戚魯媛，徐 偉，高維廷

（1．西北工業(yè)大學理學院，陜西 西安 710129；2．西北工業(yè)大學電子信息學院，陜西 西安 710129）

引 言

隨機因素在自然界中廣泛存在。隨機振子的響應(yīng)問題是理論研究及工程應(yīng)用中的熱點問題［1～3］。瞬態(tài)響應(yīng)是響應(yīng)問題的一個重要方面，研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)可以從時域方面詮釋隨機振子的運動性態(tài)。Fokker－Planck－Kolmogorov（FPK）方程方法是擴散過程理論的主要方法，通過求解FPK方程得到系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率密度可用以分析系統(tǒng)響應(yīng)控制、信息熵等問題［4，5］。由于FPK方程的復(fù)雜性，只有少數(shù)特殊的系統(tǒng)具有理論精確解［6］。雖然相關(guān)領(lǐng)域的學者們在穩(wěn)態(tài)FPK方程理論求解方面進行了大量的研究工作［7，8］，但瞬態(tài)FPK方程的解仍是極難解決的一個問題，目前只能借助理論分析與數(shù)值計算 相 結(jié) 合 的 方 式 進 行 近 似 求 解［9，10］。1968 年，Bhandari和Sherrer首次應(yīng)用Galerkin法求解FPK方程的平穩(wěn)解［11］，而后 Wen將其發(fā)展到求解FPK方程的瞬態(tài)解［12］。2007年，Spanos結(jié)合基于等價線性化的隨機平均法和Galerkin法研究了白噪聲激勵的非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)［13］。

時滯現(xiàn)象廣泛存在于物理、生物和控制等自然科學與工程實踐領(lǐng)域中。研究瞬態(tài)響應(yīng)概率密度時考慮到時滯的作用具有重要的理論及實踐意義。文獻［14］中基于廣義諧和函數(shù)隨機平均法和Galerkin法研究了白噪聲激勵的時滯強非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。雖然白噪聲模型在理論上便于處理，但研究表明實際噪聲模型應(yīng)為有色噪聲。與有色噪聲相關(guān)的研究工作已經(jīng)滲入到隨機動力學的各個分支：文獻［15］中研究了色噪聲激勵下非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次穿越時間，文獻［16］中研究了色噪聲激勵的雙穩(wěn) Duffing－Van Der Pol振子的隨機分岔，文獻［17］中研究了色噪聲激勵的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，文獻［18］中研究了非高斯色噪聲作用下 Van Der Pol－Duffing振子的穩(wěn)定性。但是，色噪聲激勵的時滯非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)相關(guān)研究卻少見報道。當系統(tǒng)中含有時滯與非白噪聲時，隨機平均法是一種有力的理論分析工具。該方法不但可以避免非白噪聲引起的FPK方程的擴維現(xiàn)象，而且可以降低FPK方程的維數(shù)，從而簡化理論分析和數(shù)值計算。

考慮到工程安全，瞬態(tài)響應(yīng)需要被控制在安全范圍內(nèi)，因此考慮瞬態(tài)響應(yīng)的最優(yōu)控制問題是非常有必要的。鑒于實際控制器發(fā)生裝置只能產(chǎn)生有限的控制力，故而研究最優(yōu)有界控制是符合工程實際的。很多學者已經(jīng)關(guān)注到隨機非線性振子的最優(yōu)有界控制問題，例如文獻［19］中利用最優(yōu)有界控制率成功地降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。然而基于瞬態(tài)求解FPK方程技術(shù)研究隨機時滯擬線性系統(tǒng)的最優(yōu)有界控制問題未見報道。

綜上所述，本文提出了色噪聲激勵的時滯擬線性系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的最優(yōu)有界控制問題。將時滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價的非時滯系統(tǒng)后應(yīng)用標準隨機平均法得到振幅過程的部分平均It?隨機微分方程。再由動態(tài)規(guī)劃準則導出最優(yōu)有界控制率進而得到完全平均的FPK方程。利用Galerkin方法近似求解此FPK方程即得到系統(tǒng)近似瞬態(tài)響應(yīng)。最后將該方法應(yīng)用到受最優(yōu)有界控制率作用的色噪聲激勵的時滯Duffing－Van Der Pol振 子 得 到 理 論 解，并 利 用Monte－Carlo模擬方法證明理論解的有效性，利用該方法綜合討論了色噪聲、時滯和控制力參數(shù)以及共振對瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

1 模型提出和化簡

色噪聲激勵多時滯擬線性受控系統(tǒng)的方程為

1．1 時滯化簡

假設(shè)存在小量δ，當ξ0，H，F(xiàn)和u為δ階小量且fkSk（ω）為δ1／2階小量時，系統(tǒng)（1）是擬線性系統(tǒng)［20］，采用標準隨機平均法，引入如下變換

利用式（3）和（4），系統(tǒng)（1）可轉(zhuǎn)化為如下非時滯系統(tǒng)

