要教師對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行多元表征，力求從直觀形象的角度對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行挖掘，賦予靜態(tài)抽象的數(shù)學(xué)概念以豐富直觀的背景，促進(jìn)學(xué)生理解.

生19：用Venn圖表示兩個集合，畫上用箭頭表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.所以，對應(yīng)關(guān)系f為：t→130t－5t2＝h.（Venn圖，略）

師：你能舉例說出學(xué)過的有“解析式”函數(shù)的“對應(yīng)關(guān)系f”嗎？

生20：y＝x2，對應(yīng)關(guān)系f：x→x2＝y(tǒng)；

y＝，對應(yīng)關(guān)系f：x→＝y(tǒng)；

y＝2x＋3，對應(yīng)關(guān)系f：x→2x＋3＝y(tǒng).

生1同學(xué)所舉的例子：

s＝80t，對應(yīng)關(guān)系f：t→80t＝s.

（突然）生21：我似乎找到了問題3的“對應(yīng)關(guān)系”了.將生18同學(xué)所計算數(shù)值列成表格如下：

這個“表格”就表示了問題1中的對應(yīng)關(guān)系f：t→130t－5t2＝y(tǒng).

所以，問題3中的表格就蘊含著“對應(yīng)關(guān)系f”，“表格”就是“對應(yīng)關(guān)系f”，即：f：t→n.生2同學(xué)所舉的例子：f：t→y（t為時間（年），y為人口數(shù)）

師：你太棒了！你怎么想到的？

生21：初中學(xué)習(xí)分析數(shù)據(jù)的基本方法，就是用條形圖將它們畫出來，或用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式，尋找規(guī)律.其實，也是受生19的啟發(fā).

（突然）生22：我也找到了問題2中的“對應(yīng)關(guān)系”，因為圖象中的每個點就表示了給定的一個時間（自變量）所對應(yīng)的唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對應(yīng).所以，圖象本身蘊含著“對應(yīng)關(guān)系f”，對每一對（t，s）就是唯一確定的對應(yīng)關(guān)系，即對應(yīng)關(guān)系f：t→s.生3同學(xué)所舉的例子f：t→T（t為時間，T為氣溫）.

師：通過上面的討論可以看出，我們引入的符號f：x→y表示“對應(yīng)關(guān)系”是合理的.你能說一下“對應(yīng)關(guān)系f”的含義或功能嗎？

點評：美國數(shù)學(xué)史家D.J.Struik曾經(jīng)指出：“一種合適的符號要比一種不良的符號更能反映真理.而合適的符號，它就帶著自己的生命出現(xiàn)，并且它又創(chuàng)造出新的生命來.”［3］

生23：通過上面的討論可以看出：數(shù)集B中唯一確定的與數(shù)集A中變量x對應(yīng)的變量y是對變量x實施“對應(yīng)關(guān)系f”得到的.

師：還有其它說法嗎？

生24：y是經(jīng)過f對應(yīng)過來的.

生25：“對應(yīng)關(guān)系f”的含義就是使x與y對應(yīng)起來.

師：三位同學(xué)的認(rèn)識如何？

眾生：鼓掌！

4.11 師生交流，生成符號f（x）

師：你們說得非常精彩？這樣，如何用x，f表示出變量y呢？

點評：如果一個聰明的學(xué)生沒有足夠的機會通過自身的經(jīng)驗來使自己相信，數(shù)學(xué)符號組成的語言有助于思維，那么，他對代數(shù)的這種反感是無可非議的.幫助學(xué)生獲得這樣的經(jīng)驗是教師的一項重要任務(wù)，是他最為重要的任務(wù)之一.

生25：老師，用x，f的加、減、乘、除等運算都不行.

師：在18世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲已經(jīng)解決了該問題，他是將y換成符號f（x），即x→f（x）＝y(tǒng).

