胥永剛，孟志鵬，陸 明，付 勝

（北京工業(yè)大學機電學院先進制造技術(shù)北京市重點實驗室，北京 100124）

引 言

滾動軸承是機械設備中最常用的零件之一，它的運行狀態(tài)直接影響到整臺機器的性能，而滾動軸承故障是導致機械設備運行過程中產(chǎn)生故障的主要原因之一，因此對滾動軸承故障診斷進行研究具有十分重要的意義［1］。通常，除固定的外圈之外，滾動軸承中的運動部件（包括內(nèi)圈、保持架和滾動體）局部損傷造成的振動激勵源與傳感器之間的位置相對變化，而且在軸和軸上多種零部件振動的影響作用下，信號中的干擾激勵多，滾動軸承振動信號的成分比較復雜，因此，相對于外圈故障來說，內(nèi)圈、保持架和滾動體故障特征微弱，不易提取［2］。

雙樹 復 小 波 變 換 （dual－tree complex wavelet transform，DT－CWT）首先由 Kingsbury等提出［3］，后經(jīng)學者Selesnick進一步發(fā)展［4］。雙樹復小波變換保留了復小波變換的優(yōu)良特性，而且采用雙樹濾波器的形式，保證了信號的完全重構(gòu)性。因此，雙樹復小波變換是一種具有近似平移不變性、良好的方向選擇性、有限的數(shù)據(jù)冗余性、完全重構(gòu)性和計算效率高等良好特性的小波變換，已經(jīng)成功應用于圖像處理、語音識別、信號降噪和故障診斷等領域［5～8］。

目前，奇異值分解技術(shù)在故障診斷領域已有應用［9，10］，主 要 用 于 信 號 降 噪 處 理 及 周 期 成 分 的 提?。?1］。奇異值差分譜用來描述信號中有用成分和噪聲的奇異值的本質(zhì)差異，根據(jù)差分譜的最大突變位置可以準確地確定有效奇異值的個數(shù)。

本文提出了基于雙樹復小波和奇異差分譜的故障診斷方法，并將其成功應用于機械故障診斷。實驗和工程應用均表明，該方法可以有效的提取滾動軸承的故障特征頻率。

1 雙樹復小波變換的基本原理

雙樹復小波變換采用兩個并行的實小波變換來實現(xiàn)信號的分解和重構(gòu)，分別稱為實部樹和虛部樹，DT－CWT的分解與重構(gòu)過程如圖1所示［3，4］。在信號的分解與重構(gòu)過程中，始終保持虛部樹的采樣位置位于實部樹的中間，使雙樹復小波變換能有效綜合利用實部樹和虛部樹的小波分解系數(shù)，從而實現(xiàn)實部樹和虛部樹的信息互補。這種小波分解算法使雙樹復小波變換具有近似平移不變性，并減少了有用信息的丟失。雙樹復小波變換在各層的分解過程中，利用小波系數(shù)二分法減少了多余的計算，從而提高了計算速度。根據(jù)雙樹復小波的構(gòu)造方法，復小波可表示為

式中ψh（t），ψg（t）表示兩個實小波；i為復數(shù)單位。由于雙樹復小波變換由兩個并行的小波變換組成，因此，根據(jù)小波理論，上面實部樹小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由下式計算：

同理，下面虛部樹小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由下式計算：

因此，可得到雙樹復小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)：

最后，雙樹復小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由下式進行重構(gòu)：

雙樹復小波變換后的重構(gòu)信號可表示為

圖1所示為3層雙樹復小波分解和重構(gòu)過程，在分解過程中，h0和h1分別為實部樹對應的低通濾波器和高通濾波器，g0和g1分別為虛部樹對應的低通濾波器和高通濾波器。同樣，在重構(gòu)時，h0′和h1′為實部樹濾波器組，g0′和g1′為虛部樹濾波器組，本文采用的是Kingsbury所構(gòu)造的Q－shift雙樹濾波器［3］。

圖1 雙樹復小波變換的分解和重構(gòu)過程Fig．1 Decomposition and reconstruction process of dual－tree complex wavelet transform

2 奇異值差分譜的基本原理

奇異 值 分 解 （Singular value decomposition，SVD）是一種正交化的方法。一個實矩陣A∈Rm×n，不管其行列是否相關，必定存在一對正交矩陣U＝（u1，u2，…，um）∈Rm×m和一個正交矩陣V＝（v1，v2，…，vn）∈Rn×n，使得

式中S＝（diag（σ1，σ2，…，σq），0）或者其轉(zhuǎn)置，這取決于m＜n還是m＞n，其中，A∈Sm×n，0代表零矩陣，q＝min（m，n），σ1≥σ2≥…σq≥0，它們稱為矩陣A的奇異值。