1．2 部分平均It?隨機微分方程

將式（2）代入式（5）得到A（t）和Θ（t）的方程組，如下

式中m1，m2，σ1k和σ2k的具體表達形式為：

由式（6）中第1式的系數(shù)m1（A，Θ）和σ1k看出，關(guān)于A（t）的微分方程不顯含Θ（t），故A（t）收斂于一維Markov擴散過程［22］

式中B（t）為單位維納過程，且

方程（10）對應(yīng)的FPK方程為

方程（14）的初始條件設(shè)為

2 最優(yōu)有界控制和完全平均FPK方程

振幅可以代表系統(tǒng)響應(yīng)程度，降低振幅可降低系統(tǒng)響應(yīng)。以減小振幅為目標，在［0，tf］上考慮最優(yōu)遍歷控制，假設(shè)控制力滿足如下約束條件

式中u0表示控制力界值。

值函數(shù)為

由動態(tài)規(guī)劃準則和式（10）［23］，得動態(tài)規(guī)劃方程為

終值條件為

將式（21）代入式（11）并按式（13）完成所有平均過程，得到如下完全平均的漂移系數(shù)

將式（22）代入式（14）即得到全平均FPK方程。

3 FPK方程近似瞬態(tài)解

3．1 正交基空間

首先考慮系統(tǒng)（1）的退化線性系統(tǒng)

通過化學與生物活性相結(jié)合的篩選模式得到真菌Penicillium sp. H1，這株菌主要代謝產(chǎn)生二萜類物質(zhì)，即3個二萜類化合物（1～3），其中化合物1為新化合物。發(fā)現(xiàn)化合物1和2有中等強度的香蕉枯萎病菌抑制活性（MIC分別為32.0和16.0 μg/mL）。結(jié)果表明海洋來源的青霉作為生物活性物質(zhì)的來源具有進一步研究和開發(fā)的價值。

在式（22）中令u0＝0，H＝0，F(xiàn)＝0并代入式（14）得到退化線性系統(tǒng)的FPK方程為

由FPK方程本征函數(shù)法得關(guān)于式（24）的本征方程［24］

式中λn為特征值，Zλ為特征函數(shù)。

式（26）滿足Laguerre多項式微分方程，由此可得一組特征值λn和基函數(shù)An：

式中Ln（·）表示第n階Laguerre多項式。

由式（28）和Laguerre多項式性質(zhì)得基函數(shù)滿足

式中δj，n是 Kronecher Delta符號。

式（24）的解可以表示為

3．2 近似瞬態(tài)解

首先將式（14）的解近似寫成如下形式

將式（31），（32）代入式（14）并整理得如下誤差參量：

將式（33）代入式（34）并結(jié)合式（30）進行化簡得到關(guān)于cj（j＝0，1，…）的常微分方程組如下：

聯(lián)合式（15），（32）可得式（35）的初始條件：cj＝0。

系統(tǒng)j階響應(yīng)矩表達式為

4 算例分析

本章用一個例子具體分析理論求解過程。色噪聲模型為高斯白噪聲的二階濾過過程，表示為

式中和βk為正常數(shù)，Wk（t）為零均值且強度為2Dk的高斯白噪聲，色噪聲（37）的譜密度為

令

式中ω0和ξ0與式（1）中相同；a1，a2和β0均為常數(shù)，ε為正常數(shù)表示非線性阻尼強度?？紤]一個色噪聲激勵的情況，即f1＝1。將式（21），（39）和（40）代入式（1）得到最優(yōu)有界控制率作用的色噪聲激勵的雙時滯Duffing－Van Der Pol振子

4．1 理論分析

將式（39）和（40）代入式（22）整理可得

由式（14）得與系統(tǒng)（41）相應(yīng)的FPK方程為

由式（27）～（29）得到相應(yīng)的特征值和基函數(shù)為：

由式（33），（39），（40）得相應(yīng)的誤差參量為

結(jié)合Laguerre多項式的性質(zhì)得到如下化簡關(guān)系式：

將式（39），（40）代入式（35）并利用式（49），（50）化簡最終得到關(guān)于cj（t）的常微分方程組如下：

當cj的下標為負時認為其不存在。實際計算中應(yīng)當對式（51）進行合理截斷以便數(shù)值求解，將cj（t）的近似解代入式（32）得到p（a，t）。

4．2 數(shù)值分析

本節(jié)利用數(shù)值計算直觀說明色噪聲、時滯、控制力參數(shù)以及共振對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響，并對系統(tǒng)（1）進行MCS來驗證理論求解的有效性。數(shù)值計算中固定的系統(tǒng)參數(shù)為：ω0＝1，ξ0＝0．02，β0＝0．5，a1＝a2＝0．01，ε＝5。

圖1 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0Fig．1 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS： τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0

圖2 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01Fig．2 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01

圖3 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．03Fig．3 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．03