這樣的話，問題1中的對應(yīng)關(guān)系f：t→f（t）＝h；（學(xué)生回答，教師板書以下同）

問題2中的對應(yīng)關(guān)系f：t→f（t）＝s；問題3中的對應(yīng)關(guān)系f：t→f（t）＝n.

生20同學(xué)所舉的例子中：

y＝x2，對應(yīng)關(guān)系f：x→x2，即f：x→f（x）＝x2＝y(tǒng)；

y＝，對應(yīng)關(guān)系f：x→，即f：x→f（x）＝＝y(tǒng).

生1同學(xué)所舉例子中：s＝80t對應(yīng)關(guān)系f：t→80t＝s，即f：t→f（t）＝80t＝s；

生2同學(xué)所舉例子：對應(yīng)關(guān)系f：t→y，即f：t→f（t）＝y(tǒng)（t為時間（年），y為人口數(shù)）；

生3同學(xué)所舉例子：對應(yīng)關(guān)系f：t→T，即f：t→f（t）＝T（t為時間，T為氣溫）.

同學(xué)們還能舉例一些用圖像、表格表示的函數(shù)嗎？其對應(yīng)關(guān)系？（略）

所以，一個函數(shù)都可以將其“對應(yīng)關(guān)系”表示為f：x→f（x），從而實現(xiàn)了用x、f表示出變量y，即y＝f（x）.

4.12 運用f（x），形成函數(shù)概念

師：請運用符號f（x）表述y是x函數(shù)的理由.

生26：對于數(shù)集A的每一個x，按照某種“對應(yīng)關(guān)系f”，在數(shù)集B中都有唯一確定的f（x）和它對應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù).

教師投影教材定義：（高中函數(shù)定義略）

4.13 師生交流，理解函數(shù)概念

師：談?wù)剬滩慕o出的定義的認(rèn)識.

點評：概念定義后，必須從不同的側(cè)面、不同角度去挖掘，深化理解.一般地，從以下幾個方面理解數(shù)學(xué)概念：從定義的重要詞句上剖析，找出其內(nèi)涵和外延；從結(jié)構(gòu)上進(jìn)行剖析，建立與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系；通過反例來剖析概念，建立清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu).反例辨析的方法主要采用命題判斷與變式（概念變式主要包括：圖形變式、式子變式、符號變式、等價說法等）兩種形式，通過變式利用外延來檢驗概念.

生27：我對定義中值域是數(shù)集B的子集不理解，值域和數(shù)集B應(yīng)該是相等.頓時，教室內(nèi)討論氣氛熱烈.2分鐘后 ——

生28：C?B是對的，定義中數(shù)集B不再是實際問題中的數(shù)集B，可以允許數(shù)集B中的元素比與x對應(yīng)的f（x）構(gòu)成的集合中元素多，所以C?B.（多數(shù)同學(xué)點頭，從個別同學(xué)表情來看，仍有困惑.）

師：能否舉例解釋？

生29：如果A＝R，B＝R，按照對應(yīng)關(guān)系f：x→x2，在數(shù)集B中都有唯一確定的f（x）與數(shù)集A中的每一個元素對應(yīng)，所以f：A→B為數(shù)集A到數(shù)集B上的一個函數(shù)，記為y＝x2，其值域為：C＝｛f（x）｜f（x）≥0｝，由于數(shù)集B中有小于零的數(shù)，顯然C?B.

生30：如果按照對應(yīng)關(guān)系f：x→－x2，那么f：A→B也是數(shù)集A到數(shù)集B上的一個函數(shù)，記為y＝－x2，其值域為C＝ ｛f（x）｜f（x）≤0｝，顯然C?B.

生31：通過以上兩位同學(xué)的回答，數(shù)集A與數(shù)集B中的“對應(yīng)關(guān)系f”，有人為“規(guī)定”的意思.

師：那你憑什么這么說呢？

生32：給定兩個數(shù)集A、B，我們可任意規(guī)定一個“對應(yīng)關(guān)系f”，只要使數(shù)集A任意元素x，保證數(shù)集B中都有唯一確定的元素f（x）與之對應(yīng)，就建立了一個函數(shù).

