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        最優(yōu)有界控制下色噪聲驅(qū)動多時滯擬線性系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)*

        2013-09-12 00:55:08戚魯媛高維廷
        振動工程學報 2013年6期
        關(guān)鍵詞:控制力將式控制率

        戚魯媛,徐 偉,高維廷

        (1.西北工業(yè)大學理學院,陜西 西安 710129;2.西北工業(yè)大學電子信息學院,陜西 西安 710129)

        引 言

        隨機因素在自然界中廣泛存在。隨機振子的響應(yīng)問題是理論研究及工程應(yīng)用中的熱點問題[1~3]。瞬態(tài)響應(yīng)是響應(yīng)問題的一個重要方面,研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)可以從時域方面詮釋隨機振子的運動性態(tài)。Fokker-Planck-Kolmogorov(FPK)方程方法是擴散過程理論的主要方法,通過求解FPK方程得到系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率密度可用以分析系統(tǒng)響應(yīng)控制、信息熵等問題[4,5]。由于FPK方程的復(fù)雜性,只有少數(shù)特殊的系統(tǒng)具有理論精確解[6]。雖然相關(guān)領(lǐng)域的學者們在穩(wěn)態(tài)FPK方程理論求解方面進行了大量的研究工作[7,8],但瞬態(tài)FPK方程的解仍是極難解決的一個問題,目前只能借助理論分析與數(shù)值計算 相 結(jié) 合 的 方 式 進 行 近 似 求 解[9,10]。1968 年,Bhandari和Sherrer首次應(yīng)用Galerkin法求解FPK方程的平穩(wěn)解[11],而后 Wen將其發(fā)展到求解FPK方程的瞬態(tài)解[12]。2007年,Spanos結(jié)合基于等價線性化的隨機平均法和Galerkin法研究了白噪聲激勵的非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)[13]。

        時滯現(xiàn)象廣泛存在于物理、生物和控制等自然科學與工程實踐領(lǐng)域中。研究瞬態(tài)響應(yīng)概率密度時考慮到時滯的作用具有重要的理論及實踐意義。文獻[14]中基于廣義諧和函數(shù)隨機平均法和Galerkin法研究了白噪聲激勵的時滯強非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。雖然白噪聲模型在理論上便于處理,但研究表明實際噪聲模型應(yīng)為有色噪聲。與有色噪聲相關(guān)的研究工作已經(jīng)滲入到隨機動力學的各個分支:文獻[15]中研究了色噪聲激勵下非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次穿越時間,文獻[16]中研究了色噪聲激勵的雙穩(wěn) Duffing-Van Der Pol振子的隨機分岔,文獻[17]中研究了色噪聲激勵的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),文獻[18]中研究了非高斯色噪聲作用下 Van Der Pol-Duffing振子的穩(wěn)定性。但是,色噪聲激勵的時滯非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)相關(guān)研究卻少見報道。當系統(tǒng)中含有時滯與非白噪聲時,隨機平均法是一種有力的理論分析工具。該方法不但可以避免非白噪聲引起的FPK方程的擴維現(xiàn)象,而且可以降低FPK方程的維數(shù),從而簡化理論分析和數(shù)值計算。

        考慮到工程安全,瞬態(tài)響應(yīng)需要被控制在安全范圍內(nèi),因此考慮瞬態(tài)響應(yīng)的最優(yōu)控制問題是非常有必要的。鑒于實際控制器發(fā)生裝置只能產(chǎn)生有限的控制力,故而研究最優(yōu)有界控制是符合工程實際的。很多學者已經(jīng)關(guān)注到隨機非線性振子的最優(yōu)有界控制問題,例如文獻[19]中利用最優(yōu)有界控制率成功地降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。然而基于瞬態(tài)求解FPK方程技術(shù)研究隨機時滯擬線性系統(tǒng)的最優(yōu)有界控制問題未見報道。