應用SVD的關鍵是利用信號構(gòu)造出恰當?shù)木仃?。一維信號可以構(gòu)造出很多矩陣，如Toeplitz矩陣、Cycle矩陣、Hankel矩陣等，也有其他的構(gòu)造方法，構(gòu)造的矩陣不同，SVD處理信號的效果就不同。采用Hankel矩陣，SVD可以有效地去除信號中的噪聲成分［12］。

設有Y＝（y（1），y（2），…，y（N））為離散數(shù)字信號，可以構(gòu)造Hankel矩陣如下

式中 1＜n＜N。令m＝N－n＋1，則H∈Rm×n，上述矩陣稱為重構(gòu)吸引子軌道矩陣。為實現(xiàn)對信號各成分的充分分離，要求Hankel矩陣的行數(shù)和列數(shù)盡可能達到最大，故n＝N／2，m＝N／2＋1。

然后再對重構(gòu)吸引子軌道矩陣進行奇異值分解。SVD的本質(zhì)是將原始信號分解為一系列分量信號的簡單線性疊加，一個分量從原始信號中被分離的過程就是從原始信號中簡單的減去，而且各個分離出來的分量信號保持在原信號中的相位不變，也就是具有零相位偏移特性。其意義在于，可以選取感興趣的若干分量進行簡單的疊加，從而實現(xiàn)對信號特征信息的提?。?2］。

Hankel矩陣的特點是：矩陣的后一行總是比前一行滯后一個數(shù)據(jù)點，對于理想信號所構(gòu)造的Hankel矩陣，是一種病態(tài)矩陣，相鄰的行都是高度相關的。這種病態(tài)矩陣的前幾個奇異值比較大，后面的奇異值非常小，都近似于零，奇異值在某一點發(fā)生突變，即矩陣的秩所對應的點處。而對含噪聲的信號，盡管前后兩行也滯后一個數(shù)據(jù)點，但卻互不相關，是一個良態(tài)滿秩的矩陣。

對于含噪信號構(gòu)造的Hankel矩陣有后面的q－k個奇異值明顯小于前k個奇異值，也就是說奇異值在第k個點發(fā)生突變，而前k個奇異值代表了要提取的理想信號。由于每一個奇異值對應著一個分量信號，因此，只要選擇前面k個分量進行簡單的疊加，就可獲得降低了噪聲的信號。

為了合理地描述含噪信號的奇異值突變情況，定義奇異值差分譜。設所有奇異值按照從大到小的順序形成的序列為S＝σ1，σ2，…，σq，則

將所有bi組成的序列B＝（b1，b2，…，bq－1）稱為奇異值的差分譜，它描述了兩兩相鄰奇異值的變化情況，當兩相鄰奇異值差別較大時，在差分譜中必將產(chǎn)生一個峰值，而在整個差分譜中必然存在一個最大峰值bk，根據(jù)差分譜的定義，這意味著奇異值序列在位置k處發(fā)生了最大突變。

奇異值在最大突變點處產(chǎn)生的最大差異根本原因就在于有用信號和噪聲的相關性不同而在奇異值上表現(xiàn)出來的自然反應。

3 DT－CWT和奇異差分譜診斷方法

首先將信號進行DT－CWT分解，得到幾個不同頻段的分量。然后選擇某個含有故障特征信息的分量，對其進行差分譜消噪，重構(gòu)信號，并求其希爾伯特包絡譜，從而找到故障頻率，進行更為準確的故障識別［13，14］。該方法實現(xiàn)流程如圖2所示。

圖2 基于DT－CWT和奇異差分譜的診斷方法Fig．2 The method based on DT－CWT and different spectrum of singular value

其診斷具體步驟如下：

（1）通過對原始振動信號進行雙樹復小波分解和重構(gòu)，得到幾個頻段不同的分量。

（2）對包含故障特征的分量，構(gòu)建Hankel矩陣。

（3）對Hankel矩陣進行奇異值分解。

（4）求差分譜，并畫出差分譜曲線圖。確定譜圖中最大突變點，即重構(gòu)信號時需要保留的分量個數(shù)。

（5）根據(jù)步驟（4）中確定的分量個數(shù)，消除噪聲，重構(gòu)信號，并求希爾伯特包絡譜。

（6）從希爾伯特包絡譜中確定故障特征信息。

4 實驗分析

實驗系統(tǒng)如圖3所示，由軸承實驗臺、壓電式加速度傳感器、數(shù)據(jù)采集儀、筆記本電腦組成。將正常和有故障軸承依次安裝在軸承實驗臺上，進行實驗數(shù)據(jù)的采集，數(shù)據(jù)采集儀將數(shù)據(jù)傳到電腦中，進行數(shù)據(jù)處理分析。