圖1～3討論了控制力參數(shù)u0對瞬態(tài)概率密度p（a，t）的影響。圖1畫出了當u0＝0時，在式（51）中取21項計算所得的p（a，t）的圖像，圖2是令u0＝0．01并在式（51）中截斷到j(luò)＝20得到的結(jié)果，圖3是令u0＝0．03并在式（51）中截斷到j(luò)＝35得到的結(jié)果。如圖所示：理論解和MCS解吻合程度好，證明了理論和數(shù)值求解的有效性。比較圖1～3看出：p（a，t）隨控制力增大向左偏移并且此偏移隨時間增大越來越明顯。隨控制力u0增大p（a，t）將集中在較小振幅值范圍內(nèi)并在較小幅值處達到峰值。從概率的觀點可以解釋為：系統(tǒng)將以較大概率在較小程度響應(yīng)，即最優(yōu)有界控制率成功地降低了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。正如文獻［13］中指出的，當計算的項數(shù)達到一定程度時，由計算項數(shù)不同而引起的計算誤差可忽略。根據(jù)本文的數(shù)值計算過程發(fā)現(xiàn)，當計算項數(shù)大于100時，由于計算項數(shù)不同引起的誤差便可以忽略。當u0由0．03繼續(xù)增大時（u0?1），需計算至少30項能得到較好結(jié)果，即系統(tǒng)中涉及到的非線性行為越復(fù)雜所需要計算的項數(shù)就越多。

圖2，4和5討論了在相同條件下，不同的時滯參數(shù)對p（a，t）的影響，計算過程中式（51）截斷到j(luò)＝20。以圖4作為參考并分析得到：τ1＝τ2＝4．7（圖5）時p（a，t）向左偏移的程度比τ1＝τ2＝0．5（圖2）時p（a，t）向左偏移的程度大，即τ1＝τ2＝4．7時的系統(tǒng)響應(yīng)程度較小。在相同控制力作用下，時滯因素使得系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生了明顯變化，即時滯可以影響控制力的作用。另外，聯(lián)合式（3），（4）可以得到在平均意義下系統(tǒng)（41）的等效線性阻尼系數(shù)為ξ1＝ξ0－0．005（cosτ2－sinτ1），即時滯作用主要通過影響系統(tǒng)的線性阻尼部分來影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。

圖4 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝1．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01Fig．4 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝1．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01

圖5 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝4．7，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01Fig．5 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝4．7，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01

圖6和7討論了不同色噪聲參數(shù)對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響，計算過程中式（51）截斷到j(luò)＝20。圖6中令□1＝3．5其余參數(shù)保持與圖2中相同，對比圖2和6發(fā)現(xiàn)：當□1＝3．5時p（a，t）明顯向左偏移并且在較小幅值達到峰值，從一個側(cè)面說明了適當增大□1可降低系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)程度。圖7中令β1＝1．0其余參數(shù)與圖2中相同。對比圖2和7看出：較大的β1使得p（a，t）集中在較小的振幅值范圍內(nèi)并在較小幅值處達到峰值，這也說明了適當增大β1可降低系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。綜合圖2，6和7看出：在相同控制力條件下，適當改變色噪聲參數(shù)可加強控制力的作用。在工程實踐中當控制力有限時，可通過噪聲的作用加強控制效果。

圖6 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3．5，β1＝0．5，u0＝0．01Fig．6 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3．5，β1＝0．5，u0＝0．01

圖7 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝1，u0＝0．01Fig．7 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝1，u0＝0．01

圖8中給出了當系統(tǒng)頻率ω0與激勵頻率□1相接近時系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，計算過程中式（51）截斷到j(luò)＝20。由圖可見：理論解和MCS解擬合程度高證明了共振條件下理論求解方法的也是有效的。

圖8 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝0．03，□1＝1．1，β1＝1，u0＝0．001Fig．8 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝0．03，□1＝1．1，β1＝1，u0＝0．001

圖1～8的綜合討論說明了文中所提的理論方法可有效計算受最優(yōu)有界控制的色噪聲激勵的時滯擬線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。

5 結(jié) 論

本文系統(tǒng)地研究了最優(yōu)有界控制力作用下色噪聲激勵的多時滯擬線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)概率密度。主要包括以下兩個部分：（1）引入最優(yōu)有界控制率來控制色噪聲激勵的多時滯擬線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，并提出了求解其瞬態(tài)響應(yīng)概率密度的近似方法。該方法包括如下四個方面：首先將時滯方程轉(zhuǎn)化為等價的非時滯方程；其次利用標準隨機平均法得到系統(tǒng)振幅過程的部分平均It?隨機微分方程；利用動態(tài)規(guī)劃原理并結(jié)合控制力有界的條件導出了最優(yōu)有界控制率，將其代入部分平均It?隨機微分方程并完成所有平均過程得到完全平均的FPK方程；利用FPK方程本征函數(shù)法得到一組正交基空間并在此基空間內(nèi)進行Galerkin變分得到系統(tǒng)的近似瞬態(tài)響應(yīng)。（2）以受最優(yōu)有界控制率作用的色噪聲激勵的Duffing－Van Der Pol振子為算例實現(xiàn)上述求解過程，利用數(shù)值計算綜合討論了控制力、時滯和色噪聲參數(shù)以及共振條件下系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)概率密度并采用MCS證明了所有理論解的有效性。本文涉及的系統(tǒng)是擬線性系統(tǒng)，關(guān)于受控的強非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)問題還有待于進一步研究。

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