        綜上所述,本文提出了色噪聲激勵的時滯擬線性系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的最優(yōu)有界控制問題。將時滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價的非時滯系統(tǒng)后應(yīng)用標準隨機平均法得到振幅過程的部分平均It?隨機微分方程。再由動態(tài)規(guī)劃準則導出最優(yōu)有界控制率進而得到完全平均的FPK方程。利用Galerkin方法近似求解此FPK方程即得到系統(tǒng)近似瞬態(tài)響應(yīng)。最后將該方法應(yīng)用到受最優(yōu)有界控制率作用的色噪聲激勵的時滯Duffing-Van Der Pol振 子 得 到 理 論 解,并 利 用Monte-Carlo模擬方法證明理論解的有效性,利用該方法綜合討論了色噪聲、時滯和控制力參數(shù)以及共振對瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

        1 模型提出和化簡

        色噪聲激勵多時滯擬線性受控系統(tǒng)的方程為

        1.1 時滯化簡

        假設(shè)存在小量δ,當ξ0,H,F(xiàn)和u為δ階小量且fkSk(ω)為δ1/2階小量時,系統(tǒng)(1)是擬線性系統(tǒng)[20],采用標準隨機平均法,引入如下變換

        利用式(3)和(4),系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為如下非時滯系統(tǒng)

        1.2 部分平均It?隨機微分方程

        將式(2)代入式(5)得到A(t)和Θ(t)的方程組,如下

        式中m1,m2,σ1k和σ2k的具體表達形式為:

        由式(6)中第1式的系數(shù)m1(A,Θ)和σ1k看出,關(guān)于A(t)的微分方程不顯含Θ(t),故A(t)收斂于一維Markov擴散過程[22]

        式中B(t)為單位維納過程,且

        方程(10)對應(yīng)的FPK方程為

        方程(14)的初始條件設(shè)為

        2 最優(yōu)有界控制和完全平均FPK方程

        振幅可以代表系統(tǒng)響應(yīng)程度,降低振幅可降低系統(tǒng)響應(yīng)。以減小振幅為目標,在[0,tf]上考慮最優(yōu)遍歷控制,假設(shè)控制力滿足如下約束條件

        式中u0表示控制力界值。

        值函數(shù)為

        由動態(tài)規(guī)劃準則和式(10)[23],得動態(tài)規(guī)劃方程為

        終值條件為

        將式(21)代入式(11)并按式(13)完成所有平均過程,得到如下完全平均的漂移系數(shù)

        將式(22)代入式(14)即得到全平均FPK方程。

        3 FPK方程近似瞬態(tài)解

        3.1 正交基空間

        首先考慮系統(tǒng)(1)的退化線性系統(tǒng)

        通過化學與生物活性相結(jié)合的篩選模式得到真菌Penicillium sp. H1,這株菌主要代謝產(chǎn)生二萜類物質(zhì),即3個二萜類化合物(1~3),其中化合物1為新化合物。發(fā)現(xiàn)化合物1和2有中等強度的香蕉枯萎病菌抑制活性(MIC分別為32.0和16.0 μg/mL)。結(jié)果表明海洋來源的青霉作為生物活性物質(zhì)的來源具有進一步研究和開發(fā)的價值。

        在式(22)中令u0=0,H=0,F(xiàn)=0并代入式(14)得到退化線性系統(tǒng)的FPK方程為

        由FPK方程本征函數(shù)法得關(guān)于式(24)的本征方程[24]

        式中λn為特征值,Zλ為特征函數(shù)。

        式(26)滿足Laguerre多項式微分方程,由此可得一組特征值λn和基函數(shù)An:

        式中Ln(·)表示第n階Laguerre多項式。

        由式(28)和Laguerre多項式性質(zhì)得基函數(shù)滿足

        式中δj,n是 Kronecher Delta符號。

        式(24)的解可以表示為

        3.2 近似瞬態(tài)解

        首先將式(14)的解近似寫成如下形式

        將式(31),(32)代入式(14)并整理得如下誤差參量:

        將式(33)代入式(34)并結(jié)合式(30)進行化簡得到關(guān)于cj(j=0,1,…)的常微分方程組如下:

        聯(lián)合式(15),(32)可得式(35)的初始條件:cj=0。

        系統(tǒng)j階響應(yīng)矩表達式為

        4 算例分析

        本章用一個例子具體分析理論求解過程。色噪聲模型為高斯白噪聲的二階濾過過程,表示為

        式中和βk為正常數(shù),Wk(t)為零均值且強度為2Dk的高斯白噪聲,色噪聲(37)的譜密度為

        式中ω0和ξ0與式(1)中相同;a1,a2和β0均為常數(shù),ε為正常數(shù)表示非線性阻尼強度??紤]一個色噪聲激勵的情況,即f1=1。將式(21),(39)和(40)代入式(1)得到最優(yōu)有界控制率作用的色噪聲激勵的雙時滯Duffing-Van Der Pol振子