圖3 故障實驗臺Fig．3 Bearing fault test rig

該實驗的滾動軸承型號為6307，電機轉(zhuǎn)速為1 496r／min，采樣頻率為15 360Hz，模擬了實驗臺末端軸承外圈點蝕、內(nèi)圈點蝕、滾動體點蝕及復合故障。經(jīng)計算，故障特征頻率如表1所示。

表1 6307軸承故障頻率Tab．1 Fault frequency of 6307bearing

4．1 軸承外圈故障診斷

圖4 軸承外圈故障波形及頻譜Fig．4 Waveform and spectrum of bearing outer ring fault

圖4為軸承外圈點蝕故障的時域波形及其幅值譜。從波形中可以看到較為明顯的周期性沖擊，但是故障特征不是很明顯，幅值譜中亦存在較為明顯的邊頻帶，同時也存在強烈的干擾成分。故利用DT－CWT對原始信號進行4層分解，然后進行單支重構(gòu)，各層重構(gòu)信號為a4，d4，d3，d2和d1，得到如圖5所示的不同頻段的分量，可以看到第三個分量d3有較為明顯的周期性沖擊成分。

圖5 雙樹復小波分解圖Fig．5 Waveform of DT－CWT decomposition

將第三個分量d3作為研究對象，構(gòu)造Hankel矩陣，進行奇異值分解并求得奇異值序列，進而求得奇異值差分譜，由于奇異值差分譜峰突變在前段部分，后面的都趨于零。為了清楚的觀察差分譜的情況，將奇異值序列和差分譜前100個點繪在一個坐標系下，如圖6所示。從圖中可以看到最大的峰值發(fā)生在第6個點，奇異值序列在此位置發(fā)生了最大的突變。故保留SVD分解的前6個奇異值，其余的置為0，進行奇異值重構(gòu)得到如圖7所示結(jié)果。信號呈現(xiàn)非常好的周期性沖擊，沖擊周期大約為0．013s，對應的頻率為76．9Hz，與軸承外圈特征頻率非常接近。

圖6 奇異值和差分譜前100個點Fig．6 The former 100points of singular value and singular value difference spectrum

圖7 重構(gòu)SVD前6個奇異值的信號波形Fig．7 Waveform of reconstruction the first six SVD singular value

對圖7所示的重構(gòu)信號進行希爾伯特包絡解調(diào)，得到如圖8所示的包絡譜，可以很清楚地看到75，150和225Hz的頻率，與軸承外圈特征頻率的一倍、二倍和三倍頻非常接近，可以斷定此軸承發(fā)生了外圈故障。

圖9所示為直接對d3作希爾伯特包絡譜，也可以看到75Hz的頻率，但是明顯地出現(xiàn)了120，157．5Hz等一系列的虛假成分，易造成誤診斷。對比分析，本文方法可以有效地提取故障特征信息。

圖8 SVD重構(gòu)后信號的希爾伯特包絡譜Fig．8 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

圖9 d3分量的希爾伯特包絡譜Fig．9 Hilbert envelope spectrum of d3

4．2 軸承內(nèi)圈故障診斷

同理，對于軸承內(nèi)圈故障信號進行雙樹復小波分解，選擇第二個分量d2的波形如圖10所示，有較為明顯的沖擊成分，同時也有強烈的干擾成分。

圖10 雙樹復小波分解后d2的波形Fig．10 Waveform of d2by DT－CWT

利用SVD分解求奇異值差分譜，最大突變點在第8個點，故選前8個奇異值重構(gòu)波形如圖11所示，信號有明顯的周期性沖擊，沖擊周期大約為0．008 3s，對應的頻率為120．4Hz，與軸承內(nèi)圈特征頻率非常接近。進一步做希爾伯特包絡解調(diào)得如圖的12所示的包絡譜，可以很清楚地看到123．1 Hz，243．8，367．5和491．3Hz的頻率，與軸承內(nèi)圈特征頻率的一倍、二倍、三倍和四倍頻非常接近，可以斷定此故障為軸承內(nèi)圈故障。直接對雙樹復小波分解的d2做希爾伯特包絡解調(diào)得如圖13所示的包絡譜。

圖11 重構(gòu)SVD前8個奇異值的信號波形Fig．11 Waveform of reconstruction the first eight SVD singular value

圖12 SVD重構(gòu)后信號的希爾伯特包絡譜Fig．12 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

圖13 d2分量的希爾伯特包絡譜Fig．13 Hilbert envelope spectrum of d2

4．3 軸承滾動體故障診斷

圖14 雙樹復小波分解后d3的波形Fig．14 Waveform of d3by DT－CWT

將軸承滾動體點蝕故障信號進行雙樹復小波分解，選擇第三個分量d3的波形如圖14所示。利用SVD分解求奇異值差分譜，最大突變在第2個點，如果最大突變點發(fā)生在前兩個點，往往取第二個最大突變點，因為奇異值分量太少會丟失有效信息。第二最大突變點為第6點，故保留前6個奇異值進行重構(gòu)得到的波形如圖15所示。信號有明顯的周期性沖擊，沖擊周期大約為0．019s，對應的頻率為52．6Hz，與滾動體故障特征頻率非常接近。進一步做希爾伯特解調(diào)得如圖16所示的包絡譜，對比直接對d3做希爾伯特解調(diào)得到如圖17所示的包絡譜。