師：你太聰明了！同學(xué)們，你們能構(gòu)建一些函數(shù)嗎？

生33：A＝R，B＝ ｛1｝，f：x→1，y＝1.

生34：我認(rèn)為函數(shù)值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的.

師：你為什么這么說？

生35：從同學(xué)們所舉例子中就可以知道，如函數(shù)f（x）＝x2，定義域為 R，值域為｛f（x）｜f（x）≥0｝.

師：很好！你對函數(shù)的定義域有怎樣的認(rèn)識？

生36：定義域中的數(shù)必須讓“對應(yīng)關(guān)系f”能對應(yīng)它.

師：這是什么意思？能幫助他解釋嗎？

生37：他的意思就是說定義域中的數(shù)必須做到對應(yīng)關(guān)系“f”有意義才行，換句話說，定義域就是使“對應(yīng)關(guān)系f”有意義的自變量取值集合.

師：很好！你舉個例子吧！

生37：比如f（x）＝，對應(yīng)關(guān)系f：x→，0這個數(shù)“對應(yīng)關(guān)系x”對它無能為力，（眾生笑）.所以，函數(shù)f（x）＝的定義域為｛x｜x≠0｝.

師：這樣的話，如果判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，需要看什么？

眾生：兩個函數(shù)的定義域相同，且“對應(yīng)關(guān)系f”完全一致，兩個函數(shù)完全相同.

師：舉個例子？（略）

師：好！我們把函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系f、值域稱為函數(shù)的三要素.對應(yīng)關(guān)系f是使“對應(yīng)”得以實現(xiàn)的方法和途徑，是聯(lián)系x與y的紐帶，從而是函數(shù)概念的核心.x與y的關(guān)系既互相依賴，又互相制約.

至此，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的初中、高中兩個定義，請同學(xué)們舉例說明兩個定義的異同，你認(rèn)為高中定義有什么優(yōu)點？

生38：兩個定義的本質(zhì)是一致的，即它們的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系本質(zhì)上也是一致.只不過語言的敘述不同，初中定義是從運動變化的語言（教師板書，俗稱“變量說”生動、直觀），高中定義用集合與對應(yīng)的語言.（教師板書俗稱“對應(yīng)說”）但是，在判斷y＝1是函數(shù)，用初中定義判斷比較勉強，而用高中定義解釋十分自然.

生39：在判斷函數(shù)y＝x與y＝是否是同一個函數(shù)時，用高中定義也非常方便自然.

師：好！高中定義的優(yōu)點我們在以后的學(xué)習(xí)中還會繼續(xù)體會.但初中定義由于用變量觀點描述函數(shù)比較生動、直觀，今后為了方便，我們有時仍然使用它.

4.14 運用概念，解決實際問題

師：同學(xué)們能用高中定義敘述一下所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、銳角的三角函數(shù)是函數(shù)嗎？（略）.

點評：概念的獲得最終是為了獲得思維過程的訓(xùn)練和更高級的運用.“運用概念的能力是掌握概念的標(biāo)志”，由于知識的內(nèi)化的過程本身是建立在原先已有的知識之上的，這樣，原先知識結(jié)構(gòu)的質(zhì)量就決定了知識生長的數(shù)量和質(zhì)量.

例題1 （教材例題1略）

例題2 （1）函數(shù)y＝x2－2x的定義域為｛0，1，2，3｝，那么其值域__________；

（2）下列表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是________；

點評 本著教學(xué)活動、教學(xué)目標(biāo)、測量評估一致性原則，精心選擇幾道難易適中的典型問題，引導(dǎo)學(xué)生盡可能獨立地（也可以討論、交流）思考、分析、探索問題，從中感悟函數(shù)概念、基本方法的應(yīng)用.教師針對學(xué)生存在的問題，借題發(fā)揮，進(jìn)行示范性講解.教師的分析要重聯(lián)系、重轉(zhuǎn)化、重本質(zhì)，概括提煉規(guī)律，由例及類，教給學(xué)生分析問題、解決問題的方法.