        4.1 理論分析

        將式(39)和(40)代入式(22)整理可得

        由式(14)得與系統(tǒng)(41)相應(yīng)的FPK方程為

        由式(27)~(29)得到相應(yīng)的特征值和基函數(shù)為:

        由式(33),(39),(40)得相應(yīng)的誤差參量為

        結(jié)合Laguerre多項式的性質(zhì)得到如下化簡關(guān)系式:

        將式(39),(40)代入式(35)并利用式(49),(50)化簡最終得到關(guān)于cj(t)的常微分方程組如下:

        當cj的下標為負時認為其不存在。實際計算中應(yīng)當對式(51)進行合理截斷以便數(shù)值求解,將cj(t)的近似解代入式(32)得到p(a,t)。

        4.2 數(shù)值分析

        本節(jié)利用數(shù)值計算直觀說明色噪聲、時滯、控制力參數(shù)以及共振對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響,并對系統(tǒng)(1)進行MCS來驗證理論求解的有效性。數(shù)值計算中固定的系統(tǒng)參數(shù)為:ω0=1,ξ0=0.02,β0=0.5,a1=a2=0.01,ε=5。

        圖1 p(a,t)的曲線,—理論解,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=0.5,D1=1,□1=3,β1=0.5,u0=0Fig.1 Curves of p(a,t),—theory solution,*○□×●◇? MCS: τ1=τ2=0.5,D1=1,□1=3,β1=0.5,u0=0

        圖2 p(a,t)的曲線,—理論解,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=0.5,D1=1,□1=3,β1=0.5,u0=0.01Fig.2 Curves of p(a,t),—theory solution,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=0.5,D1=1,□1=3,β1=0.5,u0=0.01

        圖3 p(a,t)的曲線,—理論解,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=0.5,D1=1,□1=3,β1=0.5,u0=0.03Fig.3 Curves of p(a,t),—theory solution,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=0.5,D1=1,□1=3,β1=0.5,u0=0.03

        圖1~3討論了控制力參數(shù)u0對瞬態(tài)概率密度p(a,t)的影響。圖1畫出了當u0=0時,在式(51)中取21項計算所得的p(a,t)的圖像,圖2是令u0=0.01并在式(51)中截斷到j(luò)=20得到的結(jié)果,圖3是令u0=0.03并在式(51)中截斷到j(luò)=35得到的結(jié)果。如圖所示:理論解和MCS解吻合程度好,證明了理論和數(shù)值求解的有效性。比較圖1~3看出:p(a,t)隨控制力增大向左偏移并且此偏移隨時間增大越來越明顯。隨控制力u0增大p(a,t)將集中在較小振幅值范圍內(nèi)并在較小幅值處達到峰值。從概率的觀點可以解釋為:系統(tǒng)將以較大概率在較小程度響應(yīng),即最優(yōu)有界控制率成功地降低了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。正如文獻[13]中指出的,當計算的項數(shù)達到一定程度時,由計算項數(shù)不同而引起的計算誤差可忽略。根據(jù)本文的數(shù)值計算過程發(fā)現(xiàn),當計算項數(shù)大于100時,由于計算項數(shù)不同引起的誤差便可以忽略。當u0由0.03繼續(xù)增大時(u0?1),需計算至少30項能得到較好結(jié)果,即系統(tǒng)中涉及到的非線性行為越復(fù)雜所需要計算的項數(shù)就越多。

        圖2,4和5討論了在相同條件下,不同的時滯參數(shù)對p(a,t)的影響,計算過程中式(51)截斷到j(luò)=20。以圖4作為參考并分析得到:τ1=τ2=4.7(圖5)時p(a,t)向左偏移的程度比τ1=τ2=0.5(圖2)時p(a,t)向左偏移的程度大,即τ1=τ2=4.7時的系統(tǒng)響應(yīng)程度較小。在相同控制力作用下,時滯因素使得系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生了明顯變化,即時滯可以影響控制力的作用。另外,聯(lián)合式(3),(4)可以得到在平均意義下系統(tǒng)(41)的等效線性阻尼系數(shù)為ξ1=ξ0-0.005(cosτ2-sinτ1),即時滯作用主要通過影響系統(tǒng)的線性阻尼部分來影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。