圖15 重構(gòu)前6個奇異值的信號波形Fig．15 Waveform of reconstruction the first six SVD singular value

圖16 SVD重構(gòu)后的希爾伯特包絡譜Fig．16 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

圖17 d3的希爾伯特包絡譜Fig．17 Hilbert envelope spectrum of d3

4．4 軸承復合故障診斷

對同時存在內(nèi)圈點蝕、外圈點蝕、滾動體點蝕三種故障的信號進行雙樹復小波分解，選擇第三個分量d3的波形如圖18所示。利用SVD分解求奇異值差分譜，最大突變點是第8個點，故選前8個奇異值進行重構(gòu)的波形如圖19所示，信號中有明顯的沖擊性成分，但其周期性較為復雜，應是由多個不同頻率的調(diào)幅信號復合而成。

進一步做希爾伯特解調(diào)得如圖20所示的包絡譜，很清楚地看到52．5，78．7和120Hz的頻率，分別與軸承滾動體特征頻率、外圈特征頻率和內(nèi)圈特征頻率接近，105Hz為52．5Hz的二倍頻，可以判定此故障為軸承外圈故障、內(nèi)圈故障和滾動體故障的復合故障。

圖18 雙樹復小波分解后d3的波形Fig．18 Waveform of d3by DT－CWT

圖19 重構(gòu)前8個奇異值的信號波形Fig．19 Waveform of reconstruction the first eight SVD singular value

圖20 SVD重構(gòu)后的希爾伯特包絡譜Fig．20 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

5 工程案例

某鋼鐵廠第27架精軋機出現(xiàn)齒輪箱打壞事故，故障位置為II軸12號軸承，整個軸承損壞嚴重，停機4h。故障發(fā)生時電機轉(zhuǎn)速為1 178r／min，采樣頻率為12 000Hz，采樣點數(shù)為2 048。故障特征頻率為117．187 5Hz。故障發(fā)生8天前波形及幅值譜如圖21所示，波形顯示有沖擊成分，但根據(jù)頻譜圖無法準確識別故障軸承對應的特征頻率。

圖21 軸承滾動體故障波形及頻譜Fig．21 Waveform and spectrum of original signal

為了提取故障特征，利用本文方法，首先利用雙樹復小波對原始信號進行4層分解并單支重構(gòu)，得到如圖22所示結(jié)果，可以看出第三個分量d3有較為明顯的沖擊成分。進行SVD分解求奇異值差分譜如圖23所示。

圖22 雙樹復小波分解圖Fig．22 Waveform of DT－CWT decomposition

圖23 奇異值和差分譜前100個點Fig．23 The former 100points of singular value and singular value difference spectrum

圖24 重構(gòu)前4個奇異值的信號波形Fig．24 Waveform of reconstruction the first four SVD singular value

保留前4個奇異值進行重構(gòu)結(jié)果如圖24所示，出現(xiàn)明顯的周期性沖擊，周期大約為0．008 67s，對應的頻率為115．34Hz，與故障特征頻率非常接近。進一步做希爾伯特包絡解得到如圖25所示的包絡譜，可以很清楚地看到117．2，234．4Hz，…等倍頻，與軸承故障特征頻率117．187 5Hz非常接近。圖26為直接對第3個分量d3的希爾伯特包絡譜，對比本文方法，效果差了很多。

圖25 SVD重構(gòu)后的希爾伯特包絡譜Fig．25 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

圖26 d3的希爾伯特包絡譜Fig．26 Hilbert envelope spectrum of d3

上述結(jié)果表明，雙樹復小波分解和奇異值差分譜結(jié)合，可以有效地提取故障特征頻率。

6 結(jié) 論

本文研究了將雙樹復小波分解與奇異值差分譜結(jié)合的方法，通過滾動軸承故障實驗和工程應用驗證了方法的有效性。

（1）利用雙樹復小波變換具有近似平移不變性和有效降噪的優(yōu)點，對軸承故障振動信號進行雙樹復小波分解和重構(gòu)，得到不同頻段的分量。

（2）根據(jù)奇異值差分譜理論，可以自動地判定SVD分解有效分量的個數(shù)，保留了信號中有用成分，同時又最大限度地消除了噪聲。

（3）將雙樹復小波分解與奇異值差分譜結(jié)合的方法應用于故障診斷中，可以有效和準確地找到故障特征信息。

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