4.15 變練演編，鞏固深化概念

Ⅰ（1）設(shè)集合M＝ ｛x｜0≤x≤2｝，N＝ ｛y｜0≤y≤2｝，則在下面4個圖形中，能建立從集合M到集合N的函數(shù)的有________；

（2）在（1）中函數(shù)的圖象與直線x＝a（a∈R）最多有幾個交點____________；

（3）在課堂問題1中，炮彈在發(fā)射3秒后爆炸，集合A變?yōu)镃＝｛t｜0≤t≤3｝，其它條件不變，問：h是否還是t的函數(shù)？

Ⅱ.試構(gòu)造一個A到B的函數(shù)，且A＝｛x｜－1≤x≤1｝，B＝｛y｜0≤y≤1｝.請同學(xué)們自己編一道與本題類似的題目，讓同桌解答.

點評 變練是指教師通過對概念、圖形背景、題目的條件或結(jié)論、題目的形式等進(jìn)行多角度、全方位的引申，編制形式多樣（最好是具有探索性、開放性）的問題，讓學(xué)生討論、交流、解答，以加深學(xué)生對問題的理解；演編是指學(xué)生在對知識、問題有較深的理解的基礎(chǔ)上，自己模仿或創(chuàng)造性的編擬數(shù)學(xué)（變式）題，供全班同學(xué)研究或解答.實踐證明，編題實踐是學(xué)生概括能力、創(chuàng)新精神和實踐能力得以鍛煉和表現(xiàn)的有效措施，也是豐富課堂內(nèi)容的有效方法.

4.16 反思小結(jié)，提煉升華概念

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對函數(shù)概念有了那些新認(rèn)識？還有哪些收獲？（知識、思想、觀點方面）

點評 回顧在獲得函數(shù)概念（y＝f（x））的艱難曲折歷程中師生所做的概括工作.進(jìn)一步認(rèn)識y＝f（x）中x、y代表了現(xiàn)實世界中滿足特殊對應(yīng)關(guān)系f的兩個變量，譬如里程，時間等，體會概念是簡化世界的類目.

4.17 引發(fā)問題，做好后續(xù)鋪墊

師：本節(jié)課，我們構(gòu)建了y＝f（x）這樣的函數(shù)模型，來刻畫描述現(xiàn)實世界中運動事物或變化現(xiàn)象.那么，要了解運動事物或變化現(xiàn)象的規(guī)律，就需要研究函數(shù)y＝f（x）的什么問題？

眾生：變化規(guī)律，性質(zhì).

師：就是說，要通過研究y＝f（x）的變化規(guī)律、性質(zhì)，來把握事物的變化規(guī)律，是我們以后幾節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

點評 函數(shù)一節(jié)的教學(xué)應(yīng)成為本章各節(jié)的教學(xué)典范，即從研究方式上看指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與函數(shù)一節(jié)是是一致的，同樣是“現(xiàn)實—數(shù)學(xué)—現(xiàn)實”的過程.事實上，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，這樣的研究過程還會不斷地重復(fù)下去，而這樣的過程的不斷重復(fù)，就能夠使學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)的一般方法：原來數(shù)學(xué)研究就是這樣進(jìn)行的.［4］

4.18 信息反饋，形成性測試（略）

5 教后反思（略）

1 歐陽鋒.數(shù)學(xué)的藝術(shù)［M］.北京：農(nóng)村讀物出版社，1997，51

2 張楚廷.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.北京：警官教育出版社，1998：127

3 D.J.斯特洛伊克.數(shù)學(xué)簡史［M］.北京：科學(xué)出版社，1956：75－76.

4 石志群.函數(shù)［J］.數(shù)學(xué)通訊增刊，2009（7）