        圖4 p(a,t)的曲線,—理論解,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=1.5,D1=1,□1=3,β1=0.5,u0=0.01Fig.4 Curves of p(a,t),—theory solution,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=1.5,D1=1,□1=3,β1=0.5,u0=0.01

        圖5 p(a,t)的曲線,—理論解,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=4.7,D1=1,□1=3,β1=0.5,u0=0.01Fig.5 Curves of p(a,t),—theory solution,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=4.7,D1=1,□1=3,β1=0.5,u0=0.01

        圖6和7討論了不同色噪聲參數(shù)對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響,計算過程中式(51)截斷到j(luò)=20。圖6中令□1=3.5其余參數(shù)保持與圖2中相同,對比圖2和6發(fā)現(xiàn):當□1=3.5時p(a,t)明顯向左偏移并且在較小幅值達到峰值,從一個側(cè)面說明了適當增大□1可降低系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)程度。圖7中令β1=1.0其余參數(shù)與圖2中相同。對比圖2和7看出:較大的β1使得p(a,t)集中在較小的振幅值范圍內(nèi)并在較小幅值處達到峰值,這也說明了適當增大β1可降低系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。綜合圖2,6和7看出:在相同控制力條件下,適當改變色噪聲參數(shù)可加強控制力的作用。在工程實踐中當控制力有限時,可通過噪聲的作用加強控制效果。

        圖6 p(a,t)的曲線,—理論解,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=0.5,D1=1,□1=3.5,β1=0.5,u0=0.01Fig.6 Curves of p(a,t),—theory solution,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=0.5,D1=1,□1=3.5,β1=0.5,u0=0.01

        圖7 p(a,t)的曲線,—理論解,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=0.5,D1=1,□1=3,β1=1,u0=0.01Fig.7 Curves of p(a,t),—theory solution,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=0.5,D1=1,□1=3,β1=1,u0=0.01

        圖8中給出了當系統(tǒng)頻率ω0與激勵頻率□1相接近時系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),計算過程中式(51)截斷到j(luò)=20。由圖可見:理論解和MCS解擬合程度高證明了共振條件下理論求解方法的也是有效的。

        圖8 p(a,t)的曲線,—理論解,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=0.5,D1=0.03,□1=1.1,β1=1,u0=0.001Fig.8 Curves of p(a,t),—theory solution,*○□×●◇? MCS:τ1=τ2=0.5,D1=0.03,□1=1.1,β1=1,u0=0.001

        圖1~8的綜合討論說明了文中所提的理論方法可有效計算受最優(yōu)有界控制的色噪聲激勵的時滯擬線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。

        5 結(jié) 論

        本文系統(tǒng)地研究了最優(yōu)有界控制力作用下色噪聲激勵的多時滯擬線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)概率密度。主要包括以下兩個部分:(1)引入最優(yōu)有界控制率來控制色噪聲激勵的多時滯擬線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),并提出了求解其瞬態(tài)響應(yīng)概率密度的近似方法。該方法包括如下四個方面:首先將時滯方程轉(zhuǎn)化為等價的非時滯方程;其次利用標準隨機平均法得到系統(tǒng)振幅過程的部分平均It?隨機微分方程;利用動態(tài)規(guī)劃原理并結(jié)合控制力有界的條件導出了最優(yōu)有界控制率,將其代入部分平均It?隨機微分方程并完成所有平均過程得到完全平均的FPK方程;利用FPK方程本征函數(shù)法得到一組正交基空間并在此基空間內(nèi)進行Galerkin變分得到系統(tǒng)的近似瞬態(tài)響應(yīng)。(2)以受最優(yōu)有界控制率作用的色噪聲激勵的Duffing-Van Der Pol振子為算例實現(xiàn)上述求解過程,利用數(shù)值計算綜合討論了控制力、時滯和色噪聲參數(shù)以及共振條件下系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)概率密度并采用MCS證明了所有理論解的有效性。本文涉及的系統(tǒng)是擬線性系統(tǒng),關(guān)于受控的強非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)問題還有待于進一步研究。

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